时间即态密度：统一时间恒等式 $\kappa =\rho$ 与引力红移的微观散射机制

Abstract

In conventional physics, time plays incompatible roles in quantum theory and general relativity: in quantum mechanics it is an external evolution parameter generated by a Hamiltonian, whereas in general relativity proper time is a path-dependent functional of the spacetime metric. Within a quantum cellular automaton (QCA) and optical–path conservation framework, this work proposes a microscopic definition of time in terms of the density of quantum states. Building on Eisenbud–Wigner–Smith (EWS) time-delay theory and Krein–Friedel–Lloyd (KFL) trace formulas, we show that the trace of the Wigner–Smith time-delay operator $Q(E)=-\mathrm{i}\hslash S(E{)}^{†}{\partial }_{E}S(E)$ is universally related to the relative density of scattering states via the spectral shift function. This leads to a unified time identity

$$\kappa (E)=\frac{1}{2\pi \hslash }\mathrm{tr}Q(E)=\Delta \rho (E),$$

where $\Delta \rho (E)$ is the change of density of states (DOS) induced by an interaction with respect to a reference background. Physically, $\kappa (E)$ quantifies the rate at which a system traverses quantum states in Hilbert space per unit energy. We interpret $\kappa (E)$ as an intrinsic “time density”, and argue that macroscopic clock rates are governed by the local DOS of the underlying microscopic degrees of freedom.

On this basis we develop a microscopic picture of gravitational redshift: deep in a gravitational potential well, matter and radiation experience an enhanced local DOS due to modified phase space volume and effective refractive index of the vacuum. The increased DOS yields a larger Wigner–Smith delay per unit energy, thereby slowing local proper time relative to distant observers. We show how, in the weak-field limit, the DOS–based time density reproduces the standard gravitational redshift relation $\Delta \nu /\nu \simeq \Delta \Phi /c^2$ when normalized to asymptotically flat regions, and argue that the metric component $g_{00}$ can be viewed as an emergent functional of the microscopic DOS field. The time–DOS identity is embedded into Dirac-type QCA models where relativistic dynamics emerge from discrete, strictly causal unitary updates, demonstrating that relativistic time dilation and gravitational redshift can be reinterpreted as collective properties of state-traversal rates on a discrete quantum network.

Finally, we connect the proposed time density with thermodynamic time in KMS equilibrium states and the thermal time hypothesis, showing that the DOS-weighted EWS time density defines a natural arrow of time compatible with modular flow in algebraic quantum field theory. We outline experimental and engineering proposals in microwave cavities, wave-chaotic scattering systems and optical clock networks to test the quantitative link between Wigner–Smith delays, DOS measurements and gravitational redshift.

Keywords

time delay; density of states; Eisenbud–Wigner–Smith operator; spectral shift function; Krein–Friedel–Lloyd formula; gravitational redshift; quantum cellular automaton; optical metric; KMS state; thermal time

Introduction & Historical Context

时间问题贯穿物理理论的发展。狭义与广义相对论以四维时空流形 $(M,g_{\mu \nu })$ 为基本对象，将固有时间 $\tau$ 描述为沿世界线的线元积分；量子理论则以 Hilbert 空间与哈密顿量 $H$ 为基础，时间 $t$ 是外部连续参数，演化由幺正算符 $U(t)=\exp (-\mathrm{i}Ht/\hslash )$ 生成。二者在半经典极限下相容，却缺乏一个统一的微观时间本体。

Pauli 定理表明，在能谱有下界的系统中不存在与 $H$ 满足正则对易关系的自伴时间算符，这似乎将“时间算符化“的企图排除在传统量子力学之外。另一方面，散射理论中早已出现“时间延迟“这一可观测量。Eisenbud、Wigner 与 Smith 将散射矩阵 $S(E)$ 的能量导数定义为 Wigner–Smith 群延迟矩阵

$$Q(E)=-\mathrm{i}\hslash S(E{)}^{†}{\partial }_{E}S(E),$$

其对角元 $Q_{\alpha \alpha }(E)$ 给出各通道的时间延迟，而迹 $\mathrm{tr}Q(E)$ 则刻画了系统对一簇散射态的整体时间响应。

平行地，Krein、Friedel 与 Lloyd 等人在散射谱理论中建立了著名的 Krein–Friedel–Lloyd 公式，将散射相移的能量导数与态密度变化 $\Delta \rho (E)$ 联系起来；在有限盒规一化中，该公式可简写为

$$\Delta \rho (E)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\mathrm{tr}(S(E{)}^{†}{\partial }_{E}S(E))=\frac{1}{\pi }{\partial }_E{\delta }_{\mathrm{tot}}(E),$$

其中 ${\delta }_{\mathrm{tot}}(E)$ 是总散射相移。

现代谱移函数理论进一步表明，谱移函数 $\xi (E)$ 的导数正是相互作用引起的 DOS 差值，而 $\xi (E)$ 又可由 $S(E)$ 的行列式相位刻画。

这些结果暗示着一个深刻事实：散射系统的时间延迟与态密度并非两类无关量，而是同一谱结构的不同投影。本工作在此基础上提出一条统一时间恒等式，将时间流逝速率 $\kappa (E)$ 与态密度 $\rho (E)$ 严格等同。

另一方面，广义相对论将引力红移解释为静态时空度规中 $g_{00}$ 分量的空间变化：在弱场极限下，静态引力势 $\Phi (\mathbf{x})$ 与度规满足

$$g_{00}(\mathbf{x})\simeq -(1+2\Phi (\mathbf{x})/c^2),$$

静止观察者的固有时间满足 $\mathrm{d}\tau =\sqrt{-g_{00}}\mathrm{d}t$，从而对于两个不同势能位置 ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2$ 有

$$\frac{\Delta \nu }{\nu }\simeq \frac{\Phi ({\mathbf{x}}_2)-\Phi ({\mathbf{x}}_1)}{c^2},$$

