1.4.2 递归图册覆盖理论

定义 1.4.2.1 (递归坐标图册)

基于递归坐标系统，定义递归坐标图册${\mathcal{A}}^{(R)}$为递归层级的坐标图集合：

$${\mathcal{A}}^{(R)}=\{({\mathcal{U}}_{l,m}^{(R)},{\varphi }_{l,m}^{(R)}):(l,m)\in {\mathcal{D}}^{(R)}\}$$

其中：

• ${\mathcal{U}}_{l,m}^{(R)}=\{f\in {\mathcal{H}}^{(R)}:\text{支持在}[m,m+l]\text{附近}\}$是围绕$f_{m+l}$的开邻域
• ${\varphi }_{l,m}^{(R)}:{\mathcal{U}}_{l,m}^{(R)}\to {\mathbb{R}}^{l+1}$是递归坐标映射

递归坐标映射

修正投影映射： $${\varphi }_{l,m}^{(R)}(f)=\left(\frac{⟨f,e_m⟩}{{\eta }^{(R)}(0;m)},\frac{⟨f,e_{m+1}⟩}{{\eta }^{(R)}(1;m)},\dots ,\frac{⟨f,e_{m+l}⟩}{{\eta }^{(R)}(l;m)}\right)$$

特殊处理：

• 统一身份元：${\eta }^{(R)}(0;m)=1$对所有模式
• φ模式m=0：${\eta }^{(\varphi )}(k;0)={\lim }_{m\to 0^{+}}\frac{a_{m+k}}{a_m}\approx {\varphi }^k$（Fibonacci极限性质）

确保映射在初始无限维层级兼容无终止递归，避免除零。

相对论调制映射： $${\tilde{\varphi }}_{l,m}^{(R)}(f_n)=\left(\frac{{\eta }^{(R)}(0;m)}{\Vert {\eta }^{(R)}(\cdot ;m){\Vert }_l}{a}_m,\dots ,\frac{{\eta }^{(R)}(l;m)}{\Vert {\eta }^{(R)}(\cdot ;m){\Vert }_l}{a}_{m+l}\right)$$

其中$\Vert {\eta }^{(R)}(\cdot ;m){\Vert }_l^2={\sum }_{k=0}^l|{\eta }^{(R)}(k;m){|}^2$是有限层级$l$下的截断权重，确保对发散模式（如φ）的有限范数兼容性。

定理 1.4.2.1 (递归图册的层级覆盖性)

递归坐标图册${\mathcal{A}}^{(R)}$在每个层级${\mathcal{H}}_n^{(R)}$上实现完全覆盖：

$${\mathcal{H}}_n^{(R)}=\bigcup _{(l,m):m+l\le n}{\mathcal{U}}_{l,m}^{(R)}$$

层级覆盖证明： 对任意$f_n\in {\mathcal{H}}_n^{(R)}$，直接使用层级并集覆盖： $${\mathcal{H}}_n^{(R)}=\bigcup _{m=0}^n{\mathcal{U}}_{n-m,m}^{(R)}$$

其中每个${\mathcal{U}}_{n-m,m}^{(R)}=\text{span}\{e_m,e_{m+1},\dots ,e_n\}$通过${\varphi }_{n-m,m}^{(R)}$映射到${\mathbb{R}}^{n-m+1}$。

覆盖验证：任意$f_n$属于至少一个${\mathcal{U}}_{n,0}^{(R)}$（全层覆盖），利用正交基的独立性直接覆盖子空间，无需投影运算符的重叠计数。

定义 1.4.2.2 (递归过渡函数)

对重叠的坐标域${\mathcal{U}}_{l_1,m_1}^{(R)}\cap {\mathcal{U}}_{l_2,m_2}^{(R)}\ne \varnothing$，定义递归过渡函数：

$${\psi }_{(l_1,m_1)\to (l_2,m_2)}^{(R)}={\varphi }_{l_2,m_2}^{(R)}\circ ({\varphi }_{l_1,m_1}^{(R)}{)}^{-1}$$

