WSIG–EBOC–RCA 统一理论：

三位一体“通用测度坐标“的公理化、换元一致性与误差学

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摘要

在 de Branges–Kreĭn 规范系统与多通道散射理论下，以散射相位导数、相对态密度与 Wigner–Smith 群延迟迹为同一刻度的三种等价表述，构造“通用测度坐标“，并证明其在窗化读数下的换元一致性与 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（NPE）三分解的非渐近误差闭合。核心统一式（绝对连续谱几乎处处）为

$$d{\mu }_{\phi }(E)=\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }dE=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE,$$

其中 $\mathsf{Q}(E)=-iS(E{)}^{†}{S}^{\prime }(E)$ 为 Wigner–Smith 延迟矩阵，${\rho }_{\mathrm{rel}}=-{\xi }^{\prime }$ 为相对于参照算子 $H_0$ 的谱移密度，$\det S(E)=\exp (-2\pi i\xi (E))$ 为 Birman–Kreĭn 公式的标准规范。三位一体链条由 Birman–Kreĭn 公式与 Wigner–Smith 延迟的一致化推导得到，适用于多通道酉散射；次酉体系以广义（复）延迟作相容推广。论文给出：（i）窗化换元一致性定理（能量 ↔ 相位/延迟/密度坐标）；（ii）最大熵—最小延迟对偶定理；（iii）因果单调 $\iff$ 相位单调；并在相位坐标下表述采样—帧门槛、Wexler–Raz 双正交与 Balian–Low 不可能性的不变表达，同时建立多窗/多核优化的 KKT 与 Γ-极限稳定性。以上结论与 BK/SSF、Wigner–Smith、Herglotz–Weyl、Carleson—帧论判据逐条对齐，可直接复核与实现。(SpringerLink)

0. 记号、规范与基础文献

散射与谱移. 自伴散射对 $(H,H_0)$ 的 on-shell 多通道散射矩阵 $S(E)\in U(N)$。Birman–Kreĭn 公式（迹类假设下）为

$$\det S(E)=\exp (-2\pi i\xi (E)),$$

其中 $\xi$ 为谱移函数；据此得 $\frac{d}{dE}\mathrm{Arg}\det S(E)=-2\pi {\xi }^{\prime }(E)$。约定相对态密度 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E):=-{\xi }^{\prime }(E)$。(SpringerLink)

相位（散射半相位）. 设多通道散射矩阵 $S(E)\in U(N)$。定义

$$\phi (E):=\frac{1}{2}\mathrm{Arg}\det S(E)(\text{BK 连续分支}),$$

则几乎处处有 ${\phi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$，其中 $\mathsf{Q}(E)=-iS(E{)}^{†}{S}^{\prime }(E)$、${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)$。

Wigner–Smith 延迟. 定义 $\mathsf{Q}(E)=-iS(E{)}^{†}\frac{dS}{dE}(E)$。对酉 $S$，有

$$\frac{d}{dE}\log \det S(E)=\mathrm{tr}(S^{-1}{S}^{\prime }(E))=\mathrm{tr}(S^{†}{S}^{\prime }(E)),$$

从而 $\frac{d}{dE}\mathrm{Arg}\det S(E)=\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$ 与 $\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$（a.e.）。单通道 $S=e^{2i\phi }$ 时 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}=2{\phi }^{\prime }(E)$。延迟矩阵的定义与性质参见综述与计算文献。(chaosbook.org)

de Branges–Kreĭn 与 Herglotz–Weyl. 对规范系统与 de Branges 空间 $\mathcal{H}(\mathcal{E})$，其再生核对角满足

$$K(x,x)=\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }(x)|\mathcal{E}(x){|}^2,$$

其中 $\phi$ 为 Hermite–Biehler 函数 $\mathcal{E}$ 的相位函数；同时 Weyl–Titchmarsh $m$ 为 Herglotz 函数，边界虚部给出谱密度。(diposit.ub.edu)

窗化读数与 NPE 三分解. 取偶带限窗 $w_R$ 与带限核 $h$，窗化读数 $\int w_R(E)(h\ast {\rho }_{\star })(E)dE$ 的数值积分—求和换序误差可由 Poisson 求和与 Euler–Maclaurin（EM）公式的有限阶校正与窗外尾项三部分组成（alias + Bernoulli 层 + tail），并在 Nyquist 条件下消除别名项。(dlmf.nist.gov)

1. 公理化：三位一体刻度与可观操作

公理 A（刻度统一） 在绝对连续谱的 Lebesgue 点几乎处处成立

$${\phi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E).$$

由 BK 与延迟矩阵定义得出。(SpringerLink)

公理 B（窗化可观与 NPE） 对偶带限窗 $w_R$ 与带限核 $h$，一切求和—积分换序以有限阶 EM 与 Poisson 求和控制，误差三分解闭合，Nyquist 下 alias 消失。(dlmf.nist.gov)