这一关系已在 Pound–Rebka γ 射线实验、Hafele–Keating 环球原子钟飞行实验以及近年的光学晶格钟高度比较实验中被精确验证。

然而，引力红移的几何描述仍然将“时间流逝“的起源留在度规张量这一连续场之中，缺乏与量子态结构之间的直接联系。量子元胞自动机和离散量子行走研究表明，在适当对称性条件下，Dirac 与 Weyl 方程可以作为局域幺正离散动力学的连续极限涌现，从而为“宇宙即量子计算“的离散图像提供了严格的模型。

在这样的离散本体论中，“时间步长“是局域更新规则的离散参数，而并非外加连续变量。自然的问题是：如何在这一离散框架中重建连续的固有时间，并将其与引力红移联系起来？

本文的基本观点是：时间是态密度的别名。更精确地说，通过 EWS 时间延迟算符与 KFL 迹公式，我们证明在相当一般的散射设定下存在如下统一时间恒等式：

$$\boxed{\kappa (E)=\frac{1}{2\pi \hslash }\mathrm{tr}Q(E)=\Delta \rho (E)}$$

其中 $\kappa (E)$ 解释为单位能量间隔上的“时间流逝密度“，即系统在能量 $E$ 邻域内每单位能量所经历的有效时间延迟。我们进一步展示，在适当的粗粒化与归一化选择下，这一量的空间变化可重述广义相对论中的引力红移。

Model & Assumptions

散射系统与态密度

设 $H_0$ 为自由哈密顿量，$H=H_0+V$ 为含有局域势 $V$ 的相互作用哈密顿量。我们作如下假设：

1. $H_0,H$ 为在同一 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上的自伴算符，且 $V$ 为足够快衰减的有界或相对 $H_0$ 有界扰动，从而波算子

   $${\Omega }^{\pm }=\underset{t\to \pm \infty }{s-lim}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}Ht/\hslash }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{H}_{0}t/\hslash }$$

   存在并完备。

2. 散射算符 $S=({\Omega }^{+}{)}^{†}{\Omega }^{-}$ 在能量表象上分解为一族酉矩阵 $S(E)$，作用于各能量壳上的通道空间 ${\mathcal{H}}_E$。

3. 自由与相互作用系统的谱测度均为绝对连续，加上有限个束缚态，从而存在良定义的态计数函数

   $$N_0(E)=\#{\lambda }_n(H_0)\le E,N(E)=\#{\lambda }_n(H)\le E,$$

   其导数给出态密度 ${\rho }_0(E),\rho (E)$，相互作用引起的态密度变化为

   $$\Delta \rho (E)=\rho (E)-{\rho }_0(E).$$

谱移函数 $\xi (E)$ 由 Krein 迹公式定义，通过

$$\mathrm{tr}(f(H)-f(H_0))={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}^{\prime }(E)\xi (E)\mathrm{d}E$$

对足够平滑的函数 $f$ 成立。对指示函数近似可得 $\xi (E)=N(E)-N_0(E)$，其导数满足

$${\xi }^{\prime }(E)=\Delta \rho (E).$$

另一方面，散射矩阵的行列式与谱移函数之间存在

$$\det S(E)=\exp (-2\pi \mathrm{i}\xi (E)),$$

从而

$$\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\partial }_E\ln \det S(E)={\xi }^{\prime }(E)=\Delta \rho (E).$$

Wigner–Smith 时间延迟算符

在能量表象下，Wigner–Smith 群延迟矩阵定义为

$$Q(E)=-\mathrm{i}\hslash S(E{)}^{†}{\partial }_{E}S(E),$$

其对角元 $Q_{\alpha \alpha }(E)$ 给出通道 $\alpha$ 的时间延迟，迹

$$\mathrm{tr}Q(E)=-\mathrm{i}\hslash \mathrm{tr}(S(E{)}^{†}{\partial }_{E}S(E))$$

刻画了全部通道的总群延迟。对散射矩阵酉性 $S(E{)}^{†}S(E)=\mathbb{I}$ 求导可验证 $Q(E)$ 的自伴性与可观测性。

取迹并与上节的谱移关系比较，可立得

$$\Delta \rho (E)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\partial }_E\ln \det S(E)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\frac{1}{\det S(E)}{\partial }_E\det S(E)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\mathrm{tr}\left(S^{†}{\partial }_{E}S\right)=\frac{1}{2\pi \hslash }\mathrm{tr}Q(E).$$

这是本工作统一时间恒等式的谱理论基础。

QCA 连续极限与散射

量子元胞自动机是一类在格点集合 $\Lambda$ 上定义的严格局域、离散时间、幺正演化 $U$，其在单粒子子空间上等价于离散时间量子行走。相当多的工作表明，在波矢与质量充分小的极限下，适当构造的 QCA 演化可逼近各维度的 Dirac 方程及其在曲时空上的推广。

在 QCA 框架中，时间本质上是离散步数 $n\in \mathbb{Z}$，能量则由单步演化算符 $U$ 的准能谱 ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\epsilon (k)}$ 给出。局域缺陷或外加势可以通过在有限区域修改局域更新算符实现，对应于 Floquet 散射情形，散射矩阵 $S(\epsilon )$ 与连续时间散射关系密切。通过连续极限映射 $\epsilon \mapsto E$，可将 QCA 的 Floquet–EWS 时间延迟与连续散射理论中的 $Q(E)$ 统一。

本文在模型上假定如下：

1. 宇宙在微观上可由一类 Dirac 型 QCA 模型描述，其单粒子子空间在长波极限下逼近标准 Dirac 方程。

2. 宏观引力场对应于 QCA 背景元胞更新规则的缓慢空间变化，即局域“传播速度“与相位响应的渐变。这可以类比于量子行走在曲时空中的构造。

3. 在这一框架中，所有宏观时间观测最终可还原为某类散射或干涉实验的相位差与群延迟测量，因此可由 EWS–KFL 结构统一描述。

Main Results (Theorems and Alignments)

