1.2.3 递归幺正反演算子

定义 1.2.3.1 (递归反演算子)

在递归母空间${\mathcal{H}}^{(R)}=\overline{{\bigcup }_{n=0}^{\infty }{\mathcal{H}}_n^{(R)}}$上定义递归反演算子$J^{(R)}$：

$$J^{(R)}:{\mathcal{H}}^{(R)}\to {\mathcal{H}}^{(R)},J^{(R)}(f_n)=\sum _{k=0}^n\overline{a_k}{\eta }^{(R)}(k;m)e_k$$

其中$f_n={\sum }_{k=0}^n{a}_k{e}_k$是第$n$层的标签序列，${\eta }^{(R)}(k;m)$是相对论指标调制因子。

定理 1.2.3.1 (递归反演算子的幺正性)

递归反演算子$J^{(R)}:{\mathcal{H}}^{(R)}\to {\mathcal{H}}^{(R)}$具有以下性质：

1. 递归自反性：$(J^{(R)}{)}^2={\text{Id}}_n$在每层${\mathcal{H}}_n^{(R)}$上
2. 标签调制自伴性：$(J^{(R)}{)}^{\ast }=J^{(R)}$当${\eta }^{(R)}(k;m)\in \mathbb{R}$
3. 递归幺正性：$(J^{(R)}{)}^{\ast }{J}^{(R)}=I$在${\mathcal{H}}^{(R)}$上
4. 层级兼容性：$J^{(R)}({\mathcal{H}}_n^{(R)})\subseteq {\mathcal{H}}_n^{(R)}$

递归证明：

1. 递归自反性：对任意$f_n={\sum }_{k=0}^n{a}_k{e}_k\in {\mathcal{H}}_n^{(R)}$： $$(J^{(R)}{)}^2(f_n)=J^{(R)}\left(\sum _{k=0}^n\overline{a_k}{\eta }^{(R)}(k;m)e_k\right)=\sum _{k=0}^n{a}_k({\eta }^{(R)}(k;m){)}^2{e}_k$$

   当${\eta }^{(R)}(k;m)=\pm 1$时，$(J^{(R)}{)}^2={\text{Id}}_n$。

2. 标签调制自伴性：对$f_n,g_n\in {\mathcal{H}}_n^{(R)}$： $$⟨J^{(R)}(f_n),g_n⟩=\sum _{k=0}^n\overline{a_k}{\eta }^{(R)}(k;m)\overline{b_k}=⟨f_n,J^{(R)}(g_n)⟩$$

   当${\eta }^{(R)}(k;m)\in \mathbb{R}$时成立。

3. 递归幺正性：由上述性质和$\Vert {\eta }^{(R)}(k;m)\Vert =1$得出。

4. 层级兼容性：$J^{(R)}$保持每个标签的递归层级不变。$\square$

定义 1.2.3.2 (标签对称性与相对论调制)

标签对称变换：递归反演算子在标签序列上的作用为： $$J^{(R)}(f_n)=\sum _{k=0}^n{\sigma }_k^{(R)}\overline{a_k}{e}_k$$

其中${\sigma }_k^{(R)}={\eta }^{(R)}(k;m)$是相对论指标调制的对称因子。

对称因子的选择

1. 完全对称：${\sigma }_k^{(R)}=1$，恢复传统反演$J^{(R)}(f_n)=\overline{f_n}$
2. 交替对称：${\sigma }_k^{(R)}=(-1{)}^k$，引入递归振荡
3. 相对论调制：${\sigma }_k^{(R)}=\frac{{\eta }^{(R)}(k;m)}{|{\eta }^{(R)}(k;m)|}$，单位模调制

定理 1.2.3.2 (递归函数方程与反演算子)

