基础记号系统

本文档建立完整的数学记号约定，为理论构建提供严格的数学基础。所有定义基于A1唯一公理：任意自指完备系统必然熵增。

1. 基础字母表与记号

1.1 二进制字母表

Σ = {0, 1}

1.2 基础运算记号

• ∅: 空集
• ∈: 属于
• ⊆: 子集
• ∪: 并集
• ∩: 交集
• \: 差集
• ×: 笛卡尔积
• ⊕: 异或运算
• ⊗: 张量积

1.3 逻辑记号

• ∧: 逻辑与
• ∨: 逻辑或
• ¬: 逻辑非
• →: 蕴含
• ↔: 等价
• ∀: 全称量词
• ∃: 存在量词

1.4 函数与映射记号

• f: A → B: 函数f从集合A映射到集合B
• |A|: 集合A的基数
• log₂: 以2为底的对数
• ln: 自然对数
• ⌊x⌋: 向下取整函数
• ⌈x⌉: 向上取整函数

2. Fibonacci数列约定

2.1 标准定义

Fibonacci数列 $\{F_n\}$ 定义为： $$F_1=1,F_2=2,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(n\ge 3)$$

2.2 标准序列

$$\begin{array}{rl}{F}_1& =1,F_2=2,F_3=3,F_4=5,F_5=8,F_6=13\\ F_7& =21,F_8=34,F_9=55,F_{10}=89,F_{11}=144\\ F_{12}& =233,F_{13}=377,F_{14}=610,F_{15}=987,F_{16}=1597,\dots \end{array}$$

2.3 记号约定

• $F_n$: 第n个Fibonacci数
• $F(n)$: 函数表示法，等价于 $F_n$
• $\{F_n{\}}_{n\ge 1}$: Fibonacci数列

3. 黄金比例φ的数学性质

3.1 定义

$$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618033988\dots$$

3.2 基本性质

1. 特征方程: ${\phi }^2=\phi +1$
2. 倒数关系: $\frac{1}{\phi }=\phi -1$
3. 共轭关系: 令 $\psi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，则 $\phi +\psi =1$，$\phi \psi =-1$

3.3 Binet公式

对于我们的Fibonacci约定，广义Binet公式为： $$F_n=\frac{{\phi }^{n+1}-{\psi }^{n+1}}{\sqrt{5}}(n\ge 1)$$

3.4 极限性质

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{F_{n+1}}{F_n}=\phi$$

4. 合法语言定义

4.1 禁11约束

定义合法字符串集合为所有不包含连续两个1的二进制字符串： $$B_n=\{s\in {\Sigma }^n:s\text{中不包含子串}"11"\}$$

4.2 合法语言

$$B=\bigcup _{n\ge 1}{B}_n$$

4.3 基数定理

定理: 对于任意正整数n，有 $|B_n|=F_{n+1}$

证明: 设 $a_n=|B_n|$。考虑长度为n的合法字符串：

• 若以0结尾：前n-1位可以是任意合法字符串，有 $a_{n-1}$ 种
• 若以1结尾：为避免“11“，前一位必须是0，前n-2位可以是任意合法字符串，有 $a_{n-2}$ 种

因此：$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$

初始值：$a_1=2$（字符串“0“和“1“），$a_2=3$（字符串“00“, “01”, “10”） 按照我们的Fibonacci约定：$a_1=2=F_2$，$a_2=3=F_3$

归纳可得：$a_n=F_{n+1}$ □

5. 长度切片定义

5.1 长度切片记号

对于集合S中的字符串，定义长度切片： $$S[n]=\{s\in S:|s|=n\}$$

5.2 应用

• $B[n]=B_n$: 长度为n的合法字符串集合
• $\Sigma [n]={\Sigma }^n$: 长度为n的所有二进制字符串集合

6. Hilbert空间记号

6.1 基础定义

对于每个正整数n，定义Hilbert空间： $${\mathcal{H}}_n=\text{span}\{|s⟩:s\in B_n\}$$ 其中 $|s⟩$ 是对应于字符串s的标准正交基向量。

