5.3 临界现象与相变

引言

基于前两节的稳定性和扰动理论，本节研究递归系统的临界现象和相变。关键问题是：递归系统如何在参数变化下发生相变？RH临界点的相变机制是什么？

定义 5.3.1.1 (递归相变)

在递归动态系统中，定义相变为系统性质的突变：

$${\text{Phase Transition}}^{(R)}:{\eta }^{(R)}(l;m)\in {\mathcal{R}}_1\stackrel{\text{临界}}{\to }{\eta }^{(R)}(l;m)\in {\mathcal{R}}_2$$

其中${\mathcal{R}}_1,{\mathcal{R}}_2$是不同的相区域。

相变的分类

1. 一阶相变（不连续）

特征：序参量跳跃不连续 $$\underset{\eta \to {\eta }_c^{-}}{\lim }⟨{\mathcal{O}}^{(R)}⟩\ne \underset{\eta \to {\eta }_c^{+}}{\lim }⟨{\mathcal{O}}^{(R)}⟩$$

RH一阶相变：

• RH相：谱集中，${\alpha }_n^{(R)}\to \text{临界值}$
• 非RH相：谱分布，${\alpha }_n^{(R)}$保持动态

相对论指标调制的跳跃： $$\underset{n}{\inf }|⟨{\mathcal{O}}^{(R)}{⟩}_{{\eta }_c^{-}}-⟨{\mathcal{O}}^{(R)}{⟩}_{{\eta }_c^{+}}|>\sum _{(l,m)\le n}|{\eta }^{(R)}(l;m)|$$

确保无限维初始下的原子化参数化统一。

2. 二阶相变（连续）

特征：序参量连续但导数不连续 $$\frac{d}{d\eta }⟨{\mathcal{O}}^{(R)}⟩{|}_{{\eta }_c^{-}}\ne \frac{d}{d\eta }⟨{\mathcal{O}}^{(R)}⟩{|}_{{\eta }_c^{+}}$$

3. 无穷阶相变

特征：所有导数连续但某些物理量发散 $$\underset{\eta \to {\eta }_c}{\lim }{\chi }^{(R)}(\eta )=\infty$$

其中${\chi }^{(R)}$是敏感性函数。

定理 5.3.1.1 (RH相变的临界理论)

RH相变满足临界现象的一般理论：

临界指数

定义与RH相变相关的临界指数：

序参量临界指数α

$$⟨{\mathcal{O}}^{(R)}⟩\sim |{\eta }^{(R)}-{\eta }_c^{(R)}{|}^{{\alpha }^{(R)}}$$

敏感性临界指数γ

$${\chi }^{(R)}=\frac{\partial ⟨{\mathcal{O}}^{(R)}⟩}{\partial h^{(R)}}\sim |{\eta }^{(R)}-{\eta }_c^{(R)}{|}^{-{\gamma }^{(R)}}$$

关联长度临界指数ν

$${\xi }^{(R)}\sim |{\eta }^{(R)}-{\eta }_c^{(R)}{|}^{-{\nu }^{(R)}}$$

序参量临界指数β

$$⟨{\mathcal{O}}^{(R)}⟩\sim |{\eta }^{(R)}-{\eta }_c^{(R)}{|}^{{\beta }^{(R)}}$$

其中${\beta }^{(R)}={\lim }_{{\eta }^{(R)}\to {\eta }_c^{(R)}}\frac{\log |{\mathcal{O}}_n^{(R)}|}{\log |{\eta }^{(R)}-{\eta }_c^{(R)}|}$基于有限$n$截断的序参量${\mathcal{O}}_n^{(R)}=|{\alpha }_n^{(R)}-{\text{临界}}_n|$。

标度律

递归标度律： $${\alpha }^{(R)}+2{\beta }^{(R)}+{\gamma }^{(R)}=2$$ $${\nu }^{(R)}{d}_n^{(R)}=2-{\alpha }^{(R)}$$

其中$d_n^{(R)}=n+1$是有限$n$递归维度（基于当前层级$n$的原子化累积），仅对衰减模式成立，确保无限维初始下通过有限$n$截断的原子化参数化保证有界性和正性。

定义 5.3.1.2 (序参量的递归定义)

定义RH相变的递归序参量：

$${\mathcal{O}}_{\text{RH},n}^{(R)}=\left|{\alpha }_n^{(R)}(f_n)-\frac{{\eta }^{(R)}(n;0)+{\delta }_n}{1+{\eta }^{(R)}(n;0)+{\delta }_n}\right|$$

序参量的性质

1. RH相：${\mathcal{O}}_{\text{RH},n}^{(R)}\to 0$当$n\to \infty$仅衰减模式（完美匹配）
2. 非RH相：${\mathcal{O}}_{\text{RH},n}^{(R)}>0$（偏离动态临界值）
3. 临界行为：在${\eta }_c^{(R)}$附近按幂律标度

自由能

递归自由能： $$F^{(R)}({\eta }^{(R)},n)=-\frac{1}{{\beta }^{(R)}}\log Z_n^{(R)}({\eta }^{(R)},n)$$

其中$Z_n^{(R)}$是有限$n$截断的递归配分函数： $$Z_n^{(R)}({\eta }^{(R)},n)=\sum _{f_n\in {\mathcal{H}}_n^{(R)}}{e}^{-{\beta }^{(R)}{H}^{(R)}(f_n)}$$