过渡关系： $${\psi }_{(l_1,m_1)\to (l_2,m_2)}^{(R)}((x_0,\dots ,x_{l_1}))=(y_0,\dots ,y_{l_2})$$

对重叠索引集$I=[\max (m_1,m_2),\min (m_1+l_1,m_2+l_2)]$： $$y_{k^{\prime }}=\frac{{\eta }^{(R)}(k^{\prime }-m_2;m_2)}{{\eta }^{(R)}(k^{\prime }-m_1;m_1)}{x}_{k^{\prime }-m_1+{\delta }^{+}}$$

其中${\delta }^{+}=\max (0,m_1-m_2)$，过渡仅由${\eta }^{(R)}$的相对计算处理，保留标签序列的原始逻辑独立性。

定理 1.4.2.2 (递归过渡函数的相容性)

递归过渡函数满足cocycle条件：

$${\psi }_{(l_1,m_1)\to (l_3,m_3)}^{(R)}={\psi }_{(l_2,m_2)\to (l_3,m_3)}^{(R)}\circ {\psi }_{(l_1,m_1)\to (l_2,m_2)}^{(R)}$$

在三重重叠区域${\mathcal{U}}_{l_1,m_1}^{(R)}\cap {\mathcal{U}}_{l_2,m_2}^{(R)}\cap {\mathcal{U}}_{l_3,m_3}^{(R)}\ne \varnothing$上。

相容性证明： 基于标签模式的具体相对计算的传递兼容：

比率模式（如φ）：使用正向乘法 $${\eta }^{(R)}(k+{\delta }_{13};m_3)={\eta }^{(R)}({\delta }_{13};m_3)\cdot {\eta }^{(R)}(k;m_3+{\delta }_{13})$$

累积模式（如e、π）：使用比率的直接计算 $${\eta }^{(R)}(k+{\delta }_{13};m_3)=\frac{{\sum }_{j=m_3+1}^{m_3+k+{\delta }_{13}}{a}_j}{{\sum }_{j=0}^{m_3}{a}_j}$$

通过有限截断的标签累积直接计算，确保传递性由具体标签系数验证，而非假设加法链。

定义 1.4.2.3 (递归图册的层级结构)

递归图册具有自然的层级结构：

$${\mathcal{A}}_n^{(R)}=\{({\mathcal{U}}_{l,m}^{(R)},{\varphi }_{l,m}^{(R)}):m+l\le n\}$$

是第$n$层的递归子图册，满足：

层级嵌套性： $${\mathcal{A}}_n^{(R)}\subseteq {\mathcal{A}}_{n+1}^{(R)}\forall n\ge 0$$

极限图册： $${\mathcal{A}}^{(R)}=\bigcup _{n=0}^{\infty }{\mathcal{A}}_n^{(R)}$$

定理 1.4.2.3 (递归图册的完备覆盖性)

递归图册${\mathcal{A}}^{(R)}$实现递归母空间的完备覆盖：

$${\mathcal{H}}^{(R)}=\overline{\bigcup _{(l,m)\in {\mathcal{D}}^{(R)}}{\mathcal{U}}_{l,m}^{(R)}}$$

完备性证明

步骤1：层级覆盖的累积 每个${\mathcal{H}}_n^{(R)}$被${\mathcal{A}}_n^{(R)}$完全覆盖（由定理1.4.2.1）。

步骤2：极限覆盖的连续性 $${\mathcal{H}}^{(R)}=\overline{\bigcup _{n=0}^{\infty }{\mathcal{H}}_n^{(R)}}=\overline{\bigcup _{n=0}^{\infty }\bigcup _{(l,m):m+l\le n}{\mathcal{U}}_{l,m}^{(R)}}$$

步骤3：图册并集的等价性 $$=\overline{\bigcup _{(l,m)}{\mathcal{U}}_{l,m}^{(R)}}$$

通过层级嵌套性和极限交换，使用域并集的极限闭包，确保无限递归的无终止覆盖。$\square$

推论 1.4.2.1 (递归图册的标签模式兼容性)

