1.9 高阶相对论指标理论

1.9.1 多元相对论指标的定义

定义 1.9.1.1 (n元相对论指标)

扩展二元相对论指标 $η^{(R)} (k; m)$ 到n元形式，用于分析多层嵌套的复合熵增：

n元相对论指标：基于单一标签序列 ${a_{k}}$ 的累积形式： $η^{(R, n)} (k; m) = n \cdot η^{(R)} (k; m)$

或乘积形式： $η^{(R, n)} (k; m) = [η^{(R)} (k; m)]^{n}$

保持 $k, m$ 为整数参数，避免参数类型不匹配。

n元结构：

累积形式： $η^{(R, n)} (k; m) = n \cdot η^{(R)} (k; m)$
乘积形式： $η^{(R, n)} (k; m) = [η^{(R)} (k; m)]^{n}$

定理 1.9.1.1 (n元指标的正渐近性)

定理：n元相对论指标继承单元指标的正渐近性。

数学表述：若 $η^{(R)} (k; m) > 0$ for all $k, m$ ，则： $η^{(R, n)} (k; m) > 0 \forall n \geq 1$

证明：基于乘积的正性保持：正数的乘积仍为正数。 $□$

1.9.2 张量化相对论指标

定义 1.9.2.1 (多分量相对论指标)

定义多分量形式的相对论指标，保持一维原子新增逻辑：

多分量指标：基于单一标签序列 $f_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} e_{k}$ 的多分量扩展： $η^{(R, d)} (k; m) = i = 1 \sum d w_{i} η^{(R)} (k; m)$

其中 $w_{i}$ 为权重系数，满足 $\sum_{i = 1}^{d} w_{i} = 1$ ，保持单一正交基新增 $C e_{n}$ 。

分量性质：

权重线性性： $η^{(R, d)} (k; m) = \sum_{i = 1}^{d} w_{i} η^{(R)} (k; m)$
正性保持： $w_{i} \geq 0$ , $\sum w_{i} = 1 \Rightarrow η^{(R, d)} (k; m) \geq 0$

定理 1.9.2.1 (多分量指标的收敛性)

定理：多分量相对论指标在适当条件下收敛。

收敛条件： $i = 1 \sum d w_{i} η^{(R)} (k; m) < \infty$

证明：基于线性组合的收敛性和单元指标的有界性。 $□$

1.9.3 复合标签模式的相对论指标

定义 1.9.3.1 (复合标签模式)

定义多个基础标签模式的复合形式：

乘积复合： $a_{k}^{(ϕ \times π)} = a_{k}^{(ϕ)} \cdot a_{k}^{(π)} = F_{k} \cdot \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{2 k - 1}$

加权复合： $a_{k}^{(α ϕ + β e)} = α a_{k}^{(ϕ)} + β a_{k}^{(e)} = α F_{k} + β \frac{1}{k !}$

函数复合： $a_{k}^{(f (ϕ, π))} = f (a_{k}^{(ϕ)}, a_{k}^{(π)})$

其中 $f$ 是适当的双变量函数。

定理 1.9.3.1 (复合模式的相对论指标分解)

定理：复合标签模式的相对论指标可分解为基础模式的组合。

分解公式：对乘积复合： $η^{(ϕ \times π)} (k; m) = η^{(ϕ)} (k; m) \cdot η^{(π)} (k; m) \cdot C (k, m)$

其中 $C (k, m)$ 是交叉耦合项。

对加权复合： $η^{(α ϕ + β e)} (k; m) = α η^{(ϕ)} (k; m) + β η^{(e)} (k; m) + I (α, β, k, m)$

其中 $I$ 是干涉项。

证明：基于模式函数的线性性和乘积性质。 $□$

1.9.4 高维标签序列理论

定义 1.9.4.1 (多分量标签序列)

