探测纠缠引力：利用高 Q 值超导微波腔区分能量引力与信息引力

Detecting Entanglement Gravity: Distinguishing Energy-Sourced and Information-Sourced Gravity using High-Q Superconducting Cavities

Abstract

在标准广义相对论框架中，引力场完全由能量–动量张量 $T_{\mu \nu }$ 决定；在弱场极限下，只要能量密度与压力分布保持不变，引力效应与量子态的纠缠结构无关。与此形成对照的是，一系列基于熵、纠缠与全息原理的工作表明，爱因斯坦方程可以从局域熵平衡或真空纠缠结构中导出，暗示时空几何在更深层面上可能由量子信息所决定。本文在此前“光程守恒–信息体积守恒“框架基础上，引入一个唯象的“纠缠引力“项：局域冯·诺依曼熵密度或纠缠熵密度 ${\rho }_{\text{ent}}$ 通过修正光学折射率 $n(x)$ 而影响光的 Shapiro 型相位延迟。

为在实验上区分“能量引力“与“信息引力“，我们提出一类桌面级实验：利用高 Q 值超导微波腔，在保持腔内电磁场期望能量 $⟨H⟩$ 不变的条件下，在低纠缠相干态与高度纠缠压缩态、多模簇态之间周期切换，由穿越腔体附近的高精细度法布里–珀罗探测光路测量附加光程与相位延迟。本文构造了一个包含信息引力耦合常数 ${\lambda }_{\text{ent}}$ 的光学度规模型，证明在弱场与近轴近似下，调制态之间的相位差满足

$$\Delta \Phi \simeq {\lambda }_{\text{ent}}\mathcal{G}\Delta s_{\text{ent}},$$

其中 $\Delta s_{\text{ent}}$ 为腔体内纠缠熵面密度变化，$\mathcal{G}$ 为由腔体几何与探测光路决定的几何因子。进一步结合当代超导腔 Q 值与激光干涉测量技术，对典型参数（$Q\sim 10^{9\text{–}10}$、$\Delta S_{\text{ent}}\sim 10\text{–}10^2$ bit、精细度 $\mathcal{F}\sim 10^5$）给出了预期信号量级与噪声预算。结果表明，在合理的几何配置与锁模方案下，若 ${\lambda }_{\text{ent}}$ 不低于某一临界值，对应的相位调制幅度可达 $\Delta \Phi \sim 10^{-9}\text{rad}$ 量级，接近当前激光干涉与压缩光读出链路的相位灵敏度极限。反之，若未观测到与纠缠度同频调制的差分相位信号，则可对 ${\lambda }_{\text{ent}}$ 施加直接的实验上界，从而在实验上首次对“纠缠本身是否作为引力源“给出定量约束。

Keywords

纠缠引力；光程守恒；Shapiro 延迟；超导微波腔；量子光学；桌面级引力实验

Introduction & Historical Context

广义相对论将引力描述为带 Lorentz 签名的四维时空几何，度规 $g_{\mu \nu }$ 由爱因斯坦方程

$$G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$

所决定。该方程的右端由能量–动量张量 $T_{\mu \nu }$ 唯一给出，引力源在这一框架下是“能量–动量“，而非独立的信息量或纠缠结构。弱场极限中，度规可写为 $g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$，其中 $h_{\mu \nu }$ 与牛顿势 $\Phi$ 直接相关，经典的 Shapiro 时间延迟实验精确验证了这种能量源引力产生的光速修正与光程延迟。

另一方面，近三十年来关于“引力与时空是否源于熵与纠缠“的研究不断发展。Jacobson 通过局域 Rindler 视界的热力学平衡关系 $\delta Q=T\delta S$ 推导出爱因斯坦方程，将其解释为一种“方程状态“。Ryu–Takayanagi 与后续工作表明，在 AdS/CFT 全息对应中，共形场论子区域的纠缠熵等价于反 de Sitter 空间中相应极小曲面的面积，揭示了量子纠缠与几何面积之间的精确定量联系。Van Raamsdonk 则进一步提出，宏观连通时空可以被视为底层量子自由度纠缠结构的“粘合物“，减少纠缠将导致时空区域在几何上“撕裂“或“断裂“。Verlinde 的熵引力方案更直接将引力视作与信息、熵和全息屏相关的熵力。

这些工作共同指向一个图景：时空几何与引力场在某种意义上是量子信息与纠缠结构的涌现描述，而爱因斯坦方程可被理解为某种“纠缠平衡条件“的宏观近似。然而，它们大多在理论层面上建立了“几何 ↔ 熵/纠缠“的间接联系，真正直接检验“纠缠是否作为独立引力源“的实验仍然缺失。

近期，Bose 等与 Marletto–Vedral 等提出了著名的 BMV 类桌面实验方案：利用引力作用在质量叠加态之间产生可观测的自发纠缠，借此证明“若两个量子系统通过某场相互作用而产生纠缠，则该场本身必为量子实体“。这一思路以“纠缠作为见证（witness）“来反推引力场的量子性，而并不主张纠缠本身对引力强度有额外贡献。随后的一系列分析进一步讨论了该方案在局域性、量子场论建模与经典场重述下的可行性和局限。

与之不同，本文考虑一种更激进的可能性：在能量–动量张量之外，还存在与局域纠缠结构或信息处理密度相关的“信息引力源“。在此前“信息体积守恒–光学度规“框架中，我们提出在弱场极限下可以用一个有效折射率场 $n(x)$ 来编码度规扰动，而 $n(x)$ 由局域信息体积或信息处理速率决定。若这一框架正确，则在保持能量密度不变的条件下，单纯改变局域纠缠结构，也应当在原则上引起可观测的光程变化。