递归完成函数与递归反演算子满足： $${\xi }^{(R)}(s;n)=J^{(R)}({\xi }^{(R)}(1-s;n))$$

当相对论指标满足特殊关系${\eta }^{(R)}(k;m)={\eta }^{(R)}(k;1-m)$。

证明要点：

• 标签级别：$J^{(R)}(f_n)$的第$k$个标签系数关联到${\xi }^{(R)}(1-s;n)$
• 函数方程级别：递归反演保持函数方程的对称性
• 相对论不变性：相对论指标的选择确保反演与递归嵌套兼容

推论 1.2.3.1 (递归基态函数的对称性)

递归基态函数$F_n^{(R)}(t)={\xi }^{(R)}(1/2+it;n)$满足： $$J^{(R)}(F_n^{(R)})(t)=F_n^{(R)}(-t)\cdot R_n^{(J)}(t)$$

其中$R_n^{(J)}(t)$是反演调制因子： $$R_n^{(J)}(t)=\prod _{k=0}^n{\sigma }_k^{(R)}\cdot \frac{{\mathcal{F}}_n(1/2-it)}{{\mathcal{F}}_n(1/2+it)}$$

定理 1.2.3.3 (递归反演算子的谱性质)

递归反演算子$J^{(R)}$在第$n$层${\mathcal{H}}_n^{(R)}$上的谱为： $${\sigma }_n(J^{(R)})=\{{\sigma }_k^{(R)}:k=0,1,\dots ,n\}$$

谱分解： $$J^{(R)}{|}_{{\mathcal{H}}_n^{(R)}}=\sum _{k=0}^n{\sigma }_k^{(R)}{P}_k^{(R)}$$

其中$P_k^{(R)}$是投影到$\mathbb{C}{e}_k$的算子。

说明

递归反演算子的深层意义

1. 标签对称性的递归实现

递归反演算子$J^{(R)}$实现了标签序列的广义对称变换：

• 传统反演：$f(t)\mapsto f(-t)$仅处理时间反演
• 递归反演：$f_n\mapsto J^{(R)}(f_n)$处理标签空间的递归对称性
• 相对论调制：通过${\eta }^{(R)}(k;m)$参数化对称性的“扭曲“程度
• 层级保持：每层的递归结构在反演下保持不变

2. 函数方程的递归对称性

• 基础层：$\xi (s)=\xi (1-s)$提供基本镜面对称
• 递归层：$J^{(R)}$确保递归完成函数的对称性在所有层级保持
• 标签调制：相对论指标控制对称性在递归嵌套中的“相对化“
• 不变性原理：反演操作与递归构造可交换

3. 几何与代数的递归统一

递归反演算子桥接了递归几何结构与代数性质： $$\text{递归几何对称性}\stackrel{J^{(R)}}{\leftrightarrow }\text{标签代数结构}$$

统一表现：

• 几何侧：${\mathcal{H}}_n^{(R)}$的递归嵌套对称性
• 代数侧：标签系数$\{a_k\}$的相对论调制变换
• 桥接机制：相对论指标${\eta }^{(R)}(k;m)$提供几何-代数的参数化对应
• 不变量保持：递归反演保持标签序列的本质递归结构

这种递归反演理论为理解RH框架中对称性与递归性的深层统一提供了相对论指标调制的算子理论基础。

推论 1.2.3.2 (递归母空间的标签宇称分解)

递归母空间${\mathcal{H}}^{(R)}$可按相对论指标分解为：

$${\mathcal{H}}^{(R)}=\underset{\lambda \in \sigma (J^{(R)})}{⨁}{\mathcal{H}}_{\lambda }^{(R)}$$

其中${\mathcal{H}}_{\lambda }^{(R)}=\{f_n\in {\mathcal{H}}^{(R)}:J^{(R)}(f_n)=\lambda f_n\}$是本征值$\lambda$对应的本征子空间。

特殊情况：

• 当${\sigma }_k^{(R)}=1$时：${\mathcal{H}}_1^{(R)}$包含对称标签序列
• 当${\sigma }_k^{(R)}=(-1{)}^k$时：出现交替宇称分解
• 当${\sigma }_k^{(R)}={\eta }^{(R)}(k;m)$时：相对论指标参数化的广义宇称