公理 C（实现—语义协变） 存在 EBOC 记录几何与 RCA 局域可逆更新的语义嵌入，使 $(\phi ,{\rho }_{\mathrm{rel}},\frac{1}{N}\mathrm{tr}\mathsf{Q})$ 分别对齐“记录页码—记录密度—读取开销“与“信息增量—步延迟“，并保持因果圆锥与相位单调一致。

2. 通用测度坐标与换元三式

定义 2.1（通用测度坐标） 取

$$d{\mu }_{\phi }:=\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }dE,d\tau :=\frac{1}{N}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE,d\rho :={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE.$$

命题 2.2（WSIG 换元一致性） 设 $F\in L_{\mathrm{loc}}^1$、窗 $w_R\in L^1\cap L^{\infty }$。若在窗支配区间上 $\phi$（或 $\tau ,\rho$）绝对连续且严格单调，则

$$\int F(E)w_R(E)dE=\int F(E(\phi ))w_R(E(\phi ))\frac{dE}{d\phi }d\phi ,$$

且雅可比为

$$\frac{dE}{d\phi }=(\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E){)}^{-1},\frac{dE}{d\tau }=(\frac{1}{N}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E){)}^{-1},\frac{dE}{d\rho }=({\rho }_{\mathrm{rel}}(E){)}^{-1}.$$

其中 $E(\phi )={\phi }^{-1}(\phi )$ 存在且可测，换元由绝对连续与严格单调保证。这里 $\tau (E):={\int }_{E_0}^E\frac{1}{N}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(s)ds$，$\rho (E):={\int }_{E_0}^E{\rho }_{\mathrm{rel}}(s)ds$。

证明. 可测换元与 Lebesgue 点性质，分支由 BK 连续分支与窗化可积性保证。(SpringerLink)

3. 窗化 Birman–Kreĭn 恒等式与误差闭合

定理 3.1（窗化 BK 恒等式） 在 resolvent 差为迹类，且

$$h\in W^{1,1}\cap L^{\infty }(\text{或 }{C}_c^1),w_R\in W^{1,1}\cap L^1\cap L^{\infty }(\text{或 }{C}_c^1),$$

由此 $(h{w}_R{)}^{\prime }=h^{\prime }{w}_R+h{w}_R^{\prime }\in L^1$ 且 $(h{w}_R)(\pm \infty )=0$。定义

$${\mathcal{S}}_{\mathrm{spec}}(h;R)=\int h(E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E)w_R(E)dE,{\mathcal{S}}_{\mathrm{scat}}(h;R)=-\frac{1}{2\pi i}\int [h^{\prime }{w}_R+h{w}_R^{\prime }]\log \det SdE,$$

则 ${\mathcal{S}}_{\mathrm{spec}}(h;R)={\mathcal{S}}_{\mathrm{scat}}(h;R)$。

证明. 用恒等式

$${\partial }_E\log \det S(E)=\mathrm{tr}(S^{-1}(E)S^{\prime }(E)),\frac{1}{2\pi i}{\partial }_E\log \det S={\rho }_{\mathrm{rel}},$$

令 $f:=h{w}_R$，在 $f\in W^{1,1}\cap L^1$ 与 $f(\pm \infty )=0$ 下对 $\int f{\partial }_E\log \det S$ 作分部积分，边界项为零，即得结论。(SpringerLink)

定理 3.2（NPE 三分解；非渐近） 等距采样近似 $\int F$ 的误差分解

$${\mathcal{E}}_R={\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}}+{\mathcal{E}}_{\mathrm{EM}}+{\mathcal{E}}_{\mathrm{tail}},$$

其中 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}}$ 由 Poisson 求和给出，Nyquist 条件下 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}}=0$；${\mathcal{E}}_{\mathrm{EM}}$ 为有限阶 Euler–Maclaurin 余项（Bernoulli 序列显式）；${\mathcal{E}}_{\mathrm{tail}}$ 受窗外指数衰减控制。(dlmf.nist.gov)

4. 信息几何与“最大熵—最小延迟“对偶

定义 4.1（窗化熵） 记能量参数的输出分布 $p_E$，窗化熵

$${\mathcal{H}}_R:=\int H(p_E)w_R(E)dE.$$

借助命题 2.2 的换元，与 $\phi$-坐标中的 $\frac{dE}{d\phi }=(\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}{)}^{-1}$ 相联。

定理 4.2（最大熵—最小延迟对偶） 若 $E\mapsto p_E$ 平滑、$H$ 严凸且 $R$ 足大，则 ${\mathcal{H}}_R$ 的极大点与窗化平均延迟 $\int \frac{1}{N}\mathrm{tr}\mathsf{Q}{w}_{R}dE$ 的极小点在同一 ${\phi }^{\star }$ 对齐（唯一性模别名余项）。