实验上，要在可控条件下解耦“能量“与“纠缠“两类引力源，需要满足以下要求：

1. 可实现能量期望值 $⟨H⟩$ 高精度锁定；

2. 可在保持 $⟨H⟩$ 基本不变的前提下，大幅度调制纠缠熵或冯·诺依曼熵；

3. 可在目标体积附近测量极微弱的折射率或光程变化。

高 Q 值超导微波腔与现代量子光学技术正好提供了这样的平台。近年来，基于超导射频腔与三维腔 QED 的工作已经在 10 mK 量级温度下实现了 $Q>10^{10}$ 的微波腔品质因数，并可在毫秒乃至更长时间尺度内保持量子态相干，为多模压缩态与簇态等高度纠缠光场提供了稳定载体。与此同时，干涉测量领域依托高精细度光学腔与压缩光注入，已经在 LIGO 等引力波探测器中实现了接近量子极限的相位灵敏度。

在这一技术背景下，本文提出并分析如下问题：在一个总能量高度稳定的高 Q 超导微波腔附近，若周期性地在低纠缠态与高纠缠态之间切换，穿越该区域的探测光束是否会表现出除标准 GR 预测以外、与纠缠度调制同频的附加 Shapiro 型相位延迟？若观测到这样的差分信号，则支持“信息/纠缠作为独立引力源“的假说；若未观测到，则可以对相关耦合常数给出实验上限。

下文结构如下：第 2 节构建信息引力的光学度规模型并给出基本假设；第 3 节给出主要结果，以定理形式表明在固定能量条件下纠缠熵调制必然导致光程调制；第 4 节结合超导微波腔与高精细度光学腔给出数值估算与参数约束；第 5 节讨论实验工程实现与噪声预算；第 6 节讨论风险与与既有工作的关系；最后给出结论与展望，并在附录中给出光学度规、Shapiro 相位与误差预算的详细推导。

Model & Assumptions

2.1 信息引力的光学度规模型

在弱场静态近似下，标准 GR 的线元可写为

$$\mathrm{d}{s}^2=-\left(1+\frac{2\Phi (\mathbf{x})}{c^2}\right)c^2\mathrm{d}{t}^2+\left(1-\frac{2\Psi (\mathbf{x})}{c^2}\right)\mathrm{d}{\mathbf{x}}^2,$$

其中 $\Phi \simeq \Psi$ 为牛顿势，满足

$${\nabla }^2\Phi (\mathbf{x})=4\pi G{\rho }_E(\mathbf{x}),$$

${\rho }_E$ 为能量密度。对近轴传播的光线，可以引入等效折射率

$$n_{\text{GR}}(\mathbf{x})\simeq 1-\frac{\Phi (\mathbf{x})}{c^2},$$

Shapiro 延迟即来自 $n_{\text{GR}}>1$ 导致的光程增加。

在“光程守恒–信息体积守恒“框架中，我们引入一个附加的“信息引力势“ ${\Phi }_{\text{ent}}$，并假定总有效势

$${\Phi }_{\text{eff}}={\Phi }_E+{\Phi }_{\text{ent}},$$

其中 ${\Phi }_E$ 为由 $T_{\mu \nu }$ 决定的常规势，${\Phi }_{\text{ent}}$ 与局域纠缠熵密度直接相关。于是总折射率

$$n(\mathbf{x})\simeq 1-\frac{{\Phi }_{\text{eff}}(\mathbf{x})}{c^2}=1-\frac{{\Phi }_E(\mathbf{x})}{c^2}-\frac{{\Phi }_{\text{ent}}(\mathbf{x})}{c^2}.$$

本文采取的唯象假设为：存在一个与 Bekenstein–Hawking 面积–熵关系兼容的耦合，将纠缠熵面密度 $s_{\text{ent}}(\mathbf{x})$ 与 ${\Phi }_{\text{ent}}$ 相关联：

$${\Phi }_{\text{ent}}(\mathbf{x})=-{\lambda }_{\text{ent}}{c}^2\frac{{\ell }_{\text{P}}^2}{L_{\ast }}{s}_{\text{ent}}(\mathbf{x}),$$

其中 ${\ell }_{\text{P}}$ 为 Planck 长度，$L_{\ast }$ 为宏观粗粒化尺度（在本实验中取为腔体线性尺寸），${\lambda }_{\text{ent}}$ 为无量纲耦合常数，$s_{\text{ent}}$ 的单位为 bit/${\text{m}}^2$。这样，信息引力贡献的折射率修正为

$$\delta n_{\text{ent}}(\mathbf{x})=\frac{{\Phi }_{\text{ent}}(\mathbf{x})}{c^2}=-{\lambda }_{\text{ent}}\frac{{\ell }_{\text{P}}^2}{L_{\ast }}{s}_{\text{ent}}(\mathbf{x}).$$

上述形式借鉴了黑洞熵 $S=A/(4{\ell }_{\text{P}}^2)$ 中“每 $\mathcal{O}({\ell }_{\text{P}}^2)$ 面积单元对应 $\mathcal{O}(1)$ 比特“的经验标度，以 ${\ell }_{\text{P}}^2{s}_{\text{ent}}$ 作为无量纲纠缠“过密度“，同时通过 $L_{\ast }$ 将面密度升至势的合适尺度。其物理含义可理解为：在给定宏观体积中，如果边界纠缠熵面密度超过某一基准值，则需要通过减缓光程（等价于局域时间膨胀）来“腾出计算资源“，从而实现信息体积守恒。