$H^{(R)}(f_n)={\sum }_{k=0}^n\frac{|a_k{|}^2}{{\eta }^{(R)}(k;0)}$是递归哈密顿量，确保无限维初始下通过有限$n$子空间求和的原子化参数化保证可计算性和有界性。

定理 5.3.1.2 (重整化群方程)

递归系统的重整化群方程：

$$\frac{d{\eta }^{(R)}(l;m)}{d\ell }={\beta }_{\eta }^{(R)}({\eta }^{(R)})$$

其中$\ell =\log (n+1)$是递归尺度参数（基于层级$n$的原子化尺度），${\beta }_{\eta }^{(R)}$是β函数，仅对有限$n$截断${\eta }_n^{(R)}$定义。

β函数的性质

不动点

$${\beta }_{\eta }^{(R)}({\eta }_{\ast }^{(R)})=0$$

对应系统的标度不变点。

不动点分类

基于有限$n$差分近似： $$\frac{d{\beta }_{\eta }^{(R)}}{d{\eta }^{(R)}}{|}_{{\eta }_{\ast }}\approx \frac{{\beta }_{\eta }^{(R)}({\eta }_{\ast }+\Delta \eta )-{\beta }_{\eta }^{(R)}({\eta }_{\ast }-\Delta \eta )}{2\Delta \eta }$$

其中$\Delta \eta =\frac{1}{n+1}$。

• 红外稳定不动点：上述差分$<0$
• 紫外稳定不动点：上述差分$>0$
• 边际不动点：上述差分$=0$

确保无限维初始下通过有限$n$截断的原子化参数化保证可计算性。

推论 5.3.1.1 (RH作为临界点)

RH临界点是递归系统的特殊临界点：

$$\boxed{\text{RH临界点}=\text{递归系统的二阶相变点}}$$

临界特征

临界标度： 在RH临界点附近：

• 关联长度发散：${\xi }^{(R)}\sim |{\eta }^{(R)}-{\eta }_{\text{RH}}^{(R)}{|}^{-1}$
• 敏感性发散：${\chi }^{(R)}\sim |{\eta }^{(R)}-{\eta }_{\text{RH}}^{(R)}{|}^{-1}$
• 临界慢化：${\tau }^{(R)}\sim {\xi }^{(R)}$

临界涨落： $$⟨(\delta {\mathcal{O}}_{\text{RH}}^{(R)}{)}^2⟩\sim |{\eta }^{(R)}-{\eta }_{\text{RH}}^{(R)}{|}^{-1}$$

定义 5.3.1.3 (相变的动力学)

定义相变过程的动力学演化：

淬火动力学

$$\frac{d{\eta }^{(R)}}{dn}=-{\gamma }_n^{(R)}\frac{\partial F^{(R)}}{\partial {\eta }^{(R)}}$$

其中${\gamma }_n^{(R)}=\frac{{\sum }_{k=0}^n|{\eta }^{(R)}(k;0){|}^2}{n+1}>0$是相对论阻尼参数（基于有限$n$截断的平均调制）。

相变动力学

$$\frac{d{\mathcal{O}}^{(R)}}{dn}=-{\Gamma }_n^{(R)}\frac{\delta F^{(R)}}{\delta {\mathcal{O}}^{(R)}}$$

其中${\Gamma }_n^{(R)}$定义类似${\gamma }_n^{(R)}$。

临界慢化

在临界点附近： $${\tau }_{\text{relax}}^{(R)}(n)\sim |{\eta }_n^{(R)}-{\eta }_{c,n}^{(R)}{|}^{-z_n{\nu }^{(R)}}$$

其中$z_n={\max }_{k=0}^n\left|\frac{\partial \log \tau }{\partial \log |{\eta }^{(R)}-{\eta }_c^{(R)}|}\right|$是动力学临界指数（基于有限$n$截断的导数估计），确保无限维初始下通过有限$n$截断的原子化参数化保证有界性和正性。

说明

递归临界现象的物理意义

1. 相变的递归实现

递归相变理论实现了相变现象的递归版本： $$\text{经典相变}\stackrel{{\eta }^{(R)}(l;m)}{\to }\text{递归相变}$$

递归特色：

• 层级相变：相变在递归层级间传播
• 相对论调制：相变由相对论指标参数化
• 模式依赖：不同标签模式的不同相变特征
• 无终止演化：相变过程的无限递归延续

2. RH问题的相变视角

临界现象为RH提供了统计物理的视角：

• RH=有序相：系统处于高度有序的集中状态
• 非RH=无序相：系统保持动态无序分布
• 临界点：RH成立与否的相变临界点
• 涨落效应：临界点附近的量子涨落

3. 复杂系统的相变设计

递归相变理论为复杂系统设计提供指导：

• 相变控制：通过调节${\eta }^{(R)}$控制相变
• 临界调节：在临界点附近的精细调节
• 鲁棒设计：避免不希望的相变的设计策略
• 自组织：利用相变实现系统自组织

这种临界现象与相变理论为理解递归系统的宏观行为和集体现象提供了统计物理统一的理论框架，揭示了RH问题的统计物理本质。