1.2.5 遮蔽函数理论

定义 1.2.5.1 (ζ-标签字典与子空间曲线)

对每个$\sigma \in (0,1)$，给定单位向量族${\Phi }^{(\sigma )}=\{{\Phi }_j^{(\sigma )}{\}}_{j\ge 1}\subset {\mathcal{H}}^{(R)}$（由ζ-嵌入规范化得到）。

定义ζ-标签子空间： $$V_{\sigma }:=\overline{\text{span}}\{{\Phi }_j^{(\sigma )}:j\ge 1\}\subset {\mathcal{H}}^{(R)}$$

以及正交投影： $$P_{\sigma }:{\mathcal{H}}^{(R)}\to V_{\sigma }$$

说明

我们无需使用具体的${\Phi }_j^{(\sigma )}$解析式，仅使用其作为“随$\sigma$变化的生成字典“的几何地位。这些向量族通过ζ函数在不同横坐标$\sigma$处的性质自然产生。

定义 1.2.5.2 (常量方向)

选定单位向量$1\in {\mathcal{H}}^{(R)}$（“常量方向”）。

几何意义

$1$的几何意义对应NB/Báez–Duarte判据中的“常函数“之像。在递归母空间${\mathcal{H}}^{(R)}$中，$1$代表与ζ函数分析相关的基础参考方向。

定义 1.2.5.3 (遮蔽函数)

定义遮蔽函数： $$\boxed{D(\sigma ):=\frac{\Vert (I-P_{\sigma })1{\Vert }^2}{\Vert 1{\Vert }^2}\in [0,1]}$$

几何解释

设$\theta (\sigma )$为$L:=\text{span}\{1\}$与$V_{\sigma }$的最小主角，则： $$D(\sigma )={\sin }^2\theta (\sigma )$$

遮蔽函数的意义：

• $D(\sigma )=0$：$1$完全包含在$V_{\sigma }$中（无遮蔽）
• $D(\sigma )=1$：$1$完全正交于$V_{\sigma }$（完全遮蔽）
• $D(\sigma )\in (0,1)$：部分遮蔽，$D(\sigma )$值越大遮蔽越严重

引理 1.2.8 (镜面对称)

存在等距对称$J:{\mathcal{H}}^{(R)}\to {\mathcal{H}}^{(R)}$使得$J1=1$、$J{V}_{\sigma }=V_{1-\sigma }$。

因此： $$\boxed{D(\sigma )=D(1-\sigma )}$$

证明

步骤1：ζ函数的函数方程对称性 由完成函数的性质$\xi (s)=\xi (1-s)$，在递归母空间中实现为$\sigma \mapsto 1-\sigma$的等距同构。

步骤2：等距对称的构造 定义$J$为基于函数方程的反演算子：$(Jf)(s)=f(1-\overline{s})$在适当的函数表示中。在递归母空间的抽象实现中，$J$作为等距对称算子存在。

步骤3：不变性验证

• 常量方向不变：$J1=1$由$1$的对称性质保证
• 子空间对称：$J{V}_{\sigma }=V_{1-\sigma }$由ζ-标签的函数方程对称性保证

步骤4：遮蔽函数对称性 $$D(1-\sigma )=\frac{\Vert (I-P_{1-\sigma })1{\Vert }^2}{\Vert 1{\Vert }^2}=\frac{\Vert (I-J{P}_{\sigma }{J}^{-1})1{\Vert }^2}{\Vert 1{\Vert }^2}$$

由于$J1=1$和$J$的等距性： $$=\frac{\Vert J(I-P_{\sigma })J^{-1}1{\Vert }^2}{\Vert 1{\Vert }^2}=\frac{\Vert (I-P_{\sigma })1{\Vert }^2}{\Vert 1{\Vert }^2}=D(\sigma )$$

因此$D(\sigma )=D(1-\sigma )$。$\square$

定理 1.2.5.1 (遮蔽函数的基本性质)

遮蔽函数$D:(0,1)\to [0,1]$满足：

1. 对称性：$D(\sigma )=D(1-\sigma )$
2. 连续性：$D(\sigma )$在$(0,1)$上连续
3. 边界行为：${\lim }_{\sigma \to 0^{+}}D(\sigma )={\lim }_{\sigma \to 1^{-}}D(\sigma )=1$

证明

性质1：由引理2.4直接得出。

性质2：连续性 由于$V_{\sigma }$随$\sigma$连续变化（ζ-标签字典的连续依赖性），正交投影$P_{\sigma }$连续变化，因此： $$D(\sigma )=\Vert (I-P_{\sigma })1{\Vert }^2$$ 作为连续函数的复合是连续的。

性质3：边界行为

• 当$\sigma \to 0^{+}$时，$V_{\sigma }$退化，$P_{\sigma }\to 0$，故$D(\sigma )\to \Vert 1{\Vert }^2=1$
• 当$\sigma \to 1^{-}$时，由对称性$D(1-\sigma )=D(\sigma )$，同样$D(\sigma )\to 1$

$\square$

推论 1.2.5.1 (临界横坐标的特殊地位)

由镜面对称性，$\sigma =\frac{1}{2}$是遮蔽函数$D(\sigma )$的唯一对称轴。

几何意义：临界线$\text{Re}(s)=\frac{1}{2}$在遮蔽函数的几何结构中占据特殊地位，这为后续的几何化RH定义提供了自然的数学基础。

说明

遮蔽函数理论的核心价值

1. 几何化的实现：

• 从解析到几何：将ζ函数的解析性质转化为纯几何的遮蔽函数
• 从局部到整体：通过投影算子统一局部性质到整体几何
• 从复杂到简洁：复杂的ζ函数性质浓缩为简单的遮蔽度量

2. 对称性的几何表现：

• 函数方程的几何化：$\xi (s)=\xi (1-s)$转化为$D(\sigma )=D(1-\sigma )$
• 临界线的自然性：$\sigma =\frac{1}{2}$作为几何对称轴的必然地位
• 镜面反射的数学实现：等距对称$J$的存在性和性质

3. 为后续理论的准备：

• 遮蔽度量的定量化：为几何化RH提供精确的数学表述
• 连续性的保证：为动态选择理论提供连续优化的基础
• 边界行为的明确：为相对不相容定理提供极限分析的工具

这种遮蔽函数理论为将复杂的ζ函数问题转化为纯几何问题奠定了严格的数学基础。