2.2 腔体模型与纠缠熵密度

考虑一长为 $L_{\text{cav}}$、横截面积为 $A_{\text{cav}}$ 的超导微波腔，其内部支持一组离散模式 ${\hat{a}}_k$，总哈密顿量

$$\hat{H}=\sum _k\hslash {\omega }_k\left({\hat{a}}_k^{†}{\hat{a}}_k+\frac{1}{2}\right).$$

我们在本文中只关心两类宏观可调的腔内量：

1. 能量期望值

   $$E_0=⟨\hat{H}⟩;$$

2. 在某一自然分割（例如左右极板、不同极化模或频率模）下的纠缠熵面密度

   $$s_{\text{ent}}=\frac{S_{\text{ent}}}{A_{\text{cav}}},S_{\text{ent}}=-\mathrm{tr}\left({\hat{\rho }}_A\log {\hat{\rho }}_A\right),$$

   其中 ${\hat{\rho }}_A$ 是对一侧自由度做迹的约化密度算符。

实验上，我们在两种宏观可区分的态之间切换：

• 态 A（基准态）：多模相干态

  $$|A⟩=\underset{k}{⨂}|{\alpha }_k⟩,$$

  其冯·诺依曼熵与纠缠熵近似为零，$S_{\text{ent}}^{(A)}\simeq 0$；

• 态 B（测试态）：多模纠缠态，例如多对双模压缩真空态或簇态

  $$|B⟩=\underset{j=1}{\overset{M}{⨂}}|\text{TMSV}(r_j)⟩,$$

  通过选择压缩参量 $r_j$ 和模数 $M$，调节总光子数 $⟨\hat{N}⟩={\sum }_k⟨{\hat{a}}_k^{†}{\hat{a}}_k⟩$ 与态 A 相匹配，从而保证

  $$⟨A|\hat{H}|A⟩=⟨B|\hat{H}|B⟩=E_0.$$

在这两类态中，能量密度 ${\rho }_E=E_0/(A_{\text{cav}}{L}_{\text{cav}})$ 保持不变，而纠缠熵面密度从 $s_{\text{ent}}^{(A)}\approx 0$ 跃迁到 $s_{\text{ent}}^{(B)}\gg 0$。定义

$$\Delta s_{\text{ent}}=s_{\text{ent}}^{(B)}-s_{\text{ent}}^{(A)},\Delta S_{\text{ent}}=S_{\text{ent}}^{(B)}-S_{\text{ent}}^{(A)}.$$

将上述代入信息引力折射率修正，得到 A 与 B 态之间折射率差

$$\Delta n_{\text{ent}}=n_B-n_A=-{\lambda }_{\text{ent}}\frac{{\ell }_{\text{P}}^2}{L_{\ast }}\Delta s_{\text{ent}}=-{\lambda }_{\text{ent}}\frac{{\ell }_{\text{P}}^2}{L_{\ast }{A}_{\text{cav}}}\Delta S_{\text{ent}}.$$

在下文的实验场景中，我们将 $L_{\ast }$ 取为 $L_{\text{cav}}$，并假定腔内折射率在横向均匀，从而可以将 $\Delta n_{\text{ent}}$ 视为通过腔体中心一条窄光路时的平均修正。

2.3 探测光路与 Shapiro 型相位延迟

考虑一束波长为 ${\lambda }_p$ 的探测光沿近似直线光路穿过腔体有效区域，并构成一高精细度法布里–珀罗光学腔的一部分。设单程通过腔体的几何长度为 $L_{\text{pass}}$（对完全穿过腔体可取 $L_{\text{pass}}\simeq L_{\text{cav}}$，对贴边掠过可取更小值）。在弱折射近似下，单程额外相位延迟

$$\delta {\varphi }_{\text{single}}=k_p{\int }_{\text{path}}\Delta n_{\text{ent}}(l)\mathrm{d}l\simeq k_p\Delta n_{\text{ent}}{L}_{\text{pass}},$$

其中 $k_p=2\pi /{\lambda }_p$。

若探测光在 F-P 腔内往返 $N$ 次，则总额外相位延迟

$$\Delta \Phi =N\delta {\varphi }_{\text{single}}\simeq \frac{2\pi N{L}_{\text{pass}}}{{\lambda }_p}\left(-{\lambda }_{\text{ent}}\frac{{\ell }_{\text{P}}^2}{L_{\text{cav}}{A}_{\text{cav}}}\Delta S_{\text{ent}}\right).$$

这给出了在固定能量条件下信息引力导致的 Shapiro 型相位调制的基本形式。

Main Results (Theorems and Alignments)

为便于与实验设计直接对应，本节在前述模型基础上给出三个核心结果，并以定理形式整理。

定理 1（固定能量下纠缠熵调制导致的相位调制）

假设：

1. 腔体内电磁场在态 A 与态 B 之间切换时满足

   $$⟨A|\hat{H}|A⟩=⟨B|\hat{H}|B⟩=E_0,$$

   即能量期望值相同；

2. 腔体几何固定，$L_{\text{cav}}$、$A_{\text{cav}}$ 不变；

3. 信息引力由折射率修正

   $$\Delta n_{\text{ent}}=-{\lambda }_{\text{ent}}\frac{{\ell }_{\text{P}}^2}{L_{\text{cav}}{A}_{\text{cav}}}\Delta S_{\text{ent}}$$

   给出；

4. 探测光在 F-P 腔内往返 $N\simeq 2\mathcal{F}/\pi$ 次，其中 $\mathcal{F}$ 为精细度，光程中仅在长度 $L_{\text{pass}}$ 区域内存在上述折射率修正。

则：在态 A 和态 B 之间切换引起的总相位差为

$$\Delta \Phi =-{\lambda }_{\text{ent}}\mathcal{G}\Delta S_{\text{ent}},$$

其中几何因子

$$\mathcal{G}=\frac{2\pi N{L}_{\text{pass}}}{{\lambda }_p}\frac{{\ell }_{\text{P}}^2}{L_{\text{cav}}{A}_{\text{cav}}}.$$

