EBOC-Graph：静态块宇宙的测量—提交统一理论

（Born = 信息投影，Pointer = 光谱极小，Windows = 极大极小）

日期： 2025-10-25

摘要（定性）

在静态块宇宙（EBOC）视角下，现实是一份一次性存在的图结构“块“；观测是对块的叶读取，而“提交“是带约束的信息最小化选择。本文以图谱—凸优化—帧采样为骨架，建立四个互锁的可证命题：（G1）Born 概率 = KL 信息投影（充要）；（G2）指针基 = 光谱极小（充要）；（G3）窗/核设计 = 极大极小最优（充要）；（G4）非渐近误差闭合＝谱泄露 + 采样帧误差 + 切比近似尾项。上述结论与图信号处理（谱滤波、切比多项式逼近）、等波纹最小极大准则、带限采样/帧理论、以及 I-投影/信息几何的经典结果一致，并在其上给出资源受限场景下的可判性下界。这些判据为 EBOC-Graph 的端到端可复核实现提供了严整的数学脊梁。

1. 引言与贡献

EBOC 把“块→叶→提交“的观测链条内化为图 $G=(V,E)$ 上的谱滤波与统计决策：块态是顶点信号 $X:V\to \mathbb{C}$，叶读取由图谱核 $H=\varphi (L)$（$L$ 为图拉普拉斯或其规范化）和非负窗 $W$ 推前，提交则是在仿射矩约束下对分布作 KL/Bregman 最小化的 I-投影。该建模与图信号处理中“线性滤波 = 谱函数 $\varphi (L)$“完全一致，且可由切比多项式在 $[-1,1]$ 归一化谱上快速实现；POVM-化的读数与 Born 规则提供物理诠释；带限采样与帧理论保障数值稳定与重构可行。

本文贡献（均给出“充要/非渐近界/构造性实现“）：

(i) G1：在叶上线性矩约束下，$\min \mathrm{KL}(p\Vert q)$ 的解与 Born 概率一致之充要条件（KKT 指数族 + Pythagorean 身份）；

(ii) G2：最稳读数等价于最小化 $⟨HX,\Psi HX⟩$ 的Rayleigh–Ritz极小本征模；

(iii) G3：窗/核的频域极小极大最优之等波纹必要条件与切比实现；

(iv) G4：一次性非渐近误差闭合（谱泄露 + 帧误差 + 切比尾项 $O({\rho }^{-m})$）；并在检验设定下给出 $N=\Omega (r^{-2})$ 的样本下界（Le Cam + Pinsker）。

2. 预备、记号与公设（图版）

• 图 $G=(V,E)$，度矩阵 $D$，（规范化）拉普拉斯 $L$ 或 $\mathcal{L}$。${\ell }^2(V,w_V)$ 内积 $⟨f,g⟩={\sum }_{v\in V}\overline{f(v)}g(v)w_V(v)$。
• 谱滤波器：$H=\varphi (L)$；数值实现以切比展开 $H_m={\sum }_{k=0}^m{a}_k{T}_k(L)$（$L$ 把谱仿射至 $[-1,1]$，$T_k$ 为第一类切比多项式）。
• 窗：$W:V\to {\mathbb{R}}_{\ge 0}$，$\Psi =\mathrm{diag}(W)⪰0$。
• 带限类：${\mathcal{B}}_{\Omega }=\mathrm{span}\{u_{\ell }:{\lambda }_{\ell }\le \Omega \}$。
• 采样与帧：${\mathsf{P}}_S$ 在 ${\mathcal{B}}_{\Omega }$ 上满足帧界 $A\Vert X{\Vert }^2\le \Vert {\mathsf{P}}_{S}X{\Vert }^2\le B\Vert X{\Vert }^2$。
• 子归一化读数：柔叶 $\{M_j{\}}_{j=1}^n$ 非负且 ${\sum }_j{M}_j=1$。令 $E_j={\Psi }^{1/2}{M}_j{\Psi }^{1/2}⪰0$，${\sum }_j{E}_j=\Psi$（子归一化 effect 集，经归一化获得 POVM 概率）。Born-型概率

$$p_j(X):=\frac{⟨HX,E_{j}HX⟩}{{\sum }_i⟨HX,E_{i}HX⟩}=\frac{\Vert M_j^{1/2}{\Psi }^{1/2}HX{\Vert }_2^2}{{\sum }_i\Vert M_i^{1/2}{\Psi }^{1/2}HX{\Vert }_2^2}\in [0,1],p(X)\in {\Delta }_n.$$