本节给出统一时间恒等式及其引力红移、热力学时间箭头与 QCA 连续极限中的主要结论。

定义 3.1（时间密度）

对满足上述假设的散射系统，定义能量 $E$ 处的时间密度为

$$\kappa (E)\equiv \frac{1}{2\pi \hslash }\mathrm{tr}Q(E),$$

其中 $Q(E)=-\mathrm{i}\hslash S(E{)}^{†}{\partial }_{E}S(E)$ 为 Wigner–Smith 群延迟算符。

定理 3.2（统一时间恒等式）

在 Krein–Friedel–Lloyd 公式与谱移函数存在且可微的前提下，时间密度与态密度变化满足

$$\kappa (E)=\Delta \rho (E)=\rho (E)-{\rho }_0(E).$$

换言之，时间密度等于相互作用引入的相对态密度。

这一定理将下述三个对象统一为同一函数的不同表达：

1. 总散射相位 $\phi (E)=\arg \det S(E)$ 的能量导数：

   $$\kappa (E)=\frac{1}{2\pi }{\partial }_E\phi (E).$$

2. 相互作用引起的态密度变化 $\Delta \rho (E)$。

3. Wigner–Smith 延迟矩阵的归一化迹 $(2\pi \hslash {)}^{-1}\mathrm{tr}Q(E)$。

具体证明见附录 A。

命题 3.3（时间流逝率作为态密度的函数）

设宏观时钟由一簇集中在能量 $E_0$ 附近的散射态驱动，其输出周期 $T$ 由总相位 $\phi (E)$ 的能量依赖决定，则在窄能带近似下，时钟的固有时间增量满足

$$\frac{\mathrm{d}\tau }{\mathrm{d}t}\simeq \frac{{\kappa }_{\mathrm{ref}}(E_0)}{\kappa (E_0)}=\frac{\Delta {\rho }_{\mathrm{ref}}(E_0)}{\Delta \rho (E_0)},$$

其中“ref“指某固定参考位置（如无穷远平直区域）。这表明在给定能量窗内，时间流逝速率与局域态密度成反比。

定理 3.4（弱场极限中的引力红移）

考虑弱引力场下的静态势 $\Phi (\mathbf{x})$，满足 $|\Phi |/c^2\ll 1$。设某类量子场在局域惯性系中的哈密顿量近似为

$$H(\mathbf{x},\mathbf{p})\simeq \sqrt{m^2{c}^4+c^2{\mathbf{p}}^2}+m\Phi (\mathbf{x}),$$

其局域 DOS $\rho (E,\mathbf{x})$ 由半经典 Weyl 公式给出。则对非相对论极限 $E\simeq m{c}^2$ 下的轻束缚态，有

$$\rho (E,\mathbf{x})\simeq {\rho }_{\infty }(E)(1-\alpha \frac{\Phi (\mathbf{x})}{c^2}),$$

其中 ${\rho }_{\infty }(E)$ 为无穷远处 DOS，常数 $\alpha$ 取决于维数与具体模型（在三维非相对论气体模型中 $\alpha =3/2$）。在采用时间密度归一化

$$\frac{\mathrm{d}\tau (\mathbf{x})}{\mathrm{d}t}=\frac{{\kappa }_{\infty }(E)}{\kappa (E,\mathbf{x})}=\frac{{\rho }_{\infty }(E)}{\rho (E,\mathbf{x})}$$

时，一阶展开给出

$$\frac{\mathrm{d}\tau (\mathbf{x})}{\mathrm{d}t}\simeq 1+\alpha \frac{\Phi (\mathbf{x})}{c^2}.$$

通过适当选择定义态密度的“信息权重“（例如考虑能量加权 DOS 或光学模式 DOS），可使 $\alpha =1$，从而得到与广义相对论弱场极限一致的时间膨胀因子

$$\frac{\mathrm{d}\tau (\mathbf{x})}{\mathrm{d}t}\simeq 1+\frac{\Phi (\mathbf{x})}{c^2},$$

进而恢复引力红移公式

$$\frac{\Delta \nu }{\nu }\simeq \frac{\Phi ({\mathbf{x}}_2)-\Phi ({\mathbf{x}}_1)}{c^2}.$$

详尽推导见附录 B。

命题 3.5（时间密度与 KMS 热时间）

设 $(\mathcal{A},{\alpha }_t)$ 为 $C^{\ast }$ 动力系统，${\omega }_{\beta }$ 为温度 $T=1/(k_{\mathrm{B}}\beta )$ 的 KMS 态，其能谱加权 DOS 为

$${\rho }_{\beta }(E)=Z^{-1}\rho (E){\mathrm{e}}^{-\beta E},Z=\int \rho (E){\mathrm{e}}^{-\beta E}\mathrm{d}E.$$

定义热态的平均时间密度

$${\bar{\kappa }}_{\beta }=\int \kappa (E){\rho }_{\beta }(E)\mathrm{d}E=\int \Delta \rho (E){\rho }_{\beta }(E)\mathrm{d}E,$$

则 ${\bar{\kappa }}_{\beta }$ 单调随能量密度增加而增大，与 KMS 流的“虚时间“周期 $\beta$ 一一对应，从而为热力学时间箭头提供了一个 DOS–时间的实现，与热时间假设和 Unruh–KMS 结构兼容。

命题 3.6（QCA 连续极限中的时间密度）

在 Dirac 型 QCA 模型中，单步演化算符 $U$ 的准能量谱为 $\epsilon (k)$，散射缺陷引入 Floquet 散射矩阵 $S(\epsilon )$。定义 Floquet–EWS 算符

$$Q_{\mathrm{F}}(\epsilon )=-\mathrm{i}{U}_{\mathrm{eff}}(\epsilon {)}^{†}{\partial }_{\epsilon }{U}_{\mathrm{eff}}(\epsilon ),$$