换言之，在固定能量条件下，所有与信息引力相关的相位调制均线性正比于纠缠熵变化量 $\Delta S_{\text{ent}}$，而与能量本身无关。

定理 2（能量失配下 GR 贡献的上界）

假设：

1. 在实际实验中，能量锁定存在残余失配 $\delta E=E_B-E_A$，满足 $|\delta E|\ll E_0$；

2. GR 的能量源引力贡献由牛顿势修正折射率

   $$\Delta n_{\text{GR}}\simeq -\frac{\Delta {\Phi }_E}{c^2}\simeq -\frac{G\delta M}{c^{2}R},$$

   其中 $\delta M=\delta E/c^2$，$R$ 为探测光路到腔体中心的典型距离；

3. 其他条件同定理 1。

则：GR 引入的额外相位差上界为

$$|\Delta {\Phi }_{\text{GR}}|\lesssim \frac{2\pi N{L}_{\text{pass}}}{{\lambda }_p}\frac{G|\delta E|}{c^{4}R}.$$

对于典型参数 $E_0\sim 10^{-11}\text{J}$、$|\delta E|/E_0\lesssim 10^{-9}$、$R\sim 0.1\text{m}$，可得到

$$|\Delta {\Phi }_{\text{GR}}|\lesssim 10^{-15}\text{rad},$$

远低于信息引力目标信号 $\Delta \Phi \sim 10^{-9}\text{rad}$ 的量级。因此，只要能量锁定达到 $10^{-9}$ 相对精度，GR 贡献可在本实验方案中忽略。

定理 3（信息引力耦合常数的实验约束）

设测量系统在积分时间 $T$ 内对相位调制的噪声谱密度为 $S_{\Phi }^{1/2}$，则可解析得到在未观测到调制频率 $f_{\text{mod}}$ 上显著谱线的情况下，对 ${\lambda }_{\text{ent}}$ 的 $1\sigma$ 上界为

$$|{\lambda }_{\text{ent}}|\lesssim \frac{S_{\Phi }^{1/2}}{\mathcal{G}|\Delta S_{\text{ent}}|}{T}^{-1/2}.$$

对典型参数

$$\Delta S_{\text{ent}}\sim 10\text{–}10^2,\mathcal{F}\sim 10^5,L_{\text{pass}}\sim L_{\text{cav}}\sim 0.1\text{m},A_{\text{cav}}\sim 10^{-4}{\text{m}}^2,$$

以及激光干涉链路相位噪声 $S_{\Phi }^{1/2}\sim 10^{-10}\text{rad}/\sqrt{\text{Hz}}$，在 $T\sim 10^3\text{s}$ 的有效积分时间内，可将 $|{\lambda }_{\text{ent}}|$ 约束在某一有限范围内。若观测到与 $\Delta S_{\text{ent}}$ 同频调制的相位信号，则可反向从数据中拟合 ${\lambda }_{\text{ent}}$ 的有效值，并与其他实验和天体物理约束相比较。

Proofs

本节对上述三个定理给出推导。由于信息引力本身为新假设，推导的起点是光学度规与 Shapiro 延迟的标准关系与第 2 节的唯象耦合。

4.1 定理 1 的推导：光程与纠缠熵的线性关系

由第 2.3 节定义，探测光单程相位为

$$\varphi =k_p{\int }_{\text{path}}n(l)\mathrm{d}l\simeq k_p{L}_{\text{geom}}+k_p{\int }_{\text{path}}\delta n(l)\mathrm{d}l,$$

其中 $L_{\text{geom}}$ 为几何光程，$\delta n$ 为由引力等效折射率修正带来的微小偏差。在比较态 A 与态 B 时，几何光程及 GR 能量源成分相同（在理想固定能量假设下完全相同），差别仅来自信息引力修正 $\Delta n_{\text{ent}}$。于是单程相位差

$$\delta {\varphi }_{\text{single}}=k_p{\int }_{\text{path}}\Delta n_{\text{ent}}(l)\mathrm{d}l.$$

假定腔体区域内折射率可视为常数 $\Delta n_{\text{ent}}$，路径长度为 $L_{\text{pass}}$，则

$$\delta {\varphi }_{\text{single}}\simeq k_p\Delta n_{\text{ent}}{L}_{\text{pass}}=\frac{2\pi }{{\lambda }_p}\left(-{\lambda }_{\text{ent}}\frac{{\ell }_{\text{P}}^2}{L_{\text{cav}}{A}_{\text{cav}}}\Delta S_{\text{ent}}\right)L_{\text{pass}}.$$

考虑 F-P 腔中往返 $N$ 次，有效相位放大为

$$\Delta \Phi =N\delta {\varphi }_{\text{single}}=-{\lambda }_{\text{ent}}\frac{2\pi N{L}_{\text{pass}}}{{\lambda }_p}\frac{{\ell }_{\text{P}}^2}{L_{\text{cav}}{A}_{\text{cav}}}\Delta S_{\text{ent}}=-{\lambda }_{\text{ent}}\mathcal{G}\Delta S_{\text{ent}},$$

这与定理 1 声明的形式一致。

4.2 定理 2 的推导：能量失配导致的 GR 相位上界

对一个局域能量修正 $\delta E$，近似视为一质量扰动 $\delta M=\delta E/c^2$，其在距离 $R$ 处产生的牛顿势修正为

$$\Delta {\Phi }_E\simeq -\frac{G\delta M}{R}=-\frac{G\delta E}{c^{2}R}.$$

由折射率–势关系 $n\simeq 1-\Phi /c^2$，得到

$$\Delta n_{\text{GR}}=-\frac{\Delta {\Phi }_E}{c^2}\simeq \frac{G\delta E}{c^{4}R}.$$

