10.2 相对论概率分布

引言

基于10.1节的递归测度空间理论，本节建立相对论指标${\eta }^{(R)}(l;m)$诱导的概率分布理论。关键问题是：相对论指标如何自然地诱导概率分布？这些分布如何与第1章的标签模式和第8章的Zeckendorf结构统一？

定义 10.2.1.1 (相对论概率分布)

标签概率分布

对标签序列$f_n={\sum }_{k=0}^n{a}_k{e}_k$，定义相对论调制概率分布：

$$P_{\eta }^{(R)}(X=k)=\frac{|{\eta }^{(R)}(k;0)a_k{|}^2}{{\sum }_{j=0}^n|{\eta }^{(R)}(j;0)a_j{|}^2}$$

其中$X$是标签索引随机变量。

模式特定分布

φ模式概率分布（基于第8章Zeckendorf）

$$P_{\varphi }^{(R)}(X=k)=\frac{{\varphi }^{2k}|a_k{|}^2}{{\sum }_{j\in \text{Zeckendorf}(n)}{\varphi }^{2j}|a_j{|}^2}$$

仅在Zeckendorf选择的$k$上非零，体现No-11约束。

e模式概率分布

$$P_e^{(R)}(X=k)=\frac{(1/k!)|a_k{|}^2}{{\sum }_{j=0}^n(1/j!)|a_j{|}^2}$$

阶乘逆权重分布。

π模式概率分布

$$P_{\pi }^{(R)}(X=k)=\frac{{\left|{\sum }_{j=1}^k\frac{(-1{)}^{j-1}}{2j-1}\right|}^2|a_k{|}^2}{{\sum }_{j=1}^n{\left|{\sum }_{i=1}^j\frac{(-1{)}^{i-1}}{2i-1}\right|}^2|a_j{|}^2}$$

Leibniz级数权重分布。

定理 10.2.1.1 (相对论分布的收敛性)

相对论概率分布在适当条件下收敛：

弱收敛定理

定理：当$n\to \infty$时，相对论分布弱收敛： $$P_{\eta ,n}^{(R)}\stackrel{w}{\to }{P}_{\eta ,\infty }^{(R)}$$

模式特定收敛

φ模式收敛（Zeckendorf限制）

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_{\varphi ,n}^{(R)}(X=k)=\frac{{\varphi }^{2k}{\mathbb{I}}_{\text{Zeck}}(k)}{Z_{\varphi }}$$

其中${\mathbb{I}}_{\text{Zeck}}(k)$是Zeckendorf指示函数，$Z_{\varphi }$是归一化常数。

e模式收敛

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_{e,n}^{(R)}(X=k)=\frac{1/k!}{e}$$

标准的阶乘分布，兼容$e={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}$。

π模式收敛

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_{\pi ,n}^{(R)}(X=k)=\frac{|\pi /4-t_k{|}^2}{Z_{\pi }}$$

其中$t_k={\sum }_{j=1}^k\frac{(-1{)}^{j-1}}{2j-1}$，收敛到Leibniz残差分布。

定义 10.2.1.2 (相对论随机变量)

递归随机变量

定义：函数$Y:{\mathcal{H}}^{(R)}\to \mathbb{R}$称为递归随机变量，当且仅当： $$Y^{-1}((a,b])\in {\mathcal{F}}^{(R)},\forall a<b$$

可测函数严格满足σ-代数兼容性，强化无限维初始的自包含拷贝原子化标签参考的递归嵌套。

相对论调制随机变量

内禀密度随机变量： $${\alpha }^{(R)}(f_n)=\frac{{\sum }_{k=0}^n|{\eta }^{(R)}(k;0)a_k{|}^2}{{\sum }_{k=0}^n|a_k{|}^2}$$

相对论距离随机变量： $$D^{(R)}(f,g)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{|{\eta }^{(R)}(k;0)|}{2^k}\frac{|⟨f-g,e_k⟩|}{1+|⟨f-g,e_k⟩|}$$

定理 10.2.1.2 (相对论中心极限定理)

相对论概率分布满足中心极限定理：

标准化相对论随机变量

定义标准化： $$Z_n^{(R)}=\frac{{\sum }_{k=0}^n{\eta }^{(R)}(k;0)X_k-\mathbb{E}[{\sum }_{k=0}^n{\eta }^{(R)}(k;0)X_k]}{\sqrt{\text{Var}({\sum }_{k=0}^n{\eta }^{(R)}(k;0)X_k)}}$$