在连续极限 $\epsilon \to E$ 下，其迹与连续散射时间延迟趋同，满足

$$\kappa (E)=\frac{1}{2\pi }{\partial }_E\phi (E)=\frac{1}{2\pi \hslash }\mathrm{tr}Q(E)=\underset{\epsilon \to E}{\lim }\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{Q}_{\mathrm{F}}(\epsilon ),$$

从而 QCA 中离散步数的“时间密度“与连续理论中的 DOS 定义一致。

Proofs

本节给出统一时间恒等式与其主要推论的证明纲要，完整技术细节置于附录。

4.1 统一时间恒等式的证明（定理 3.2）

证明分两步。

步骤一：Krein–Friedel–Lloyd 公式与 DOS。

考虑一维情形，将系统置于长为 $L$ 的有限盒中并施加适当边界条件。对自由系统，动量量子化条件为 $k_{n}L=n\pi$，态数为

$$N_0(k)\simeq \frac{L}{\pi }k,{\rho }_0(k)=\frac{\mathrm{d}{N}_0}{\mathrm{d}k}=\frac{L}{\pi }.$$

加入势 $V(x)$ 后，散射边界条件给出相移修正的量子化条件

$$k_{n}L+\delta (k_n)=n\pi ,$$

从而

$$N(k)=\frac{L}{\pi }k+\frac{1}{\pi }\delta (k),\Delta \rho (k)=\rho (k)-{\rho }_0(k)=\frac{1}{\pi }{\partial }_k\delta (k).$$

利用 $E={\hslash }^2{k}^2/(2m)$ 与链式法则可转为能量表象，得到

$$\Delta \rho (E)=\frac{1}{\pi }{\partial }_E\delta (E).$$

多通道与高维情形可通过分波分解与谱移函数理论推广为

$$\Delta \rho (E)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\mathrm{tr}\left(S^{†}{\partial }_{E}S\right)=\frac{1}{2\pi }{\partial }_E\phi (E),$$

其中 $\phi (E)=\arg \det S(E)$，即 Krein–Friedel–Lloyd 公式。

步骤二：EWS 时间延迟与 $Q(E)$ 的迹。

EWS 算符定义为

$$Q(E)=-\mathrm{i}\hslash S^{†}(E){\partial }_{E}S(E),$$

其迹为

$$\mathrm{tr}Q(E)=-\mathrm{i}\hslash \mathrm{tr}\left(S^{†}{\partial }_{E}S\right).$$

比较上式与 DOS 表达式可得

$$\Delta \rho (E)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\mathrm{tr}(S^{†}{\partial }_{E}S)=\frac{1}{2\pi \hslash }\mathrm{tr}Q(E).$$

这正是时间密度定义中的统一时间恒等式。自伴性由

$$S^{†}S=\mathbb{I}\Rightarrow ({\partial }_E{S}^{†})S+S^{†}({\partial }_{E}S)=0$$

直接推出

$$Q^{†}(E)=+\mathrm{i}\hslash ({\partial }_E{S}^{†})S=-\mathrm{i}\hslash S^{†}({\partial }_{E}S)=Q(E),$$

因此 $Q(E)$ 为可观测量。

4.2 时间流逝率与态密度（命题 3.3）

考虑一窄能带波包，其能量分布 $|a(E){|}^2$ 集中在 $E_0$ 附近，满足

$$\int |a(E){|}^2\mathrm{d}E=1,⟨E⟩=E_0,\Delta E\ll E_0.$$

散射后的态在远区可写为

$${\psi }_{\mathrm{out}}(t)=\int a(E){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}Et/\hslash }S(E)|E⟩\mathrm{d}E.$$

展开 $S(E)\simeq {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi (E)}S(E)$，其中 $S(E)$ 带有慢变矩阵结构，总相位 $\phi (E)=\arg \det S(E)$。以平移对比自由传播态，可定义到达某远点的群延迟

$$\tau (E_0)={\partial }_E\phi (E){|}_{E_0}.$$

参考态（如远方平直区域）对应的延迟 ${\tau }_{\mathrm{ref}}(E_0)$ 由相应散射矩阵 $S_{\mathrm{ref}}(E)$ 决定，其时间密度

$$\kappa (E)=\frac{1}{2\pi }{\partial }_E\phi (E),{\kappa }_{\mathrm{ref}}(E)=\frac{1}{2\pi }{\partial }_E{\phi }_{\mathrm{ref}}(E).$$

在相同外部坐标时间 $t$ 内，内部“主观时间“增量 $\mathrm{d}\tau$ 比例于被波包“扫描“的总相位增量，由此得到

$$\frac{\mathrm{d}\tau }{\mathrm{d}t}\propto \frac{{\partial }_E{\phi }_{\mathrm{ref}}}{{\partial }_E\phi }=\frac{{\kappa }_{\mathrm{ref}}(E)}{\kappa (E)}=\frac{\Delta {\rho }_{\mathrm{ref}}(E)}{\Delta \rho (E)},$$

在适当归一化下上述比例常数可取为 1，于是命题成立。

4.3 DOS 与引力红移（定理 3.4 概述）

引力红移本质上源于静态时空中的 Killing 能量守恒与静止观察者固有时间的空间变化。我们希望展示，在弱场极限中，这一效应可重述为局域 DOS 的空间变化。

在牛顿极限下，非相对论粒子哈密顿量为

$$H(\mathbf{x},\mathbf{p})=\frac{{\mathbf{p}}^2}{2m}+m\Phi (\mathbf{x}),$$

态密度由相空间体积给出

$$\rho (E,\mathbf{x})\simeq \frac{1}{(2\pi \hslash {)}^3}\int \delta (E-H(\mathbf{x},\mathbf{p})){\mathrm{d}}^{3}p.$$

积分可显式计算，得到

$$\rho (E,\mathbf{x})\propto (E-m\Phi (\mathbf{x}){)}^{1/2},$$

对 $E\simeq m{c}^2$ 且 $|\Phi |/c^2\ll 1$ 展开得

$$\rho (E,\mathbf{x})\simeq {\rho }_{\infty }(E)(1-\frac{1}{2}\frac{\Phi (\mathbf{x})}{c^2}).$$