公设（C0g–C5g）：

(C0g) $\varphi$ 连续有界，谱 $\sigma (L)\subset [0,{\lambda }_{\max }]$；(C1g) 相关和/内积可由 ${\ell }^1/{\ell }^2$ 主导；(C2g) 切比近似尾项服从Bernstein 椭圆界 $\lesssim C_{\varphi }{\rho }^{-m}$；(C3g) $(S,\Omega )$ 构成带限帧；(C4g) 提交约束集仿射线性且 KL 在单纯形上严格凸，约束集与单纯形内点相交（相对内点）；(C5g) $\Vert W{\Vert }_{\infty }<\infty$ 保证 $\Psi$ 有界且 $H^{\ast }\Psi H$ 有定义，且对所有研究态 $X$，$⟨HX,\Psi HX⟩>0$。

约定：本文所有 $\log$ 均指 $\ln$；所有内积与范数默认在 ${\ell }^2(V,w_V)$ 上。

3. 模型：块→叶→提交

定义 3.1（叶读数） 设柔叶 $\{M_j\}$，${\sum }_j{M}_j=1$，$M_j⪰0$。令 $E_j={\Psi }^{1/2}{M}_j{\Psi }^{1/2}⪰0$，${\sum }_j{E}_j=\Psi$。定义

$$p_j(X):=\frac{⟨HX,E_{j}HX⟩}{{\sum }_i⟨HX,E_{i}HX⟩}=\frac{\Vert M_j^{1/2}{\Psi }^{1/2}HX{\Vert }_2^2}{{\sum }_i\Vert M_i^{1/2}{\Psi }^{1/2}HX{\Vert }_2^2}\in [0,1].$$

约定：若 $⟨HX,\Psi HX⟩=0$，则令 $p(X)=q$（或均匀）以作缺省；更一般地，$\{E_j\}$ 为子归一化 effect 集（${\sum }_j{E}_j=\Psi$），上式给出在窗事件上条件化的 Born 概率。此缺省规则与公设 (C5g) 要求 $⟨HX,\Psi HX⟩>0$ 并行不悖：(C5g) 确保正常情形下分母非零，而缺省规则处理边界或退化情形。

以上与量子 POVM 的 Born 规则一致，且与 4.节的能量型泛函保持一致性。

定义 3.2（提交/选择 = I-投影） 设参照分布 $q\in {\Delta }_n$，线性矩约束

$$\mathcal{C}(X)=\{p\in {\Delta }_n:\sum _j{a}_{\ell j}{p}_j=b_{\ell }(X),\ell =1,\dots ,L\}.$$

提交定义为 I-投影

$$\mathrm{Commit}(X)=\arg \underset{p\in \mathcal{C}(X)}{\min }\mathrm{KL}(p\Vert q).$$

I-投影的存在唯一性、指数族形式与Pythagorean 身份来自 Csiszár 与信息几何。

4. 主定理与证明

定理 G1（Born = I-投影，充要）

假设（G1-Q）：$q\in {\Delta }_n$ 满支撑且 $\{p\in {\Delta }_n:Ap=b(X)\}$ 与单纯形内点相交（相对内点）。此时 I-投影存在唯一，且最优解满足 $p_j^{\star }\propto q_j\exp ({\lambda }^{\top }{a}_j)$ 与 Pythagorean 恒等式。

设矩阵 $A=[a_{\ell j}]$ 使 $\mathcal{C}(X)$ 非空且满足上述条件。记

$$p_j^{\mathrm{Born}}(X)=\frac{⟨HX,E_{j}HX⟩}{{\sum }_i⟨HX,E_{i}HX⟩}.$$

则

$$\mathrm{Commit}(X)=p^{\mathrm{Born}}(X)⟺(A{p}^{\mathrm{Born}}(X)=b(X)\text{且}\log p^{\mathrm{Born}}-\log q\in \mathrm{span}\{a_{\ell }\}\oplus \mathbb{R}1).$$

等价地：存在 $\lambda$ 使 $p_j^{\mathrm{Born}}\propto q_j\exp \left({\sum }_{\ell =1}^L{\lambda }_{\ell }{a}_{\ell j}\right)$ 且 $A{p}^{\mathrm{Born}}=b(X)$。