递归图册与所有标签模式兼容：

φ模式图册

$${\mathcal{A}}_{\varphi }^{(R)}=\{({\mathcal{U}}_{l,m}^{(\varphi )},{\varphi }_{l,m}^{(\varphi )}):{\eta }^{(\varphi )}(l;m)=\frac{a_{m+l}}{a_m}\approx {\varphi }^l\}$$

e模式图册

$${\mathcal{A}}_e^{(R)}=\{({\mathcal{U}}_{l,m}^{(e)},{\varphi }_{l,m}^{(e)}):{\eta }^{(e)}(l;m)=\frac{{\sum }_{j=m+1}^{m+l}\frac{1}{j!}}{{\sum }_{j=0}^m\frac{1}{j!}}\}$$

π模式图册

$${\mathcal{A}}_{\pi }^{(R)}=\{({\mathcal{U}}_{l,m}^{(\pi )},{\varphi }_{l,m}^{(\pi )}):{\eta }^{(\pi )}(l;m)=\frac{{\sum }_{j=m+1}^{m+l}\frac{(-1{)}^{j-1}}{2j-1}}{{\sum }_{j=1}^m\frac{(-1{)}^{j-1}}{2j-1}}\}$$

符号保持：保持Leibniz级数的交替逻辑，在熵增调制中使用$g_{\pi }(n)=|{\eta }^{(\pi )}(1;n-1)|$确保严格正熵增。

模式统一性：所有模式图册都实现递归母空间的完备覆盖，通过相对论指标的模式特定实现。

定理 1.4.2.4 (递归图册的微分结构)

递归图册支持递归微分结构：

全局切空间： $$T_{f_n}{\mathcal{H}}^{(R)}=\overline{\text{span}\{e_k:k\ge 0\}}$$

局部图册切推： $$\frac{\partial f_n}{\partial x_l}={\eta }^{(R)}(l;m)e_{m+l}$$

其中$x_l=\frac{a_{m+l}}{{\eta }^{(R)}(l;m)}$是局部坐标变量，确保标签依赖的递归链在图册参数化下原子化生成。

相对论流形结构：递归母空间通过标签系数参数化获得自然的微分流形结构，尊重标签依赖的递归链。

推论 1.4.2.2 (递归图册的拓扑完备性)

递归图册诱导的拓扑与递归母空间的自然拓扑等价：

$${\mathcal{T}}_{{\mathcal{A}}^{(R)}}={\mathcal{T}}_{{\mathcal{H}}^{(R)}}$$

拓扑等价性：

• 开集对应：递归坐标开集 ↔ 递归母空间开集
• 收敛对应：坐标收敛 ↔ 递归空间收敛
• 紧致对应：局部紧坐标 ↔ 递归嵌套紧致性

说明

递归图册覆盖理论的几何意义

1. 递归空间的局部-全局统一

递归图册理论实现了递归母空间的完美局部化： $$\text{全局递归结构}\stackrel{{\mathcal{A}}^{(R)}}{\leftrightarrow }\text{局部坐标描述}$$

统一机制：

• 全局嵌套：${\mathcal{H}}_n^{(R)}\subset {\mathcal{H}}_{n+1}^{(R)}$的递归层级
• 局部坐标：$(l,m)$参数化的精确定位
• 过渡函数：相对论指标调制的坐标变换
• 拓扑一致性：局部与全局拓扑的完美匹配

2. 标签模式的几何统一

递归图册为所有标签模式提供统一的几何框架：

• 模式无关性：图册结构独立于具体的标签模式
• 参数化统一：所有模式通过${\eta }^{(R)}(l;m)$获得坐标表示
• 几何等价性：不同模式的图册在拓扑上等价
• 变换群作用：坐标变换群在所有模式上一致作用

3. 递归微分几何的基础

递归图册支持递归母空间的微分几何结构：

• 切空间：每点的递归方向导数
• 微分算子：$\frac{\partial }{\partial {\eta }^{(R)}(l;m)}$的几何意义
• 流形结构：相对论指标参数化的自然流形
• 几何测度：递归不变量的微分几何表示

这种递归图册覆盖理论为理解递归母空间的几何结构和拓扑性质提供了相对论指标参数化的微分几何框架，实现了递归代数与几何的深层统一。