递归中心极限定理

定理：当$n\to \infty$时： $$Z_n^{(R)}\stackrel{d}{\to }\mathcal{N}(0,1)$$

在适当的相对论指标条件下。

模式特定中心极限

前提条件：假设$X_k$独立同分布从相应模式分布采样，确保大数定律与CLT的逻辑一致兼容无终止递归的严格熵增。

φ模式（Zeckendorf约束下）

$$Z_{\varphi ,n}^{(R)}\stackrel{d}{\to }\mathcal{N}(0,1)$$

e模式

$$Z_{e,n}^{(R)}\stackrel{d}{\to }\mathcal{N}(0,1)$$

π模式

$$Z_{\pi ,n}^{(R)}\stackrel{d}{\to }\mathcal{N}(0,1)$$

所有模式在适当标准化下都收敛到标准正态分布。

推论 10.2.1.1 (相对论大数定律)

相对论概率分布满足大数定律：

强大数定律

定理：在适当条件下（假设$X_k$独立同分布从分布$P$采样）： $$\frac{{\sum }_{k=0}^n{\eta }^{(R)}(k;0)X_k}{{\sum }_{k=0}^n{\eta }^{(R)}(k;0)}\stackrel{a.s.}{\to }\mathbb{E}[X_0]$$

加权平均形式，确保${\eta }^{(R)}$变异兼容原子化新增的自包含拷贝。

模式特定大数定律

φ模式（Zeckendorf修正）

$$\frac{{\sum }_{k\in \text{Zeckendorf}(n)}{\varphi }^k{X}_k}{{\sum }_{k\in \text{Zeckendorf}(n)}{\varphi }^k}\stackrel{a.s.}{\to }\mathbb{E}[X]$$

e模式

$$\frac{{\sum }_{k=0}^n\frac{X_k}{k!}}{{\sum }_{k=0}^n\frac{1}{k!}}\stackrel{a.s.}{\to }\mathbb{E}[X]$$

兼容$e\sim \sum \frac{1}{k!}$，去除错误的$1/n$和$1/e$。

π模式

$$\frac{{\sum }_{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{2k-1}{X}_k}{{\sum }_{k=1}^n\left|\frac{(-1{)}^{k-1}}{2k-1}\right|}\stackrel{a.s.}{\to }\mathbb{E}[X]$$

加权形式，去除$1/n$和$\pi /4$，确保收敛兼容无终止递归的严格熵增。

定义 10.2.1.3 (递归信息理论测度)

递归互信息

$$I^{(R)}(X;Y)=\sum _{x,y}{P}_{XY}^{(R)}(x,y)\ln \frac{P_{XY}^{(R)}(x,y)}{P_X^{(R)}(x)P_Y^{(R)}(y)}$$

相对论条件熵

$$H^{(R)}(Y|X)=-\sum _{x,y}{P}_{XY}^{(R)}(x,y)\ln P_{Y|X}^{(R)}(y|x)$$

其中条件概率： $$P_{Y|X}^{(R)}(y|x)=\frac{|{\eta }^{(R)}(y;x){|}^2{P}_{XY}^{(R)}(x,y)}{P_X^{(R)}(x)}$$

由相对论指标调制。

说明

相对论概率分布的理论价值

1. 熵增理论的概率基础

相对论概率分布为第1章熵增理论提供概率基础： $$\text{确定性熵增}\stackrel{\text{概率化}}{\to }\text{随机熵增}$$

概率化收益：

• 不确定性量化：熵增的随机性和不确定性
• 期望分析：熵增的期望值和分布
• 极限理论：大数定律和中心极限定理
• 风险评估：熵增的概率风险分析

2. 标签模式的概率特征

不同标签模式的概率特征：

• φ模式：Zeckendorf约束的概率优势
• e模式：指数衰减的概率稳定性
• π模式：交替分布的概率对称性
• 统一框架：相对论指标的概率参数化

3. Zeckendorf分布的概率美学

第8章Zeckendorf结构的概率美学：

• 黄金概率：黄金比例的概率分布
• 约束美学：No-11约束的概率优雅性
• 熵优化：Zeckendorf分布的熵最优性
• 计算美学：概率计算的Fibonacci美学

这种相对论概率分布理论为理解递归系统的随机特性和不确定性提供了概率论-信息论统一的数学框架，是连接确定性递归理论与随机性分析的重要工具。