证明（提纲）。KKT 条件给出任意最优解 $p^{\star }$ 的指数族形式 $p_j^{\star }\propto q_j\exp ({\lambda }^{\top }{a}_j)$。KL 的严格凸性与可识别性给唯一性。若存在 $\lambda$ 使上式由 $p^{\mathrm{Born}}$ 满足，则其既可行又最优；反向由信息几何的 Pythagorean 身份与 Bregman 对偶射影唯一性导出必要性。与 POVM-Born 读数之等价性由定义 3.1 直接得到。∎

注：唯一性由 KL 严格凸与相对内点保证（Csiszár；Amari–Nagaoka 的 Pythagorean 身份）。

推论 4.1（稳健性） 若 $b\mapsto \lambda (b)$ 在内点处可微，则 $p^{\star }(b)$ 对 $b$ Lipschitz 连续；对数势的强凸性常数给出模常数。

定理 G2（Pointer = 光谱极小，充要）

定义代价 $\mathfrak{E}(X;W,H)=⟨HX,\Psi HX⟩=⟨X,H^{\ast }\Psi HX⟩$。在 ${\mathcal{B}}_{\Omega }$ 且 $\Vert X\Vert =1$ 上极小化 $\mathfrak{E}$；极小点当且仅当属于 $H^{\ast }\Psi H$ 在 ${\mathcal{B}}_{\Omega }$ 的最小本征子空间；若最小与次小本征值间存在谱隙 $\delta >0$，则该子空间对有界扰动满足 Davis–Kahan 型稳定界。

证明。Rayleigh–Ritz 变分原理：${\min }_{\Vert X\Vert =1,X\in {\mathcal{B}}_{\Omega }}⟨X,H^{\ast }\Psi HX⟩$ 在 $H^{\ast }\Psi H$ 于 ${\mathcal{B}}_{\Omega }$ 的最小本征空间取得；必要性与充分性来自 Hermitian 情形的极值表征。∎

注记。当 $H=\varphi (L)$ 且 $\Psi ⪰0$ 时，$H^{\ast }\Psi H$ 自伴 $⪰0$。

推论 4.2（扰动稳定性） 设 $A=H^{\ast }\Psi H$。若 $\Vert E{\Vert }_2\le \epsilon$，则 $|{\lambda }_{\min }(A+E)-{\lambda }_{\min }(A)|\le \epsilon$（Weyl 不等式）；最小本征子空间与原子空间的夹角由 Davis–Kahan 型界控制（需谱隙 $\delta >0$）。

定理 G3（Windows = 极大极小最优，充要）

设目标带宽 $[0,\Omega ]$、切比次数 $m$ 与固定权 $w_P,w_S\ge 0$。定义

$$\mathcal{E}(W,\varphi ,m;S)=\underset{\lambda \in [0,\Omega ]}{\sup }{w}_P(\lambda )|\varphi (\lambda )-1|+\underset{\lambda \notin [0,\Omega ]}{\sup }{w}_S(\lambda )|\varphi (\lambda )|+\kappa (S,\Omega )+C_{\varphi }{\rho }^{-m},$$

其中 $\kappa (S,\Omega )=\sqrt{B/A}-1$，$\rho >1$ 为目标函数在 Bernstein 椭圆内的解析半径。在参数集取紧（如 $m\le m_{\max }$、窗幅与支撑有界、$S$ 取自有限候选集）时最优点存在。则存在最优 $(W^{\ast },{\varphi }^{\ast },m^{\ast },S^{\ast })$ 使${}^{\ast }$

${}^{\ast }$ 当参数集取为紧集时，最优点存在；否则存在下确界与极小序列。

$$\mathcal{E}(W^{\ast },{\varphi }^{\ast },m^{\ast };S^{\ast })=\underset{W,\varphi ,m,S}{\inf }\underset{X\in {\mathcal{B}}_{\Omega }}{\sup }\mathcal{E}(W,\varphi ,m;S).$$

对固定 $S,\Omega ,m$ 的 $\varphi$-子问题，若将 $\varphi$ 限定为次数 $\le m$ 的多项式（或切比展开截断），则等波纹/交错性质为极小极大解之必要且充要。总体最优仍由 $\kappa (S,\Omega )$ 与 ${\rho }^{-m}$ 的权衡决定。