对三维 relativistic 模型或含多个自由度的体系，指数系数会改变，从而得到一般形式

$$\rho (E,\mathbf{x})\simeq {\rho }_{\infty }(E)(1-\alpha \frac{\Phi (\mathbf{x})}{c^2}),$$

其中 $\alpha$ 依赖于具体系统。定理 3.4 指出，通过引入合适的“信息权重“，将局域时间流逝率定义为

$$\frac{\mathrm{d}\tau (\mathbf{x})}{\mathrm{d}t}=\frac{{\rho }_{\mathrm{info},\infty }(E)}{{\rho }_{\mathrm{info}}(E,\mathbf{x})},$$

且取

$${\rho }_{\mathrm{info}}(E,\mathbf{x})=\rho (E,\mathbf{x}{)}^{\beta }$$

一类函数，可调节指数 $\beta$ 使一阶展开系数等于 1。物理上，这是在不同微观模型间选择“时间标尺“的自由，与一般协变理论中采用不同坐标刻度相类似。将这一定义匹配到经典引力红移实验即可固定 $\beta$ 并得到

$$\frac{\mathrm{d}\tau (\mathbf{x})}{\mathrm{d}t}\simeq 1+\frac{\Phi (\mathbf{x})}{c^2}.$$

完整计算与归一化过程见附录 B。

4.4 时间密度与 KMS 热时间（命题 3.5）

对具有连续谱的多体系统，KMS 条件为

$${\omega }_{\beta }(A{\alpha }_t(B))={\omega }_{\beta }({\alpha }_{t-\mathrm{i}\beta }(B)A),$$

其中 ${\alpha }_t$ 为 Heisenberg 演化。对能量表象下的算符 $A_{E{E}^{\prime }}$，KMS 条件的实现依赖于 Boltzmann 权重 ${\mathrm{e}}^{-\beta E}$ 对 DOS 的加权。

定义 DOS 权重下的时间密度平均值

$${\bar{\kappa }}_{\beta }=\int \kappa (E){\rho }_{\beta }(E)\mathrm{d}E=\int \Delta \rho (E){\rho }_{\beta }(E)\mathrm{d}E,$$

则 ${\bar{\kappa }}_{\beta }$ 是系统在温度 $T$ 下的“平均时间延迟密度“。随能量密度增加，谱在高能区的权重增大，${\bar{\kappa }}_{\beta }$ 单调增加，对应于更强的“信息拥塞“和更慢的宏观时间。这与热时间假设中“时间是状态对代数的模流“这一观点相容：当局域能量密度不同，模流参数与几何时间的比例因子发生变化，对应于不同的引力时间膨胀与温度。

4.5 QCA 连续极限中的统一时间恒等式（命题 3.6）

Dirac 型 QCA 中，单步演化 $U$ 在动量表象可对角化为

$$U|k,\sigma ⟩={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\epsilon }_{\sigma }(k)}|k,\sigma ⟩,$$

其中 $\sigma$ 标记内部自由度。在缺陷存在时，长时间极限下可构造 Floquet 散射矩阵 $S(\epsilon )$，其 EWS 算符

$$Q_{\mathrm{F}}(\epsilon )=-\mathrm{i}S(\epsilon {)}^{†}{\partial }_{\epsilon }S(\epsilon )$$

与连续时间情形完全平行。将 QCA 连续极限 $\epsilon \to E$ 与此前散射–DOS 理论结合，可得

$$\underset{\epsilon \to E}{\lim }\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{Q}_{\mathrm{F}}(\epsilon )=\Delta \rho (E),$$

即时间密度定义在离散与连续描述间是一致的。相关构造可参考 Dirac QCA 与量子行走在曲时空上的研究。

Model Apply

本节讨论统一时间恒等式在若干物理情景中的应用。

5.1 波混沌腔体与微波散射

在波混沌腔体与多端口电磁散射结构中，Wigner–Smith 矩阵 $Q(E)$ 早已用于刻画模式平均群延迟与驻留时间分布，其迹与 DOS 的关系在随机矩阵理论框架下得到广泛验证。

在这些系统中，可通过以下方式实现对统一时间恒等式的实验检验：

1. 测量多端口散射矩阵 $S(\omega )$，数值求导得到 $Q(\omega )=-\mathrm{i}{S}^{†}{\partial }_{\omega }S$ 与 $\mathrm{tr}Q(\omega )$。

2. 独立地通过本征频率统计或 Green 函数测量得到 DOS $\rho (\omega )$ 与相对于空腔的 $\Delta \rho (\omega )$。

统一时间恒等式预测

$$\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(\omega )=\Delta \rho (\omega ),$$

偏离这一关系的部分可归因于损耗或非保守效应，需使用广义（非酉）Wigner–Smith 矩阵修正。

5.2 光学介质中的“引力红移“模拟

利用类引力折射率分布 $n(\mathbf{x})$ 的光学介质，可模拟静态引力场中的光线偏折与时间延迟。将介质的有效光学长度 $\int n(\mathbf{x})\mathrm{d}\ell$ 视为“时间密度“积分，可以构造精确的实验类比：在不同折射率梯度下测量干涉条纹的相位偏移与 Wigner–Smith 延迟，对比介质内部模式 DOS 与时间密度之间的关系。

5.3 Dirac QCA 中的散射与时间延迟

在 Dirac QCA 模型中，可考虑局域势垒或质量缺陷，引入散射行为并计算准能量依赖的散射矩阵。已有工作对一维 Dirac QCA 的散射与 Zitterbewegung 进行了详细分析，可据此数值计算 Floquet–EWS 时间延迟并与单元格本征模式 DOS 对比。

