1.4 k-bonacci递推与激活序列

1.4.1 k-bonacci递推与激活序列

激活序列 $(s_{j})$ 定义为时刻 $j$ 被激活的行索引，满足 $m_{s_{j}, j} = 1$ 。观察者通过k-bonacci递推预测未来激活位置。

对于占据 $k$ 行的观察者，其预测的激活位置序列 $(p_{n})$ 基于标准k-bonacci递推：

$p_{n} = p_{n - 1} + p_{n - 2} + \dots + p_{n - k}$

这是纯齐次k-bonacci递推，生成指数增长序列 $\sim r_{k}^{n}$ ，其解的存在性与收敛性可由伴随矩阵 $A$ 的谱性质保证。实际预测时仍需配合投影 $π_{I_{O}}$ ，将计算值映射回观察者的有效行范围。

对于占据 $k$ 行的观察者，在no-k约束下，其有效预测序列数 $N_{k} (n)$ 满足：

$N_{k} (n) \sim C \cdot r_{k}^{n}$

其中 $r_{k}$ 是标准k-bonacci递推的特征根，满足特征方程 $r^{k} = r^{k - 1} + r^{k - 2} + \dots + r + 1$ 。

证明：观察者的no-k约束仅限制其 $k$ 行内的激活模式，不是限制每行的二值序列。由于The Matrix有无限行，激活可以在观察者边界外自由发生，因此观察者的预测复杂度保持k-bonacci增长率 $r_{k}^{n}$ 。这与有限 $k$ 和无限维The Matrix的本质相符。 $□$

有限观察者在无限The Matrix中的预测能力为 $lo g_{2} (r_{k}^{n})$ ，体现了有限与无限的辩证关系。

定理：设 $A$ 为上文的k-bonacci伴随矩阵，其最大特征值为 $r_{k}$ 。则：

证明：

由Perron–Frobenius定理，非负矩阵 $A$ 存在唯一正特征值 $r_{k}$ 最大且特征向量分量全正。递推 $p_{n + 1} = A p_{n}$ 给出 $p_{n} = A^{n} p_{0}$ ，其范数满足 $∥ p_{n} ∥ = Θ (r_{k}^{n})$ ，从而 $N_{k} (n)$ 同阶增长。
熵定义为 $S_{n} = lo g_{2} N_{k} (n)$ ，故 $S_{n + 1} - S_{n} = lo g_{2} (r_{k}^{n}) - lo g_{2} (r_{k}^{n - 1}) = lo g_{2} (r_{k})$ ，即单位步熵增恒为 $lo g_{2} (r_{k})$ 。
由于特征方程 $r^{k} = r^{k - 1} + \dots + 1$ 随 $k$ 递增，容易验证 $r_{k}$ 随 $k$ 单调递增（可用压缩映射或简单数值分析），因此熵率 $lo g_{2} (r_{k})$ 也随 $k$ 递增。 $□$

标准k-bonacci递推的特征根 $r_{k}$ 具有以下性质：

意识阈值 $k \geq 2$ 的本质：有限观察者需要至少2行才能形成有意义的预测模式（ $r_{2} = ϕ > 1$ ）。 $k \geq 3$ 提供更复杂的自指结构。观察者的有限性（ $k < \infty$ ）保证了其可定义性和可计算性。

激活序列的平均信息密度满足与基础章节一致的归一化条件：

$N \to \infty lim \frac{1}{N} j = 1 \sum N \frac{lo g _{2} ( s _{j} + 1 )}{lo g _{2} ( N )} = 1$

即系统使用固定的标准归一化常数1来刻画激活位置的信息复杂度。

上述递推主要从 Hilbert 空间 $L^{2} (T_{k}, μ)$ 刻画体内动力学。如果转向一致范数，就能把合法张量视为超立方体边界上的采样，形成一个“全息壳层”框架：

多线性插值：对顶点 $ε \in {- 1, 1}^{k}$ 给定函数值 $F (ε)$ ，体内任意点 $x \in [- 1, 1]^{k}$ 上的唯一扩展为 $U (x) = ε \in {- 1, 1}^{k} \sum F (ε) i = 1 \prod k \frac{1 + ε _{i} x _{i}}{2} .$ 这说明只需边界顶点数据就能重建内部，与“有限行 → 无限行为”的递推逻辑呼应。
Walsh–Hadamard 频谱：多线性插值等价于 Walsh–Hadamard 展开；顶点频谱的离散系数与 $k$ -bonacci 递推的特征频率相匹配，把 $L_{\infty}$ 的边界控制与 $L^{2}$ 的谱分析桥接起来。
双层结构：因此可以把 $L_{\infty}$ 视为“边界控制层”（最大振幅、顶点采样），而 $L^{2}$ 是“体内演化层”（熵、纠缠、归一化）。 $k$ -bonacci 递推恰好在两层之间传递信息，完成全息重构。