1.3.5 动态选择与新生理论

定义 1.3.5 (自优化选择策略)

在递归母空间的生成过程中，系统选择一列参数$\{{\sigma }_n\}\subset (0,1)$，满足自优化选择策略：

$$\boxed{\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\left(D({\sigma }_n)-\underset{\sigma }{\inf }D(\sigma )\right)=0}$$

记此假设为**(G)**。

直观解释

自优化选择策略意味着系统渐近选择“最无遮蔽“的方向：

• 系统持续寻找使遮蔽函数$D(\sigma )$最小的横坐标
• 在长期演化中，选择的${\sigma }_n$越来越接近全局最小遮蔽点
• 体现了系统的“智能优化“倾向

定义 1.3.6 (新生函数与持续新生)

新生函数定义

设$\Gamma \subset (0,1)$为权重的可行区间。给定新生上界函数： $$\Psi :[0,1]\times \Gamma \to [0,\infty )$$

满足以下性质：

1. 零点性质：$\Psi (0,\gamma )=0$ 对所有$\gamma \in \Gamma$
2. 单调性：$\Psi$对两个参数都单调不减
3. 连续性：$\Psi$在定义域上连续

新生量约束

每步的“可感新生量“$N_{n+1}$受控于： $$N_{n+1}\le \Psi (D({\sigma }_n),{\gamma }_n)$$

持续新生条件

称系统持续新生，若存在常数${\epsilon }_0>0$与无穷多指标$\{n_k\}$使得：

$$\boxed{N_{n_k}\ge {\epsilon }_0(\forall k)}$$

并要求这些步的注入权不退化：存在${\gamma }^{\star }\in \Gamma$使得${\gamma }_{n_k}\ge {\gamma }^{\star }$。

记此总假设为**(U)**。

数学解释

新生函数$\Psi$的关键性质：

• $\Psi (x,\gamma )\to 0$当$x\to 0$：反映“无遮蔽（$x=0$）时没有可感新生“
• 单调性：遮蔽程度越高，新生潜力越大
• 连续性：确保优化过程的数学可分析性

持续新生(U)的含义：

• 非退化性：系统始终保持最低水平的新生能力
• 无穷多次：新生不是偶发现象，而是系统的持续特征
• 权重保证：注入机制不会退化到无效状态

定理 1.3.7 (新生函数的典型实现)

幂律型新生函数

一类重要的新生函数实现为： $$\Psi (x,\gamma )=C\cdot \gamma \cdot x^{\alpha }$$

其中$C,\alpha >0$为与具体编码相关的常数。

证明关键性质

验证零点性质： $$\Psi (0,\gamma )=C\cdot \gamma \cdot 0^{\alpha }=0$$ 对所有$\gamma \in \Gamma$严格成立。

验证单调性：

• 对$x$单调：$\frac{\partial \Psi }{\partial x}=C\gamma \alpha x^{\alpha -1}\ge 0$
• 对$\gamma$单调：$\frac{\partial \Psi }{\partial \gamma }=C{x}^{\alpha }\ge 0$

验证连续性：幂函数的连续性显然。$\square$

推论 1.3.8 (新生量的具体实现)

熵增作为新生量

若将$N_{n+1}$取为熵增$\Delta S_{n+1}$，则新生约束变为： $$\Delta S_{n+1}\le \Psi (D({\sigma }_n),{\gamma }_n)$$

这将信息论的熵增与几何的遮蔽函数建立了直接联系。

与递归标签理论的统一

在递归母空间框架中，新生约束显式关联熵增$\Delta S_{n+1}$与原子新增正交基的标签调制：

$$\Delta S_{n+1}=g(F_{n+1}(\{a_k{\}}_{k=0}^{n+1}))\le \Psi (D({\sigma }_n),{\gamma }_n)$$

其中：

• $\Delta S_{n+1}$对应：每次递归生成的新维贡献严格正熵增
• $g(F_{n+1})>0$对应：标签模式的信息增量调制
• ${\gamma }_n$对应：标签系数的调制参数
• $D({\sigma }_n)$对应：标签子空间的遮蔽程度

这确保每次递归生成仅新增单一正交基$\mathbb{C}{e}_n$的原子化贡献，强化无限递归的无终止逻辑递增。

说明

动态选择理论的核心价值

1. 系统演化的数学化：

• 选择策略：从直觉的“优化“到严格的数学条件(G)
• 新生过程：从模糊的“创新“到精确的新生函数$\Psi$
• 持续性：从定性的“持续“到定量的下界条件(U)

2. 几何与动态的统一：

• 静态几何：遮蔽函数$D(\sigma )$的几何性质
• 动态过程：选择策略$\{{\sigma }_n\}$的演化
• 统一框架：通过新生函数连接几何与动态

3. 为主定理的准备：

• 优化目标：$\inf D(\sigma )$的几何意义
• 动态约束：新生函数的上界约束
• 矛盾机制：优化与新生的潜在冲突

理论的数学严谨性

假设的明确性：

• (G)：自优化选择的精确数学表述
• (U)：持续新生的定量化条件
• $\Psi$：新生函数的一般性框架

条件的合理性：

• $\Psi (0,\gamma )=0$：反映无遮蔽时无新生的自然性
• 单调性：遮蔽与新生的正相关关系
• 持续性：系统活力的基本要求

这种动态选择理论为分析几何化RH与系统演化的相互作用提供了严格的数学工具。