通过改变局域更新规则（相当于改变“背景度规“），可以观察时间密度与 QCA 参数之间的函数关系，从而在完全可控的离散模型中检验“时间即态密度“。

5.4 宇宙学背景与早期宇宙时间膨胀

在弯曲时空的场论中，全局 DOS 与体积、曲率之间的关系可用 Weyl 定律与 Laplace–Beltrami 算符的谱性质刻画。

若将宇宙早期的高能量密度视为极高 DOS 区域，则统一时间恒等式暗示早期宇宙的有效时间流逝速率显著变慢。这为视界问题提供一种替代暴胀的思路：在统一时间刻度下，不同共动区域之间的“信息传播时间“可以足够长，使得它们在标准宇宙学时间坐标下看似超光速因果联系。

Engineering Proposals

统一时间恒等式不仅是概念上的统一，还导向了一系列可检验的工程方案。

6.1 微波与射频散射网络

构造多端口散射网络（如复杂电路板、波导网络或超材料结构），在射频或微波频段精确测量 $S(\omega )$，同时通过模式计数或场能量分布估算 DOS。

• 目标 1：验证 $(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}Q(\omega )=\Delta \rho (\omega )$ 在存在损耗与非酉扰动时的修正形式。

• 目标 2：通过局域参数变化（改变元件密度或介电常数）实现“人工引力势“，测量时间密度的空间梯度与类“红移“效应。

6.2 光学晶格钟网络与引力红移

近期光学晶格钟实验已在厘米甚至毫米高度差上精确测得引力红移。

在这些实验中，原子的内部能级结构与外部光学势共同决定了系统的态密度。通过精细控制光学势深度与原子间相互作用，可在基本相同的几何高度下改变局域 DOS，以测试在相同 $\Phi /c^2$ 条件下，DOS 改变是否对时间流逝速率产生可观测影响，从而在实验室中区分“几何时间膨胀“与“谱密度时间膨胀“的贡献。

6.3 量子行走与 QCA 芯片上的时间密度测量

在离子阱、超导量子比特或光子芯片上实现的离散时间量子行走已经可以模拟 Dirac 动力学。

实验方案包括：

1. 设置具有可调局域相位与耦合强度的量子行走网络，使其连续极限对应于具有有效引力势的 Dirac 方程。

2. 通过过程层析或干涉测量确定 Floquet 散射矩阵 $S(\epsilon )$，并计算 $Q_{\mathrm{F}}(\epsilon )$。

3. 叠加多个不同能谱分布的初态，观察其到达概率分布与平均延迟时间的变化，测量时间密度与谱结构之间的定量关系。

Discussion (risks, boundaries, past work)

统一时间恒等式将多种成熟理论中的散射时间延迟与态密度关系上升为“时间本身“的定义，这一跃升带来若干风险与边界，需要与既有工作的结果相对照。

1. 时间延迟的多重定义。 除 EWS 延迟外，还有基于停留时间、Larmor 预cession 等不同概念的“时间“。在一般散射理论中，它们在但不限于短程势、单通道等条件下可以等价，但在多通道、有长程相互作用或非酉情形下，差异显著。本文选择 EWS–KFL 结构作为时间定义的基底，边界是：只要散射矩阵具有良好的能量解析结构且谱移函数存在，统一时间恒等式才适用。

2. 谱移函数的数学条件。 Krein 谱移函数理论要求 $H-H_0$ 至少为 trace–class 或 Hilbert–Schmidt 型扰动，在某些长程势与场论背景下，这一条件不满足，需采用重整化或局域化的 DOS 概念。

3. 几何–谱对应的非唯一性。 Weyl 定律与谱几何表明，流形的几何与 Laplace–Beltrami 算符的谱之间存在深刻联系，但并非一一对应（“谱能否听出鼓形“问题）。因此，将 $g_{00}$ 完全视为 DOS 的函数在严格数学上可能遭遇非唯一性；本文将其视作在物理上“可忽略简并“的有效描述。

4. 与热时间假设与引力热力学的关系。 将 DOS–时间密度与 KMS 模流联系起来，与已有的热时间假设、Unruh 效应与黑洞热力学的研究方向一致，但尚需在严格的代数量子场论框架中证明对应关系的唯一性。

5. QCA 本体论的实验可检验性。 将宇宙视为 QCA 在概念上吸引人，但在目前能量尺度与实验条件下，直接观测格点离散性与元胞更新规则几乎不可能。因此，本文关于“时间即态密度“的 QCA 本体论解释，更多是为已被验证的散射与引力现象提供一种补充图像，而非替代理论。

Conclusion

本文在散射理论与谱移函数的成熟框架中，提出并论证了统一时间恒等式

$$\kappa (E)=\frac{1}{2\pi \hslash }\mathrm{tr}Q(E)=\Delta \rho (E),$$

将 Wigner–Smith 时间延迟、散射相位导数与态密度变化统一在同一函数 $\kappa (E)$ 的不同表达之下。我们据此提出：时间流逝速率可以被理解为系统在希尔伯特空间中遍历量子态的速率，或称“时间密度“。

这一观点在以下几个层面上实现了时间概念的统一：

1. 在微观散射层面，时间是散射相位对能量的导数，是 DOS 的直接函数。

2. 在宏观引力层面，引力红移可被解释为局域 DOS 梯度导致的时间密度变化；在适当归一化下，恢复标准弱场红移关系。

3. 在热力学与量子场论层面，DOS 加权的时间密度与 KMS 模流与热时间假设相容，为时间箭头提供了信息论意义上的刻度。

4. 在离散 QCA 本体论中，连续时间与相对论动力学作为离散幺正更新的涌现，其时间密度与 DOS 的关系保留了统一时间恒等式的结构。

统一时间恒等式本身是完全建立在可检验、可计算的散射量之上，已在多种波散射系统中隐含存在。本文所做的工作，是将这一隐含关系提升为时间概念的核心，并展示其在引力红移与曲时空物理中的潜在解释力。未来的工作包括：在相对论场论与量子引力候选理论中构造严格的 DOS–度规对应关系，在光学钟网络与波混沌系统中设计专门实验检验时间密度–态密度联系的数值系数，以及在 QCA 与量子信息框架下探索“时间即复杂度“与“时间即态密度“之间的联系。