因此单程相位差上界为

$$\delta {\varphi }_{\text{GR,single}}\simeq k_p\Delta n_{\text{GR}}{L}_{\text{pass}}\lesssim \frac{2\pi }{{\lambda }_p}\frac{G|\delta E|}{c^{4}R}{L}_{\text{pass}},$$

总相位差

$$|\Delta {\Phi }_{\text{GR}}|\lesssim N|\delta {\varphi }_{\text{GR,single}}|\lesssim \frac{2\pi N{L}_{\text{pass}}}{{\lambda }_p}\frac{G|\delta E|}{c^{4}R}.$$

代入典型数值估算可得定理 2 中给出的数量级。由于 $|\delta E|$ 可以通过主动反馈与 SQUID 读出锁定在极低水平，该项贡献可以安全视为次要系统误差。

4.3 定理 3 的推导：耦合常数的统计约束

设探测链路对相位的单边功率谱密度为 $S_{\Phi }(f)$，在调制频率 $f_{\text{mod}}$ 附近可视为常数 $S_{\Phi }$。在积分时间 $T$ 内，对窄频带进行谱线拟合的统计误差服从

$${\sigma }_{\Phi }\simeq S_{\Phi }^{1/2}{T}^{-1/2}.$$

若未观测到显著谱线，则可将实际相位调制幅度 $|\Delta \Phi |$ 的 $1\sigma$ 上界取为 ${\sigma }_{\Phi }$。由定理 1 的线性关系

$$|\Delta \Phi |=|{\lambda }_{\text{ent}}||\mathcal{G}\Delta S_{\text{ent}}|,$$

于是

$$|{\lambda }_{\text{ent}}|\lesssim \frac{{\sigma }_{\Phi }}{|\mathcal{G}\Delta S_{\text{ent}}|}\simeq \frac{S_{\Phi }^{1/2}}{\mathcal{G}|\Delta S_{\text{ent}}|}{T}^{-1/2}.$$

这给出了定理 3 的统计上界形式。

Model Apply

本节在上述理论框架下，结合现实可行的实验参数，对信号量级进行估算，并讨论对 ${\lambda }_{\text{ent}}$ 的潜在约束强度。

5.1 典型几何与腔参数

考虑如下代表性设计：

• 超导微波腔：长度 $L_{\text{cav}}=0.1\text{m}$，横截面积 $A_{\text{cav}}=\pi (1\text{cm}{)}^2\simeq 3.1\times 10^{-4}{\text{m}}^2$；

• 腔品质因数：$Q\sim 10^{9\text{–}10}$，频率 ${\omega }_c/2\pi \sim 10\text{GHz}$，对应单光子能量 $h\nu \sim 6.6\times 10^{-24}\text{J}$；

• 平均光子数 $⟨\hat{N}⟩\sim 10^{12}$，则总能量 $E_0\sim 6.6\times 10^{-12}\text{J}$，能量密度 ${\rho }_E\sim 2\times 10^{-9}\text{J}/{\text{m}}^3$，常规 GR 引力效应极其微弱；

• 探测光：波长 ${\lambda }_p=1064\text{nm}$，与 LIGO 类技术兼容；

• 探测光路：穿过腔体中心，单程有效长度 $L_{\text{pass}}\simeq 0.1\text{m}$；

• F-P 腔精细度：$\mathcal{F}=10^5$，则往返次数

  $$N\simeq \frac{2\mathcal{F}}{\pi }\simeq 6.4\times 10^4,$$

  有效光程 $L_{\text{eff}}=N{L}_{\text{pass}}\simeq 6.4\times 10^3\text{m}$。

在这样的几何下，几何因子

$$\mathcal{G}=\frac{2\pi N{L}_{\text{pass}}}{{\lambda }_p}\frac{{\ell }_{\text{P}}^2}{L_{\text{cav}}{A}_{\text{cav}}}.$$

代入数值 ${\ell }_{\text{P}}^2\simeq 2.6\times 10^{-70}{\text{m}}^2$、${\lambda }_p\simeq 10^{-6}\text{m}$、$L_{\text{cav}}=L_{\text{pass}}=0.1\text{m}$、$A_{\text{cav}}\simeq 3\times 10^{-4}{\text{m}}^2$，

$$\frac{2\pi N{L}_{\text{pass}}}{{\lambda }_p}\sim 2\pi \times 6.4\times 10^4\times \frac{0.1}{10^{-6}}\sim 4\times 10^{10},$$

$$\frac{{\ell }_{\text{P}}^2}{L_{\text{cav}}{A}_{\text{cav}}}\sim \frac{2.6\times 10^{-70}}{0.1\times 3\times 10^{-4}}\sim 10^{-66},$$

故

$$\mathcal{G}\sim 4\times 10^{10}\times 10^{-66}\sim 4\times 10^{-56}\text{rad/bit}.$$

在此标度下，即便 $\Delta S_{\text{ent}}\sim 10^2$，若 ${\lambda }_{\text{ent}}\sim 1$，得到的相位调制

$$\Delta \Phi \sim {\lambda }_{\text{ent}}\mathcal{G}\Delta S_{\text{ent}}\sim 4\times 10^{-54}\text{rad},$$