证明思路. 在 $\phi$-坐标中极值条件为 ${\partial }_{\phi }![H(p_{E(\phi )})\frac{dE}{d\phi }]=0$；结合 $\frac{dE}{d\phi }$ 与 KL 投影唯一性、Ky–Fan 极小子空间一致性获得对偶同位。关于 Ky–Fan 极值性质与谱子空间稳定性见下述引用。(pnas.org)

5. 因果与“相位单调“等价

定义 5.1（环路延迟） 对可实现能量环 $\gamma$，设 $\Delta T(\gamma ):={\oint }_{\gamma }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE$。

定理 5.2（因果单调 $\iff$ 相位单调） 若对一切可实现环 $\Delta T(\gamma )\ge 0$，则 ${\oint }_{\gamma }d\phi =\frac{1}{2}\Delta T(\gamma )\ge 0$；反之亦然。两者与无信号性/可实现性等价。

证明. 由 $d\phi =\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}dE$ 立即得出。(chaosbook.org)

6. 采样—帧门槛、Carleson 与 Wexler–Raz

定理 6.1（相位密度与 Landau 门槛） 在 de Branges–Mellin 统一框架下，以 $d{\nu }_0=\frac{{\phi }^{\prime }}{\pi }dx$ 为几何测度，采样/插值的必要密度门槛沿 Landau 型判据给出；Paley–Wiener 情形退化为经典 Landau 必要密度。对 de Branges 空间，当 ${\phi }^{\prime }(x)dx$ 为（局部）doubling 测度时，采样—插值可由 Beurling 密度刻画。(archive.ymsc.tsinghua.edu.cn)

定理 6.2（Wexler–Raz 双正交与 Parseval 条件） Nyquist 下，多窗 $\{w_{\alpha }\}$ 生成 Parseval 紧帧当且仅当频域能量平衡恒等式成立；存在别名时需加入周期复制求和。等价关系与对偶窗点态条件即 Wexler–Raz 身份。该条件在 $\phi$-坐标下不变。(sites.math.duke.edu)

定理 6.3（Balian–Low 障碍；临界密度） 单窗矩形格在临界密度下不可能同时双侧局域且生成 Riesz 基/ONB；该障碍在相位坐标下保持不变。(encyclopediaofmath.org)

7. 多窗/多核优化、KKT 与 Γ-极限

定理 7.1（带限投影–KKT 方程与 PSWF 结构） 在偶带限子空间上最小化 NPE 上界的强凸泛函，其必要最优性条件是带限投影后的核型特征方程，解呈现 Prolate Spheroidal（Slepian–Landau–Pollak）结构，给出最优“主尺度—极点“。(math.ucdavis.edu)

定理 7.2（多目标帕累托前沿与稳定性） 多窗强凸多目标代理的极小元满足广义 Wexler–Raz 与帧算子方程；对数据/核扰动具 $O({\mu }^{-1})$ Lipschitz 稳定，并保持“极点=主尺度“的谱不变性。参考 Walnut 表示的帧算子对角化可用于稳定性估计。(heil.math.gatech.edu)

定理 7.3（非平稳块系统的 tight/dual 显式构造） 在分块非平稳 Weyl–Mellin 系统中，Walnut–Poisson 对角化将帧算子化为 Calderón 和乘子，给出 tight/dual 的频域闭式；无混叠条件 $2{\Omega }_n\le \Delta {\tau }_n$ 与 Nyquist 等价。(sciencedirect.com)

8. 统一到 EBOC 与 RCA 的语义映射

命题 8.1（EBOC 记录几何映射） 将 $\phi$ 解释为“记录页码“、${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 为“记录密度“、$\tau =\frac{1}{N}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 为“读取开销“，则“最大熵—最小延迟“对偶对应“最短证据路径“，其可逆读写以相位单调为序。

命题 8.2（RCA 步延迟与信息增量） 可逆元胞自动机的单步更新在相位坐标上以 $\Delta \phi$ 计量，因果圆锥的离散表述即相位单调，系统步延迟的加和等于 $\sum \Delta \phi =\frac{1}{2}\int \mathrm{tr}\mathsf{Q}dE$。

9. 非酉扩展与半经典换元

命题 9.1（次酉散射的复延迟） 次酉 $S$ 下以复延迟的迹/实部替代 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 可保持上述换元与误差学的结构；相位—密度—延迟三者的实部仍给出窗化可观测量。(link.aps.org)

命题 9.2（Egorov–Moyal 的坐标化） 用 ${\partial }_{\phi }=(\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}{)}^{-1}{\partial }_E$ 将 Egorov–Moyal 级数转写到相位坐标，便于在 $\phi$-均匀网格上给出 Ehrenfest 时间内的一致估计。(semanticscholar.org)