Acknowledgements, Code Availability

作者感谢关于散射时间延迟、谱移函数、量子元胞自动机与光学钟实验的广泛文献与研究社群。本工作未使用专门开发的软件代码，所有推导均可在通用符号计算与数值分析平台上复现，必要时可由读者自行实现。

附录 A：Krein–Friedel–Lloyd 公式与统一时间恒等式的技术推导

本附录给出从有限盒规一化到谱移函数，再到 Wigner–Smith 时间延迟的较为完整推导。

A.1 有限盒规一化与一维相移

考虑一维区间 $[0,L]$ 上的薛定谔算符

$$H_0=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2},H=H_0+V(x),$$

边界条件取 Dirichlet。自由情形本征态为

$${\varphi }_n^{(0)}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L},E_n^{(0)}=\frac{{\hslash }^2}{2m}(\frac{n\pi }{L}{)}^2.$$

加入局域势 $V(x)$ 后，远离势区的散射态满足

$${\psi }_k(x)\simeq \{\begin{array}{ll}\sin (kx),& x\to 0,\\ \sin (kx+\delta (k)),& x\to L,\end{array}$$

边界条件 ${\psi }_k(0)={\psi }_k(L)=0$ 导致量子化条件

$$kL+\delta (k)=n(k)\pi .$$

对 $k$ 求导，

$$\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}k}=\frac{L}{\pi }+\frac{1}{\pi }{\partial }_k\delta (k).$$

因此 DOS

$$\rho (k)=\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}k}={\rho }_0(k)+\Delta \rho (k),\Delta \rho (k)=\frac{1}{\pi }{\partial }_k\delta (k).$$

能量表象下 $E={\hslash }^2{k}^2/(2m)$，有

$${\partial }_E\delta (E)={\partial }_k\delta {\partial }_{E}k={\partial }_k\delta (\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}k}{)}^{-1}={\partial }_k\delta \frac{m}{{\hslash }^{2}k}.$$

同理，DOS 变换为

$$\Delta \rho (E)=\Delta \rho (k)\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}E}=\frac{1}{\pi }{\partial }_k\delta (k)\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}E}=\frac{1}{\pi }{\partial }_E\delta (E).$$

A.2 多通道与谱移函数

对多通道与高维情形，引入总散射矩阵 $S(E)$，其特征值形式为

$$S(E)|{\psi }_{\alpha }(E)⟩={\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}{\delta }_{\alpha }(E)}|{\psi }_{\alpha }(E)⟩.$$

总相移

$$\phi (E)=\sum _{\alpha }2{\delta }_{\alpha }(E)=\mathrm{Im}\ln \det S(E).$$

谱移函数理论指出

$$\det S(E)={\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}\xi (E)},{\xi }^{\prime }(E)=\Delta \rho (E),$$

从而

$$\Delta \rho (E)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\partial }_E\ln \det S(E)=\frac{1}{2\pi }{\partial }_E\phi (E).$$

另一方面，

$$\mathrm{tr}\left(S^{†}{\partial }_{E}S\right)=\sum _{\alpha }{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}{\delta }_{\alpha }}{\partial }_E\left({\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}{\delta }_{\alpha }}\right)=\sum _{\alpha }2\mathrm{i}{\partial }_E{\delta }_{\alpha }=\mathrm{i}{\partial }_E\phi (E),$$

故

$$\Delta \rho (E)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\mathrm{tr}\left(S^{†}{\partial }_{E}S\right)=\frac{1}{2\pi }{\partial }_E\phi (E).$$

A.3 Wigner–Smith 算符迹与统一时间恒等式

EWS 算符

$$Q(E)=-\mathrm{i}\hslash S^{†}{\partial }_{E}S,$$

迹为

$$\mathrm{tr}Q(E)=-\mathrm{i}\hslash \mathrm{tr}\left(S^{†}{\partial }_{E}S\right).$$

结合上式可得

$$\Delta \rho (E)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\mathrm{tr}\left(S^{†}{\partial }_{E}S\right)=\frac{1}{2\pi \hslash }\mathrm{tr}Q(E),$$

从而统一时间恒等式

$$\kappa (E)\equiv \frac{1}{2\pi \hslash }\mathrm{tr}Q(E)=\Delta \rho (E).$$

附录 B：弱场极限下局域态密度与时间膨胀

本附录对定理 3.4 中关于 DOS 与引力红移的关系给出更详细的推导。

B.1 半经典 DOS 计算

考虑三维非相对论粒子在势场 $\Phi (\mathbf{x})$ 中：

$$H(\mathbf{x},\mathbf{p})=\frac{{\mathbf{p}}^2}{2m}+m\Phi (\mathbf{x}).$$

局域 DOS 定义为

$$\rho (E,\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi \hslash {)}^3}\int \delta (E-H(\mathbf{x},\mathbf{p})){\mathrm{d}}^{3}p.$$

在固定 $\mathbf{x}$ 处，等能面为半径

$$p_{\max }(\mathbf{x})=\sqrt{2m(E-m\Phi (\mathbf{x}))}.$$

积分得

$$\rho (E,\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi \hslash {)}^3}{\int }_{|\mathbf{p}|\le p_{\max }}\delta (E-\frac{{\mathbf{p}}^2}{2m}-m\Phi ){\mathrm{d}}^{3}p\propto (E-m\Phi (\mathbf{x}){)}^{1/2}.$$

对 $E\simeq m{c}^2$ 与 $|\Phi |/c^2\ll 1$，写

$$E-m\Phi (\mathbf{x})=m{c}^2(1-\frac{\Phi (\mathbf{x})}{c^2}+\cdots ),$$

于是

$$\rho (E,\mathbf{x})\simeq {\rho }_{\infty }(E)(1-\frac{1}{2}\frac{\Phi (\mathbf{x})}{c^2}),$$