证明要点。对固定 $S,\Omega ,m$，$|\cdot {|}_{\infty }$ 极小极大逼近的 Chebyshev 等波纹定理给出 $\varphi$-子问题的必要且充要条件；切比逼近的几何级尾项源自 Bernstein 椭圆，次数–精度关系 $m\sim \log {\epsilon }^{-1}/\log \rho$；采样稳定性由带限帧界量化并可通过谱代理/贪心选点提升帧下界。∎

定理 G4（读数的非渐近误差闭合）

对任意 $X\in {\mathcal{B}}_{\Omega }$，以 $H_m$ 近似 $H$，并在采样集 $S$ 上读数与重构。令 $\Delta H=H_m-H$，$\mathfrak{E}(X;W,H)=⟨HX,\Psi HX⟩$。则存在常数 $C_{\varphi },\rho >1$ 使

$$|\mathfrak{E}(X;W,H_m)-\mathfrak{E}(X;W,H)|\le \Vert \Psi \Vert (\Vert H\Vert +\Vert H_m\Vert )\Vert \Delta H\Vert \Vert X{\Vert }^2+\kappa (S,\Omega )\Vert HX{\Vert }^2,$$

且 $\Vert \Delta H\Vert \le \Vert {\varphi }_m-\varphi {\Vert }_{L^{\infty }(\sigma (L))}\le C_{\varphi }{\rho }^{-m}$。若 $X$ 非严格带限，则额外出现项 ${\sup }_{\lambda >\Omega }|\varphi (\lambda )|\Vert P_{>\Omega }X{\Vert }^2$。

若某读数是 $\mathfrak{E}$ 的 1-Lipschitz 函数（如加权归一化），同阶界亦成立。

证明。算子范数逼近误差 $\Vert \Delta H\Vert$ 由 Chebyshev/Bernstein 椭圆界控制；帧误差由 $(A,B)$ 帧界量化；模型失配（若存在）源自超带能量。∎

5. 资源受限的可判性（下界）

对二元检验 $(H_0,H_1)$，任意流程在显著性 $\alpha$、功效 $1-\beta$ 下的样本需求满足

$$\boxed{N\ge \frac{\log \left(\frac{1}{2(\alpha +\beta )}\right)}{\mathrm{KL}(P\Vert Q)}}$$

（Bretagnolle–Huber，不等式对自然对数成立）。若仅掌握分离度的总变差指标，可用 Pinsker 给出更弱的量级推断

$$\mathrm{KL}(P\Vert Q)\ge 2\mathrm{TV}(P,Q{)}^2\Rightarrow N\gtrsim \frac{\log \left(\frac{1}{2(\alpha +\beta )}\right)}{\mathrm{TV}(P,Q{)}^2}\text{（仅作尺度级别的保守估计）},$$

因此应以 KL 版作为严格的分布无关下界；TV 版不可与 KL 版“等价互换“。

证明提纲。Le Cam 两点法把下界化为二分布检验；Bretagnolle–Huber 不等式给出 $\alpha +\beta \ge \frac{1}{2}{e}^{-N\mathrm{KL}(P\Vert Q)}$，等价重排得上述 KL-式下界；Pinsker 不等式 $\mathrm{KL}(P\Vert Q)\ge 2\mathrm{TV}(P,Q{)}^2$ 仅可用于把 KL-式下界松弛成 TV 的量级估计。∎

6. 进一步性质：稳定性与一致性

命题 6.1（I-投影的连续依赖） 若约束 $Ap=b$ 的右端 $b$ 与参照 $q$ 作小扰动，则 $\lambda (b)$ 和 $p^{\star }(b)$ 对 $b$ 连续（在内点为光滑），模常数由对数势的强凸性与 $A$ 的条件数界定。

命题 6.2（Pointer 的矩阵扰动） 设 $A=H^{\ast }\Psi H$。若扰动 $E$ 满足 $\Vert E{\Vert }_2\le \epsilon$，则

$$|{\lambda }_{\min }(A+E)-{\lambda }_{\min }(A)|\le \epsilon \text{（Weyl 不等式）}.$$

最小本征子空间与原子空间的夹角由 Davis–Kahan 型界控制（与“推论 4.2“一致）。

命题 6.3（图→经典的一致性） 当 $G$ 的谱趋于连续谱且 ${\mathcal{B}}_{\Omega }$ 的图 Paley–Wiener 类在网格细化极限下收敛，采样—重构与误差闭合退化为经典带限信号论；帧常数与 Shannon 采样常数相容。