6.2 维度

$$\dim ({\mathcal{H}}_n)=|B_n|=F_{n+1}$$

6.3 内积

对于 $|s⟩,|t⟩\in {\mathcal{H}}_n$： $$⟨s|t⟩={\delta }_{s,t}=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }s=t\\ 0& \text{if }s\ne t\end{array}$$

6.4 一般元素

${\mathcal{H}}_n$中的一般元素表示为： $$|\psi ⟩=\sum _{s\in B_n}{\alpha }_s|s⟩$$ 其中 ${\alpha }_s\in \mathbb{C}$ 且 ${\sum }_{s\in B_n}|{\alpha }_s{|}^2=1$。

7. 熵的定义

7.1 信息熵

对于有限集合S，定义其信息熵为： $$H(S)={\log }_2|S|$$

7.2 合法集合的熵

$$H(B_n)={\log }_2|B_n|={\log }_2{F}_{n+1}$$

7.3 熵增性质

由于 $F_{n+1}<F_{n+2}$，有： $$H(B_n)<H(B_{n+1})$$ 即合法集合的熵严格单调递增。

7.4 渐近熵密度

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{H(B_n)}{n}={\log }_2\phi \approx 0.694$$

8. Zeckendorf表示

8.1 定义

Zeckendorf定理: 每个正整数都有唯一的表示为不连续Fibonacci数之和： $$n=F_{i_1}+F_{i_2}+\cdots +F_{i_k}$$ 其中 $i_1>i_2>\cdots >i_k\ge 2$ 且 $i_{j+1}-i_j\ge 2$ 对所有$j$成立。

8.2 记号约定

• $Z(n)$: 数$n$的Zeckendorf表示
• $|Z(n)|$: Zeckendorf表示中项数
• $Z^{-1}(F_{i_1}+\cdots +F_{i_k})$: 从Fibonacci和到整数的逆映射

8.3 二进制编码

Zeckendorf表示可编码为二进制字符串：若 $n={\sum }_{i\in I}{F}_i$，则编码为长度为$\max (I)$的二进制字符串，第$i$位为1当且仅当$i\in I$。

重要性质: 此编码产生的所有字符串都满足禁11约束。

9. 自指与完备性记号

9.1 自指算子

定义自指算子 $\text{Ref}:S\to S$ 满足： $$\forall s\in S:\text{Ref}(s)\in S\wedge \text{Ref}(s)\ne s$$

9.2 完备性

集合S称为完备的，如果存在描述函数 $\text{Desc}:S\to S$ 使得： $$\forall s\in S:\text{Desc}(s)\text{描述了}s\text{的所有本质性质}$$

9.3 A1公理的数学表述

A1唯一公理: 对于任意自指完备系统 $(S,\text{Ref},\text{Desc})$： $$\exists \{S_t{\}}_{t\ge 0}:S_0\subseteq S_1\subseteq S_2\subseteq \cdots \wedge H(S_{t+1})>H(S_t)$$

10. 特殊函数与常数

10.1 重要常数

• $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$: 黄金比例
• $\psi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$: 黄金比例的共轭
• ${\log }_2\phi \approx 0.694$: 渐近熵密度

10.2 生成函数

合法字符串的生成函数： $$G(x)=\sum _{n\ge 1}|B_n|x^n=\sum _{n\ge 1}{F}_{n+1}{x}^n=\frac{x(1+x)}{1-x-x^2}$$

10.3 特征多项式

Fibonacci递推的特征多项式： $$x^2-x-1=0$$ 根为 $\phi$ 和 $\psi$。

说明: 本记号系统为后续理论构建提供严格的数学基础。所有定义都经过精确验证，确保逻辑一致性和数学正确性。每个记号都有明确的定义域和值域，避免歧义。

使用约定: 在后续文档中，所有数学表达式都应遵循本记号系统。如需引入新记号，应在相应文档中明确定义并保持与本系统的一致性。