远低于任何可行实验灵敏度。因而若耦合系数直接采用 ${\ell }_{\text{P}}^2$ 标度，实验无法在实验室尺度上测得。

这一点反映了 Planck 标度与实验室尺度之间巨大的层级差异，与传统量子引力效应难以在桌面实验中观测的普遍困难一致。

然而，在信息引力的涌现图景中，${\lambda }_{\text{ent}}$ 并不必然与 Planck 标度直接同阶。若底层 QCA 或其它离散本体论在宏观上表现出放大的有效信息引力耦合（例如由于多体纠缠的集体效应），则 ${\lambda }_{\text{ent}}$ 可能远大于 1，从而使得 $\Delta \Phi$ 落入可测量范围。

为量化这一点，不妨将 ${\lambda }_{\text{ent}}$ 写成

$${\lambda }_{\text{ent}}=10^{\Gamma },$$

则

$$\Delta \Phi \sim 4\times 10^{-54}\times 10^{\Gamma }\times \left(\frac{\Delta S_{\text{ent}}}{10^2}\right)\text{rad}.$$

若期望 $\Delta \Phi \sim 10^{-9}\text{rad}$，则需

$$10^{-9}\sim 4\times 10^{-54}\times 10^{\Gamma }\Rightarrow \Gamma \sim 45.$$

换言之，该实验在上述参数下可探测到或排除 ${\lambda }_{\text{ent}}$ 是否在 $10^{45}$ 量级左右。这看似巨大，但由于 ${\lambda }_{\text{ent}}$ 是一个全新的有效参数，目前缺乏任何实验证据约束，其理论自然值并不清楚。

5.2 与相位灵敏度的比较

以 LIGO 等干涉装置为参考，在引入频率依赖压缩光的条件下，单频段相位噪声谱密度可达 $S_{\Phi }^{1/2}\sim 10^{-10}\text{rad}/\sqrt{\text{Hz}}$ 甚至更低。在积分时间 $T\sim 10^3\text{–}10^4\text{s}$ 下，统计误差

$${\sigma }_{\Phi }\sim S_{\Phi }^{1/2}{T}^{-1/2}\sim 10^{-11\text{–}12}\text{rad}.$$

因此，一旦 $\Delta \Phi \gtrsim 10^{-10}\text{rad}$，就可以以 $>5\sigma$ 的显著性被探测到。反之，若在该阈值以下未观测到谱线，则定理 3 给出

$$|{\lambda }_{\text{ent}}|\lesssim 10^{44\text{–}45},$$

对应对信息引力耦合的直接实验上界。

Engineering Proposals

本节讨论实现上述方案所需的工程要素与可选路线。

6.1 源腔设计：高 Q 超导微波腔

源腔需同时满足高 Q 值、大体积和与量子比特/非线性元件良好耦合三项要求。一种现实可行方案是改造加速器用超导射频腔，将其表面处理与磁通排斥技术用于量子信息场景，实现 $Q>10^{10}$ 的三维腔。腔体可采用椭圆或圆柱形几何，设计模式频率在 5–10 GHz，便于与现有基于 Josephson 结的量子电路集成。

为了制备高度纠缠态，需要在腔体上耦合若干非线性元件（如 SQUID、三波混频器）以实现参数下转换和 Kerr 非线性，从而合成多模压缩态与簇态。对应的驱动与读出线路需通过波导和同轴电缆耦合至室温电子学。

6.2 探测光路与光学腔

探测臂建议采用 1064 nm 激光，与常规高功率单频 Nd:YAG 激光兼容，便于使用成熟镜面和镀膜技术。光路通过源腔中心附近的真空通道，或以贴边方式掠过腔体外壁，以减小微波对光学元件的影响。

探测光同时构成一高精细度光学 F-P 腔，腔长可取 3–10 m，以在有限空间内实现高 Finesse。端镜选用超低损耗高反射镜，采用多级悬挂与主动隔振技术以抑制振动噪声。锁频方案可采用 PDH 技术，结合本征压缩光注入进一步降低散粒噪声。

6.3 量子态调制与能量锁定

在源腔中，态 A 与态 B 之间的切换可通过控制非线性驱动脉冲实现：

• 制备相干态 A：关闭压缩驱动，仅通过线性驱动向腔内注入确定振幅的相干光；

• 制备纠缠态 B：开启参数下转换驱动，在稳定工作点生成目标压缩或簇态，同时调整强度使得总光子数与态 A 匹配。

腔内平均光子数可通过腔外弱耦合探测线进行摄动测量，以 SQUID 或量子非破坏测量方案实时监控，并通过反馈回路调节驱动强度，将 $|\delta E|/E_0$ 锁定在 $10^{-9}$ 量级。

态切换频率 $f_{\text{mod}}$ 应避开机械共振与环境噪声主峰，如选取 10–100 Hz 区间，并在探测链路中使用锁相放大技术提取该频率处的相位谱。

6.4 噪声与系统误差的工程抑制

主要噪声源包括：

1. 热噪声：通过 mK 级稀释制冷机，将腔体与支撑结构温度降至 10–20 mK；

2. 振动噪声：采用多级悬挂与主动控制平台，降低地面振动对光学腔长度的影响；

3. 散粒噪声：通过压缩光注入与提高光功率降低相位不确定度；

4. 非引力性折射效应：如克尔效应、电磁交叉耦合等，需要通过材料选择、几何布置以及对照实验进行定量抑制。

对这些噪声与误差源的详细定量分析见附录 B。

Discussion (Risks, Boundaries, Past Work)

7.1 与 BMV 实验的关系

BMV 实验的目标是通过质量叠加态之间的引力相互作用产生纠缠，并据此论证引力场的量子性。在这些方案中，引力始终由能量–动量决定，而纠缠仅仅作为“介质是否量子化“的见证。相反，本文提出的信息引力假说认为，即便在能量–动量保持不变的情况下，纯粹的纠缠结构变化也可能作为额外引力源。因而两类实验探测的是不同层面的物理：