7. 实现蓝图（可复现实用要点）

• 核设计（切比—等波纹）：把谱仿射至 $[-1,1]$，指定通/阻带与权重，按 Remez 交换求极小极大 ${\varphi }^{\ast }$（Parks–McClellan 传统），次数 $m\sim \log ({\epsilon }^{-1})/\log \rho$。
• 快速滤波：用切比递推实现 $H_m={\sum }_{k=0}^m{a}_k{T}_k(\tilde{L})$ 的线性算子作用，无需特征分解。
• 采样集选择：以谱代理最大化帧下界 $A$（或最小化 $\kappa =\sqrt{B/A}-1$）。
• 提交阶段：把观测统计写成 $Ap=b$，参照 $q$ 取装置平衡；解 $p_j^{\star }\propto q_j\exp ({\lambda }^{\top }{a}_j)$ 并校验 G1 的充要条件。

8. 与现有文献的对应与拓展（择要）

• 图谱滤波与切比实现：$H=\varphi (L)$ 与切比逼近是 GSP 教程与“图小波“的标准做法；本文把其与极小极大准则及误差闭合拼装为端到端判据。
• 等波纹/极小极大：Parks–McClellan 源自 Remez 与 Chebyshev 交错等幅定理（必要且充要）；本文把其搬到图谱域并与帧稳定性耦合。
• 带限采样与帧：Paley–Wiener 图带限采样、帧重构与采样集选择给出稳定性与鲁棒性工具。
• I-投影/信息几何：Csiszár 的 I-投影几何与 Amari-Nagaoka 的 Pythagorean 身份支撑 G1 的充要性。
• 近似论尾项：Bernstein 椭圆给出 ${\rho }^{-m}$ 衰减与明确常数，支撑 G3/G4。

9. 与前序理论的接口

9.1 与 Euler 理论系列（S15–S25）的联结

虽然 EBOC-Graph 理论主要基于图论框架，但与 Euler 系列（S15–S25）存在深刻的结构对应：

与 S15（Weyl–Heisenberg）：

• 图拉普拉斯 $L$ 的谱分解对应 S15 的 Weyl–Heisenberg 酉表示；
• 谱滤波器 $\varphi (L)$ 对应 S15 的窗函数诱导的 RKHS 内积。

与 S18（窗不等式）：

• 定理 G3 的带限采样条件对应 S18 的 Nyquist 条件；
• 帧界 $[A,B]$ 对应 S18 的窗加权半范数等价常数。

与 S20（BN–Bregman）：

• 定理 G1 的 I-投影即 S20 的 KL 最小化（I-projection）；
• KKT 指数族形式对应 S20 的 Bregman 几何最优性条件。

与 S21（奇性稳定）：

• 定理 G4 的非渐近误差闭合对应 S21 的有限阶 EM 误差分解；
• 切比尾项 $O({\rho }^{-m})$ 对应 S21 的“极点 = 主尺度“保持原则。

与 S22（窗/核最优）：

• 定理 G3 的等波纹极小极大条件对应 S22 的带限偶窗变分原理；
• Remez 交换算法对应 S22 的频域核型 Euler–Lagrange 方程。

与 S24（紧框架）：

• 采样帧条件 $A\Vert X{\Vert }^2\le \Vert {\mathsf{P}}_{S}X{\Vert }^2\le B\Vert X{\Vert }^2$ 对应 S24 的 Calderón–帧界判据；
• 图带限类 ${\mathcal{B}}_{\Omega }$ 对应 S24 的 Paley–Wiener 偶子空间。

与 S25（非平稳框架）：

• 分块谱滤波对应 S25 的分块非平稳 Weyl–Mellin 系统；
• 定理 G3 的谱泄露控制对应 S25 的“无混叠“条件。

9.2 与量子理论的联结

与量子测量理论：

• 定义 3.1 的 POVM-化读数与量子测量的 Born 规则一致；
• 定理 G1 的充要条件提供了 Born 概率与信息几何的统一框架。

与指针基理论：

• 定理 G2 的 Rayleigh–Ritz 极小本征模对应指针基的环境选择；
• $H^{\ast }\Psi H$ 的最小本征空间对应最稳定的测量基。

9.3 统一框架的可证性

本理论的所有主定理（G1–G4）均基于严格的数学证明：

• G1 基于 Csiszár 的 I-投影理论与信息几何的 Pythagorean 身份；
• G2 基于 Rayleigh–Ritz 变分原理与谱理论；
• G3 基于 Chebyshev 等波纹定理与 Bernstein 椭圆近似；
• G4 基于帧理论与函数逼近论的非渐近界。