其中 ${\rho }_{\infty }(E)\propto (m{c}^2{)}^{1/2}$ 为 $\Phi =0$ 情形的 DOS。

对 relativistic 或多自由度系统，指数 $1/2$ 替换为 $(d-2)/2$ 或更复杂函数，一般写作

$$\rho (E,\mathbf{x})\simeq {\rho }_{\infty }(E)(1-\alpha \frac{\Phi (\mathbf{x})}{c^2}),$$

$\alpha$ 为正常数。

B.2 时间密度与红移系数

统一时间恒等式给出

$$\kappa (E,\mathbf{x})=\Delta \rho (E,\mathbf{x}),$$

在弱场下可将 $\Delta \rho (E,\mathbf{x})$ 看作以平直背景为参考的相对 DOS。将宏观时间流逝率定义为

$$\frac{\mathrm{d}\tau (\mathbf{x})}{\mathrm{d}t}=\frac{{\kappa }_{\infty }(E)}{\kappa (E,\mathbf{x})}.$$

若直接取 $\kappa \propto \rho$，则

$$\frac{\mathrm{d}\tau (\mathbf{x})}{\mathrm{d}t}\simeq 1+\alpha \frac{\Phi (\mathbf{x})}{c^2}.$$

要与 GR 弱场极限

$$\frac{\mathrm{d}\tau }{\mathrm{d}t}\simeq 1+\frac{\Phi }{c^2}$$

一致，需要 $\alpha =1$。在非相对论气体模型中 $\alpha =1/2$，说明“物理时间密度“并非简单等同于单粒子 DOS，而应考虑能量加权、多体关联或光学模式 DOS 等更精细的结构。

一种自然的修正是定义信息 DOS

$${\rho }_{\mathrm{info}}(E,\mathbf{x})=\rho (E,\mathbf{x}{)}^{\beta },$$

相应地

$${\kappa }_{\mathrm{info}}(E,\mathbf{x})\propto {\rho }_{\mathrm{info}}(E,\mathbf{x}),\frac{\mathrm{d}\tau (\mathbf{x})}{\mathrm{d}t}=\frac{{\rho }_{\mathrm{info},\infty }(E)}{{\rho }_{\mathrm{info}}(E,\mathbf{x})}.$$

展开得

$${\rho }_{\mathrm{info}}(E,\mathbf{x})\simeq {\rho }_{\mathrm{info},\infty }(E)(1-\beta \alpha \frac{\Phi (\mathbf{x})}{c^2}),$$

因此

$$\frac{\mathrm{d}\tau (\mathbf{x})}{\mathrm{d}t}\simeq 1+\beta \alpha \frac{\Phi (\mathbf{x})}{c^2}.$$

选择 $\beta =1/\alpha$ 即可恢复 GR 的线性系数 1。物理上，这对应于在多体体系中选择一个与“每单位能量的可区分微观状态数“成比例的 DOS 定义，而不是简单的单粒子相空间体积。其具体形式需要从相对论场论与多体关联函数中进一步推导，这一部分超出本文范围。

附录 C：时间密度、KMS 状态与热时间

本附录简要说明时间密度与 KMS 模流之间的关系。

设 $(\mathcal{A},{\alpha }_t)$ 为 $C^{\ast }$ 代数上的一参数群，${\alpha }_t$ 由哈密顿量 $H$ 生成。KMS 条件为：对任意 $A,B\in \mathcal{A}$，存在解析函数 $F_{A,B}(z)$ 满足

$$F_{A,B}(t)={\omega }_{\beta }(A{\alpha }_t(B)),F_{A,B}(t-\mathrm{i}\beta )={\omega }_{\beta }({\alpha }_t(B)A).$$

在 GNS 表象中，KMS 态对应于 Hilbert 空间上一种特殊的向量态，其模流由 Tomita–Takesaki 理论给出。模流参数 $s$ 与物理时间 $t$ 的比例系数可以理解为“温度“或“时间刻度“。

统一时间恒等式表明，时间密度 $\kappa (E)$ 由 DOS 与 EWS 延迟共同决定。对给定温度 $T$，系统处于能量概率分布

$$P_{\beta }(E)=Z^{-1}\rho (E){\mathrm{e}}^{-\beta E},$$

则 KMS 流的“平均时间刻度“可与

$${\bar{\kappa }}_{\beta }=\int \kappa (E)P_{\beta }(E)\mathrm{d}E$$

联系。热时间假设认为，物理时间正是模流参数在给定状态上的自然参数，温度是模流与几何时间之间的比例系数。在本框架下，${\bar{\kappa }}_{\beta }$ 提供了一种用谱量直接定义这一比例系数的方式。

附录 D：Dirac QCA 中的时间密度与散射

Dirac QCA 模型给出了一个离散、局域、幺正的微观更新规则，其单粒子子空间在连续极限下逼近 Dirac 方程。

在一维情形中，单步演化可写为

$$U=\sum _x(|x+1⟩⟨x|\otimes C_{+}+|x-1⟩⟨x|\otimes C_{-}),$$

其中 $C_{\pm }$ 是作用于内部自由度的“硬币“算符。缺陷可通过在有限区域修改 $C_{\pm }$ 或增加局域相位实现。在准能量表象中，散射矩阵 $S(\epsilon )$ 与连续时间散射中的 $S(E)$ 类似，EWS 算符定义为

$$Q_{\mathrm{F}}(\epsilon )=-\mathrm{i}S(\epsilon {)}^{†}{\partial }_{\epsilon }S(\epsilon ).$$

统一时间恒等式在 Floquet 场景中变为

$$\kappa (\epsilon )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{Q}_{\mathrm{F}}(\epsilon )=\Delta {\rho }_{\mathrm{F}}(\epsilon ),$$

其中 $\Delta {\rho }_{\mathrm{F}}(\epsilon )$ 为相互作用引起的准能量态密度变化。Dirac 连续极限 $\epsilon \to E$ 的存在保证了上述关系可无缝映射到连续能量表象，从而 QCA 中离散时间步数与连续时间密度之间的桥梁由 DOS 与 EWS 延迟共同搭建。

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