• BMV：经典源 → 纠缠效应 → 场是否必须量子化；

• 本文：纠缠源 → 引力效应 → 引力是否对纠缠本身敏感。

若 BMV 类型实验与本文方案均获得肯定结果，将支持“引力既是量子场，又对纠缠本身具有独立响应“的强烈图景。

7.2 与熵引力和热力学推导的比较

Jacobson 与 Verlinde 等工作的一个共同主题是：爱因斯坦方程可以视为某种熵平衡或 entropic force 的宏观结果。然而这些推导最终仍然以能量–动量张量作为源，纠缠或信息主要通过黑洞熵、视界熵等全球量出现。本文的信息引力模型则假设在局域层面存在附加耦合，使得纠缠熵密度直接出现在弱场线性度规或光学折射率中。

这一假设超出了传统热力学推导的安全边界，必须通过精密实验加以约束。若结果显示 $|{\lambda }_{\text{ent}}|$ 极小，则支持“现有热力学–几何关系已经充分描述引力源“，信息引力仅在极端条件下才有可观效应；若结果显示 $|{\lambda }_{\text{ent}}|$ 在合理范围内非零，则需要重新审视爱因斯坦方程右端的结构，可能引入信息或纠缠相关项。

7.3 标准物理解释的潜在混淆

即便观测到与纠缠态切换同频的相位调制，也必须谨慎排除标准物理机制的解释，包括但不限于：

• 克尔型光学非线性：腔内微波场可能通过材料折射率的三阶非线性改变探测光的相速度；

• 电磁力致形变：腔内场强变化造成机械应力，进而微弱改变光学腔长度；

• 温度波动：不同驱动方案引起的微小耗散差异导致局部温度变化。

这些效应可通过材料选择（如真空腔）、几何隔离（光路与微波场物理分离）、精确的温控与对照实验加以控制。同时，对照实验中可以保持能量驱动序列不变，仅通过相位噪声使纠缠态退相干，若相位信号随纠缠消失，而在总能量变化相同的情形下不再出现，则有助于区分信息引力与上述标准效应。

7.4 理论风险与边界

信息引力假说在理论上面临多重挑战：

1. 宏观一致性：${\lambda }_{\text{ent}}$ 若过大，可能在天体物理或宇宙学尺度上产生可观修正，与现有引力实验与观测冲突；

2. 局域性问题：纠缠熵是非局域量，其如何作为局域引力源需要更严格的场论或 QCA 本体论加以澄清；

3. 动力学封闭性：需要构造一个在全时空上自洽的场方程，将能量–动量与信息–纠缠源统一纳入，并保证能量守恒与一般协变性。

因此，本实验方案更适合作为对信息引力假说的“初步探索与约束“，而非对完整理论的直接检验。若实验给出非零信号，将需要新一轮理论发展以解释观测并构造自洽的动力学框架；若给出零结果，则可在较宽参数空间内排除这类耦合，为信息–几何关系提供反例。

Conclusion

本文在“光程守恒–信息体积守恒“思想基础上，提出了一个将纠缠熵密度视为潜在引力源的唯象模型，并由此设计出一类桌面级实验方案：利用高 Q 值超导微波腔在固定能量条件下调制腔内纠缠度，通过高精细度法布里–珀罗光学腔测量穿越该区域的探测光的附加 Shapiro 型相位延迟。

在理论层面，我们引入了信息引力耦合常数 ${\lambda }_{\text{ent}}$，构造了

$${\Phi }_{\text{ent}}(\mathbf{x})=-{\lambda }_{\text{ent}}{c}^2\frac{{\ell }_{\text{P}}^2}{L_{\ast }}{s}_{\text{ent}}(\mathbf{x}),$$

并证明在弱场与近轴近似下，总相位调制与纠缠熵变化量线性相关：

$$\Delta \Phi =-{\lambda }_{\text{ent}}\mathcal{G}\Delta S_{\text{ent}}.$$

在实验层面，我们结合现有超导微波腔与干涉测量技术，对典型参数下的信号量级与噪声预算进行了估算。结果表明，在合理的几何与锁模方案下，若 ${\lambda }_{\text{ent}}$ 足够大，则对应相位调制可达到 $10^{-9}\text{rad}$ 量级，与当今激光干涉和压缩光链路的灵敏度相当；若未观测到相应谱线，则可对 ${\lambda }_{\text{ent}}$ 给出 $\mathcal{O}(10^{44\text{–}45})$ 量级的上界，对信息引力假说给出直接实验约束。

无论结果如何，此类实验都将在“能量是否是唯一引力源“这一基础问题上迈出实质性一步：要么为量子信息在引力源结构中的直接角色提供证据，要么通过严格的 null 结果限制信息–几何耦合的可能形式，从而为未来统一时空与信息的理论提供边界条件。

Acknowledgements, Code Availability

本工作构想受惠于近年来关于引力–纠缠关系、超导微波腔量子信息处理以及激光干涉测量的广泛研究。数值估算与参数扫描可通过简单的 Python 脚本复现，相关代码可在合理请求下提供。

References

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[17] 其他与信息体积守恒、光学度规与 QCA 宇宙相关的工作，见同一研究计划的配套论文与预印本。

附录 A：光程守恒下的光学度规与 Shapiro 相位

在弱场静态情形下，Schwarzschild 度规可展开为

$$\mathrm{d}{s}^2=-\left(1+\frac{2\Phi }{c^2}\right)c^2\mathrm{d}{t}^2+\left(1-\frac{2\Phi }{c^2}\right)(\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\Omega }^2),$$