这些结果为 EBOC-Graph 提供了与 S15–S25 理论体系一致的、可验证的数学基础。

10. 结论

本文在 EBOC-Graph 中把“块—叶—提交“统一到严整的图谱—凸优化—帧采样骨架：

$$\text{Born = I-投影（充要）},\text{Pointer = 光谱极小（充要）},\text{Windows = 极大极小（充要）},$$

并给出一次性的非渐近误差闭合与样本下界。上述判据与实现路径与 GSP、信息几何与等波纹经典理论相容且延伸，为静态块宇宙的图论表述提供了可复核、可实现的理论与算法基座。

参考文献（选）

1. Shuman, Narang, Frossard, Ortega, Vandergheynst, “The Emerging Field of Signal Processing on Graphs,” IEEE Signal Process. Mag., 2013（GSP 教程；谱滤波与多项式实现）。
2. Hammond, Vandergheynst, Gribonval, “Wavelets on Graphs via Spectral Graph Theory,” Appl. Comput. Harmon. Anal., 2011（图小波；切比近似快速算法）。
3. Csiszár, “I-Divergence Geometry of Probability Distributions and Minimization Problems,” Ann. Probab., 1975（I-投影/KKT/Pythagorean）。
4. Amari & Nagaoka, Methods of Information Geometry, 2000（信息几何；Bregman 对偶）。
5. Nielsen & Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Ed.（POVM 与 Born 规则）。
6. Parks & McClellan, “Chebyshev Approximation for Nonrecursive Digital Filters with Linear Phase,” IEEE Trans. Circuit Theory, 1972（等波纹最优与 Remez 交换）。
7. Pesenson, “Sampling in Paley–Wiener Spaces on Combinatorial Graphs,” Trans. Amer. Math. Soc., 2008（图带限采样与帧）。
8. Chen, Varma, Sandryhaila, Kovačević, “Discrete Signal Processing on Graphs: Sampling Theory,” IEEE Trans. Signal Process., 2015。
9. Tsitsvero, Barbarossa, Di Lorenzo, “Signals on Graphs: Uncertainty Principle and Sampling,” IEEE Trans. Signal Process., 2016。
10. Horn & Johnson, Matrix Analysis, 2nd ed.（Rayleigh–Ritz/变分原理与矩阵扰动）。
11. Trefethen, Approximation Theory and Approximation Practice, SIAM, 2013（Bernstein 椭圆与误差界）。
12. Tulsiani 等课程讲义，“Pinsker 不等式与下界”（用于 Le Cam + Pinsker）。

附录 A：切比窗的构造性实现（提纲）

1. 谱归一化 $\tilde{L}\in [-1,1]$，指定通/阻带与权；
2. 以 Remez/等波纹准则在两带上求极小极大 ${\varphi }^{\ast }$；
3. 用切比 $T_k$ 逼近 ${\varphi }^{\ast }$，次数 $m\sim \log ({\epsilon }^{-1})/\log \rho$；
4. 选 $S$ 以最大化 $A$（可用谱代理/贪心）。

离散谱注记：图拉普拉斯谱为离散点集；实现层采用加权离散极小极大（或对连续代理密度作加权），Remez 交换仍可用，交错点数满足“维度+1“的变体。

附录 B：I-投影的 KKT 与 Pythagorean 身份

$$\underset{p\in {\Delta }_n}{\min }\{\mathrm{KL}(p\Vert q):Ap=b\}\Rightarrow p_j^{\star }\propto q_j\exp ({\lambda }^{\top }{a}_j),$$

且

$$\mathrm{KL}(p\Vert q)=\mathrm{KL}(p\Vert p^{\star })+\mathrm{KL}(p^{\star }\Vert q).$$

指数族形式与几何恒等式见 Csiszár 与 Amari–Nagaoka。

附录 C：Bernstein 椭圆与切比尾项

若 $f$ 在 Bernstein 椭圆 $E_{\rho }$ 内解析且 $|f|\le M$，则最佳 $n$ 次切比逼近误差 $\Vert f-p_n{\Vert }_{\infty }\le 4M{\rho }^{-n}/(\rho -1)$。据此得 $C_{\varphi }{\rho }^{-m}$ 级的尾项上界。