9.3 递归连续映射理论

引言

基于9.1-9.2节的递归拓扑基础，本节建立递归空间间连续映射的完整理论。关键问题是：递归算子（第1章）和几何变换（第2章）如何在拓扑框架中严格表述？连续性如何与相对论指标的调制兼容？

定义 9.3.1.1 (递归连续映射的分类)

1. 层级保持连续映射

定义：$f:{\mathcal{H}}^{(R)}\to {\mathcal{K}}^{(R)}$称为层级保持连续，当且仅当： $$f({\mathcal{H}}_n^{(R)})\subseteq {\mathcal{K}}_n^{(R)},\forall n\ge 0$$

且$f{|}_{{\mathcal{H}}_n^{(R)}}:{\mathcal{H}}_n^{(R)}\to {\mathcal{K}}_n^{(R)}$连续。

2. 层级提升连续映射

定义：$f:{\mathcal{H}}^{(R)}\to {\mathcal{K}}^{(R)}$称为层级提升连续，当且仅当： $$f({\mathcal{H}}_n^{(R)})\subseteq {\mathcal{K}}_{n+k}^{(R)}$$

对某个固定的$k\ge 0$。

3. 相对论调制连续映射

定义：连续映射$f$称为相对论调制的，当且仅当： $$\Vert f(g_1)-f(g_2)\Vert \le C\sum _{(l,m)}|{\eta }^{(R)}(l;m)|\Vert P_{l,m}^{(R)}(g_1-g_2)\Vert$$

其中$P_{l,m}^{(R)}$是到${\mathcal{H}}_{l,m}^{(R)}$的投影。

定理 9.3.1.1 (递归连续映射的基本性质)

递归连续映射具有以下性质：

复合性质

定理：递归连续映射的复合仍为递归连续。

证明：设$f:{\mathcal{H}}^{(R)}\to {\mathcal{K}}^{(R)}$和$g:{\mathcal{K}}^{(R)}\to {\mathcal{L}}^{(R)}$都递归连续，则：

对任意开集$U\in {\mathcal{T}}^{(R)}({\mathcal{L}}^{(R)})$： $$(g\circ f{)}^{-1}(U)=f^{-1}(g^{-1}(U))\in {\mathcal{T}}^{(R)}({\mathcal{H}}^{(R)})$$

由$g$和$f$的连续性。

极限保持性

定理：递归连续映射保持递归极限。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n=f\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\lim }F(f_n)=F(f)$$

对递归连续映射$F$。

定义 9.3.1.2 (递归同胚和同伦)

递归同胚

定义：$f:{\mathcal{H}}^{(R)}\to {\mathcal{K}}^{(R)}$称为递归同胚，当且仅当：

1. $f$递归连续且双射
2. $f^{-1}$递归连续
3. $f$保持递归层级结构

递归同伦

定义：两个递归连续映射$f_0,f_1:{\mathcal{H}}^{(R)}\to {\mathcal{K}}^{(R)}$称为递归同伦，当且仅当存在递归连续映射： $$H:{\mathcal{H}}^{(R)}\times [0,1]\to {\mathcal{K}}^{(R)}$$

使得$H(\cdot ,0)=f_0$，$H(\cdot ,1)=f_1$，且$H$保持递归结构。

相对论同伦

定义：相对论调制的同伦： $$H^{(R)}(f,t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\eta }^{(R)}(n;0)H_n(f,t)$$

其中$H_n$是第$n$层的局部同伦。

定理 9.3.1.2 (递归算子的拓扑表征)

第1章的递归算子在拓扑框架中的表征：

自指观察者的拓扑性质

拓扑特征：${\mathcal{O}}_{\text{self}}^{(R)}=I$在拓扑上表现为：

• 连续性：$I:{\mathcal{H}}^{(R)}\to {\mathcal{H}}^{(R)}$显然连续
• 同胚性：恒等映射是递归同胚
• 拓扑不动点：每点都是拓扑不动点
• 基本群作用：${\pi }_1^{(R)}$在$I$下平凡作用