10. 主定理与证明汇总

主定理 A（窗化换元一致性与 NPE 界） 在公理 A–B 下，能量—三位一体坐标的窗化积分相等，离散化/有限和近似的误差服从 NPE 三分解上界。

证据链. 命题 2.2 的可测换元 + 定理 3.1 的窗化 BK + 定理 3.2 的 NPE。(SpringerLink)

主定理 B（最大熵—最小延迟对偶） 在 §4 假设下，${\mathcal{H}}_R$ 的极大点与平均延迟的极小点在同一 ${\phi }^{\star }$ 对齐（唯一性模 alias）。

证据链. $\phi$-坐标极值条件 + KL/I-投影唯一性 + Ky–Fan 极小子空间；谱子空间稳定性由 Davis–Kahan 给出。(pnas.org)

主定理 C（因果单调—相位单调等价） 见定理 5.2。

证据链. $d\phi =\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}dE$ 与延迟的可加性。(chaosbook.org)

11. 数学与实现清单（可复现）

1. 刻度统一：以 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 或 $\mathrm{Arg}\det S$ 估计 $d{\mu }_{\phi }$，在 $\phi$-均匀采样上进行 Nyquist 校验。(chaosbook.org)
2. 指针验证：窗算子 $W_R$ 的谱最小子空间（Ky–Fan 极小和）与数据扰动的稳定性用 Davis–Kahan 控制。(pnas.org)
3. 误差闭合：报告 $({\epsilon }_{\mathrm{alias}},{\epsilon }_{\mathrm{EM}},{\epsilon }_{\mathrm{tail}})$，带限+Nyquist 下关闭 alias。(dlmf.nist.gov)
4. 采样—帧：在 $\phi$-坐标中验证 Landau 必要密度、Wexler–Raz 条件与 Balian–Low 障碍。(archive.ymsc.tsinghua.edu.cn)
5. 多窗优化：解带限投影–KKT 方程，得到 PSWF 型解；在 Walnut 表示下作稳定性估计与 tight/dual 构造。(math.ucdavis.edu)

12. 结论

以 BK/SSF 与 Wigner–Smith 为桥梁，本文将相位导数、相对态密度与群延迟迹统一为“通用测度坐标“，并在窗化读数下给出换元一致性与 NPE 三分解的非渐近闭合。相位坐标提供了采样—帧门槛、Wexler–Raz 双正交与 Balian–Low 障碍的坐标不变表述；在优化侧，带限投影–KKT 推出 PSWF 型最优窗，多窗帧的稳定性与 tight/dual 构造可由 Walnut–Poisson 对角化刻画。非酉散射与半经典 Egorov–Moyal 在该坐标中保持同构结构。EBOC 与 RCA 的语义嵌入使“最大熵—最小延迟“与“因果—相位单调“两组对偶得到统一的可实现诠释。

参考文献（选）

1. Birman–Kreĭn 公式与谱移：Simon, Tosio Kato’s work on non-relativistic QM（含 BK 公式综述）；Yafaev, On the spectral shift function；Athmouni 等（BK 在离散模型中的推导）。(SpringerLink)
2. Wigner–Smith 延迟：Patel–Michielssen（电磁散射中的 $\mathsf{Q}$）；Texier（时间延迟综述）；ChaosBook（$\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 与 DoS 的联系）。
3. de Branges 核对角与相位导数：Antezana–Marzo–Olsen，式 $(K(x,x)=\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }(x)|\mathcal{E}(x){|}^2)$。(diposit.ub.edu)
4. Poisson 与 Euler–Maclaurin：NIST DLMF §1.8(iv), §2.10(i)。(dlmf.nist.gov)
5. Landau 必要密度与其在 de Branges 的推广：Landau（1967）；Marzo–Nitzan–Olsen（doubling 相位情形）。(archive.ymsc.tsinghua.edu.cn)
6. Wexler–Raz 身份与密度定理综述：Daubechies 等；Heil（历史与密度定理）。(sites.math.duke.edu)
7. Balian–Low 定理：百科条目与后续量化改进。(encyclopediaofmath.org)
8. Davis–Kahan 与 Ky–Fan：Yu–Wang–Samworth（D-K 变体）；Ky Fan（1951）。(arXiv)
9. Γ-收敛：Dal Maso；Braides。(SpringerLink)
10. 非酉散射的复延迟：Chen 等（次酉散射的复时间延迟）。(link.aps.org)
11. Egorov–Moyal 与半经典：Bouzouina–Robert；Prouff（Weyl–Hörmander 框架中的 Egorov）。(semanticscholar.org)
12. Walnut 表示与非平稳帧：Heil（教材讲义）；Holighaus 等（非平稳 Gabor 的 Walnut-like 表示）。(heil.math.gatech.edu)