扩展一维标签序列到多分量形式，保持严格一维原子新增：

多分量标签序列：保持单一标签序列形式： $f_{n} = k = 0 \sum n a_{k} e_{k}$

其中 $a_{k} = \sum_{i = 1}^{d} w_{i} a_{k}^{(i)}$ （权重累积）。

权重累积形式：通过权重系数 $w_{i}$ 实现多分量，保持 $\sum_{i = 1}^{d} w_{i} = 1$ ，不改变单一正交基 $e_{k}$ 。

定理 1.9.4.1 (多分量序列的累积性)

定理：多分量标签序列通过累积形式满足相对论指标性质。

累积指标： $η^{(R, d)} (k; m) = \frac{F _{m + k} ({ a _{j}^{(t o t a l)} } _{j = 0}^{m + k} )}{F _{m} ({ a _{j}^{(t o t a l)} } _{j = 0}^{m} )}$

其中 $a_{j}^{(t o t a l)} = \sum_{i = 1}^{d} w_{i} a_{j}^{(i)}$ 。

累积性质： $η^{(R, d)} (k; m) = η^{(R)} (i = 1 \sum d w_{i} k; i = 1 \sum d w_{i} m)$

保持单一标签序列的自包含逻辑。

证明：基于累积型组合的线性性和一维原子新增的保持。 $□$

1.9.5 相对论指标的离散增量理论

定义 1.9.5.1 (相对论指标的离散增量)

定义相对论指标的离散增量，避免连续变分：

离散增量： $Δ η^{(R)} (k; m) = η^{(R)} (k + 1; m) - η^{(R)} (k; m)$

二阶增量： $Δ^{2} η^{(R)} (k; m) = Δ η^{(R)} (k + 1; m) - Δ η^{(R)} (k; m)$

定理 1.9.5.1 (离散增量的正性)

定理：对于所有有效标签模式，相对论指标的离散增量保持正性。

正性条件： $Δ η^{(R)} (k; m) > 0 \forall k \geq k_{0}, m \geq 0$

几何意义：相对论指标在标签空间中呈离散递增模式，体现严格熵增的递归保持。

证明：基于标签序列的自包含递归性和相对论指标的正渐近性。 $□$

1.9.6 相对论指标的渐近展开

定理 1.9.6.1 (相对论指标的渐近展开)

定理：相对论指标具有关于 $k$ 和 $m$ 的完整渐近展开。

φ模式的渐近展开： $η^{(ϕ)} (k; m) = ϕ^{k} (1 - \frac{ψ ^{m + 1}}{1 - ψ / ϕ} + O (ϕ^{- k}))$

其中 $ψ = (1 - 5) /2$ 是φ的共轭。

e模式的渐近展开： $η^{(e)} (k; m) = \frac{e - s _{m}}{s _{m}} (1 - \frac{1}{( m + k )!} + O (k^{- 2}))$

π模式的渐近展开： $η^{(π)} (k; m) = \frac{π /4 - t _{m}}{t _{m}} (1 + \frac{( - 1 ) ^{m + k}}{( 2 ( m + k ) - 1 ) ^{2}} + O (k^{- 2}))$

证明：基于各标签模式的渐近级数展开和相对论指标的定义。 $□$

1.9.7 高阶熵增的精确计算

定义 1.9.7.1 (高阶熵增函子)

定义高阶熵增的精确计算方法：

n阶熵增： $Δ^{(n)} S = g^{(n)} (F_{n + 1}^{(1)}, F_{n + 1}^{(2)}, \dots, F_{n + 1}^{(n)})$

其中 $F_{n + 1}^{(i)}$ 是第 $i$ 层的模式函数值。

复合熵增算子： $G^{(n)} [{a_{k}^{(i)}}_{i = 1}^{n}] = i = 1 \sum n α_{i} g (F_{n + 1}^{(i)}) + i < j \sum β_{ij} g (F_{n + 1}^{(i)}) g (F_{n + 1}^{(j)})$