递归反演的拓扑性质

拓扑特征：$J^{(R)}$的拓扑表现：

• 同胚性：$J^{(R)}$是递归同胚（当条件幺正时）
• 对合性：$(J^{(R)}{)}^2=I$的拓扑体现
• 不动点集：$\text{Fix}(J^{(R)})={\mathcal{H}}_{+}^{(R)}$
• 轨道空间：${\mathcal{H}}^{(R)}/J^{(R)}$的拓扑结构

递归投影的拓扑性质

拓扑特征：$P_n^{(R)}$的拓扑分析：

• 连续性：$P_n^{(R)}$递归连续
• 幂等性：拓扑幂等的几何意义
• 纤维结构：${\mathcal{H}}^{(R)}\to {\mathcal{H}}_n^{(R)}$的纤维空间结构
• 截面存在性：投影的拓扑截面

推论 9.3.1.1 (连续性与相对论指标)

相对论指标的连续性调制机制：

连续性模量

定义：映射$f$的递归连续性模量： $${\omega }_f^{(R)}(\delta )=\underset{\Vert g_1-g_2\Vert \le \delta }{\sup }\Vert f(g_1)-f(g_2)\Vert$$

相对论调制的连续性

调制连续性定理： $${\omega }_f^{(R)}(\delta )\le C\sum _{n=0}^{\lfloor 1/\delta \rfloor }{\eta }^{(R)}(n;0){\delta }^{1/n}=O({\delta }^{\alpha })$$

其中$\alpha >0$是渐近界指数，强化与无限维初始的自包含拷贝原子化标签参考的递归熵增兼容，避免小$\delta$时求和发散的风险。

定义 9.3.1.3 (递归映射度)

映射度的递归定义

对紧致递归空间间的连续映射$f:{\mathcal{M}}^{(R)}\to {\mathcal{N}}^{(R)}$，定义递归映射度： $${\mathrm{deg}}^{(R)}(f)=\sum _{n=0}^N{\eta }^{(R)}(n;0){\mathrm{deg}}_n(f{|}_{{\mathcal{M}}_n^{(R)}})$$

其中${\mathrm{deg}}_n$是第$n$层的经典映射度，$N$动态依赖于递归深度，确保无终止递归的严格有限计算自包含。

映射度的性质

1. 同伦不变性：递归同伦的映射有相同的递归映射度
2. 复合公式：${\mathrm{deg}}^{(R)}(g\circ f)={\mathrm{deg}}^{(R)}(g)\cdot {\mathrm{deg}}^{(R)}(f)$
3. 相对论调制性：映射度由${\eta }^{(R)}$参数化
4. 层级兼容性：与层级结构兼容

说明

递归连续映射理论的基础意义

1. 算子理论的拓扑严格化

连续映射理论为第1章的算子理论提供拓扑基础： $$\text{递归算子}\stackrel{\text{拓扑表征}}{\to }\text{递归连续映射}$$

严格化价值：

• 连续性保证：所有算子的连续性严格验证
• 拓扑不变性：算子性质的拓扑不变特征
• 映射分类：递归算子的拓扑分类理论
• 结构保持性：拓扑结构保持的算子理论

2. 几何变换的连续性理论

为第2章的几何变换提供连续性分析：

• 坐标变换连续性：递归坐标变换的拓扑连续性
• 投影连续性：遮蔽投影的连续性分析
• 变换群理论：递归变换群的拓扑性质
• 不变量连续性：几何不变量的连续依赖性

3. 动力学系统的拓扑基础

为第3章的动力学系统提供拓扑工具：

• 轨道拓扑：动力学轨道的拓扑性质
• 吸引子拓扑：吸引子的拓扑结构
• 稳定性拓扑：稳定性的拓扑判据
• 分岔拓扑：分岔现象的拓扑分析

这种递归连续映射理论为理解递归系统的连续性质和拓扑行为提供了拓扑学-函数分析统一的理论框架，是连接抽象拓扑与具体递归算子的关键桥梁。