其中 $\Phi (r)=-GM/r$ 为牛顿势。对近轴传播的光线，可令 $\mathrm{d}{s}^2=0$，得到径向坐标光速

$$\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=c\sqrt{\frac{1+2\Phi /c^2}{1-2\Phi /c^2}}\simeq c\left(1+\frac{2\Phi }{c^2}\right),$$

因此相对于平直时空，光传播时间

$$\Delta t=\int \left(\frac{1}{v_{\text{coord}}}-\frac{1}{c}\right)\mathrm{d}r\simeq -\frac{2}{c^3}\int \Phi (r)\mathrm{d}r,$$

这即为 Shapiro 时间延迟的标准形式。

为了与折射率形式对应，引入等效折射率

$$n(r)=\frac{c}{v_{\text{coord}}(r)}\simeq 1-\frac{2\Phi (r)}{c^2},$$

则光程

$$\mathcal{L}=\int n(r)\mathrm{d}r\simeq L_{\text{geom}}-\frac{2}{c^2}\int \Phi (r)\mathrm{d}r,$$

相位

$$\varphi =k\mathcal{L},k=\frac{2\pi }{\lambda }.$$

信息引力假设在此基础上将势 $\Phi$ 拓展为 ${\Phi }_{\text{eff}}={\Phi }_E+{\Phi }_{\text{ent}}$，并对弱场采取线性叠加近似，从而

$$\varphi =k\int \left(1-\frac{2{\Phi }_E}{c^2}-\frac{2{\Phi }_{\text{ent}}}{c^2}\right)\mathrm{d}r.$$

由于实验设计保证 ${\Phi }_E$ 在态 A 与 B 之间尽量不变，差分相位主要由 ${\Phi }_{\text{ent}}$ 决定。若在有限空间段内 ${\Phi }_{\text{ent}}$ 近似常数，则得到正文中的

$$\delta {\varphi }_{\text{single}}\simeq k\Delta n_{\text{ent}}{L}_{\text{pass}},$$

并在 F-P 腔中累积成总相位 $\Delta \Phi$。

附录 B：噪声与系统误差预算

下表给出主要噪声与系统误差源的估算与抑制策略，对应正文中的工程讨论。

在积分时间 $T\sim 10^3\text{–}10^4\text{s}$ 下，噪声谱密度对应的统计误差可降至 $10^{-11\text{–}12}\text{rad}$，为目标信号阈值 $10^{-9}\text{rad}$ 提供约两个数量级的安全裕度。

附录 C：腔内能量引力效应的数量级估算

为说明常规能量引力效应在本实验中的微小程度，考虑典型参数下腔内电磁场的等效质量与引力势：

• 总能量 $E_0\sim 6.6\times 10^{-12}\text{J}$；

• 等效质量 $M_{\text{EM}}=E_0/c^2\sim 7.3\times 10^{-29}\text{kg}$；

• 腔体典型尺度 $R\sim 0.1\text{m}$。

牛顿势

$$|{\Phi }_E|\sim \frac{G{M}_{\text{EM}}}{R}\sim \frac{6.7\times 10^{-11}\times 7.3\times 10^{-29}}{0.1}\sim 5\times 10^{-39}\text{J/kg}.$$

相对于 $c^2\sim 9\times 10^{16}{\text{m}}^2/{\text{s}}^2$，无量纲势

$$\left|\frac{{\Phi }_E}{c^2}\right|\sim 5\times 10^{-56},$$

对应折射率修正

$$\Delta n_{\text{GR}}\sim 10^{-56}.$$

即便在 F-P 腔中累积了 $L_{\text{eff}}\sim 10^4\text{m}$ 的光程，总相位

$$\Delta {\Phi }_{\text{GR}}\sim \frac{2\pi L_{\text{eff}}}{{\lambda }_p}\Delta n_{\text{GR}}\lesssim 10^{-42}\text{rad},$$

完全不可探测。

因此，任何在本实验中可观测到、与态切换同频的相位调制都不可能由常规 GR 能量引力解释，而必然源于非标准机制（或实验系统误差）。

附录 D：纠缠熵构造的一个示例

为给出 $\Delta S_{\text{ent}}\sim 10\text{–}10^2$ 的具体构造示意，考虑在腔体内实现 $M$ 对双模压缩真空态

$$|\text{TMSV}(r)⟩=\exp \left[r(\hat{a}\hat{b}-{\hat{a}}^{†}{\hat{b}}^{†})\right]|0,0⟩,$$

每对的约化熵为

$$S_{\text{pair}}(r)={\cosh }^{2}r\log ({\cosh }^{2}r)-{\sinh }^{2}r\log ({\sinh }^{2}r),$$

平均光子数

$$⟨{\hat{n}}_a+{\hat{n}}_b⟩=2{\sinh }^{2}r.$$

取 $r\sim 1$ 时，${\sinh }^{2}r\sim 1.4$，每对贡献光子数 $\sim 3$ 个，对应纠缠熵 $S_{\text{pair}}\sim 2$ bit 数量级（在合适基底下）。通过取 $M\sim 5\text{–}50$ 对模式，可实现 $\Delta S_{\text{ent}}\sim 10\text{–}10^2$ 的范围，而总光子数 $\sim 3M$ 与同数量级的相干态之间匹配，从而在能量锁定的同时显著改变纠缠结构。

更复杂的簇态或图态可以在相同总光子数下引入更高的多体纠缠度，但由于纠缠熵的定义依赖于选取的自由度分割，其对信息引力的具体贡献需要与底层 QCA 或场论本体论的“自然划分“对应。本文仅以双模压缩态为示例，表明在现有电路 QED 技术下，$\Delta S_{\text{ent}}\sim 10\text{–}10^2$ 的范围完全可达。