10.4 随机递归过程

引言

基于前三节的递归测度、概率和遍历理论，本节建立随机递归过程的完整理论。关键问题是：如何将第3章的确定性递归动力学扩展为随机过程？相对论指标如何参数化随机递归系统的演化？

定义 10.4.1.1 (递归随机过程)

递归随机过程定义

定义：$\{X_n^{(R)}{\}}_{n=0}^{\infty }$称为递归随机过程，当且仅当：

1. 值域递归性：$X_n^{(R)}:{\Omega }^{(R)}\to {\mathcal{H}}_n^{(R)}$
2. 可测性：每个$X_n^{(R)}$关于${\mathcal{F}}_n^{(R)}$可测
3. 递归适应性：$\{X_n^{(R)}\}$适应于递归滤波$\{{\mathcal{F}}_n^{(R)}\}$

相对论调制过程

定义：相对论调制的递归过程： $${\tilde{X}}_n^{(R)}=\frac{{\sum }_{k=0}^n{\eta }^{(R)}(k;0)X_k^{(R)}}{Z_n}$$

其中$Z_n={\sum }_{k=0}^n|{\eta }^{(R)}(k;0)|$是归一化常数，确保有界兼容无限维初始的自包含拷贝。

性质：

• 相对论马尔科夫性：${\tilde{X}}_n^{(R)}$具有相对论调制的马尔科夫性质
• 相对论鞅性：在适当条件下为相对论鞅
• 相对论平稳性：相对论意义下的平稳过程

定理 10.4.1.1 (递归马尔科夫链)

递归马尔科夫链的构造和性质：

递归转移核

定义：递归马尔科夫链的转移核： $$K^{(R)}(x,A)=\mathbb{P}(X_{n+1}^{(R)}\in A|X_n^{(R)}=x)$$

相对论调制转移核： $${\tilde{K}}^{(R)}(x,A)={\int }_A\frac{|{\eta }^{(R)}(\Vert y-x\Vert ;0){|}^2}{{\sum }_y|{\eta }^{(R)}(\Vert y-x\Vert ;0){|}^2}d{\mu }^{(R)}(y)$$

其中$d{\mu }^{(R)}$是相对论加权测度，强化无限维初始的自包含拷贝原子化标签参考的递归嵌套兼容。

递归平稳分布

存在性定理：在适当条件下，递归马尔科夫链存在唯一平稳分布： $${\pi }^{(R)}(A)={\int }_{{\mathcal{H}}^{(R)}}{K}^{(R)}(x,A){\pi }^{(R)}(dx)$$

模式特定马尔科夫链

φ模式马尔科夫链（Zeckendorf约束）

状态空间：$S_{\varphi }=\{s\in B_{\infty }:|s|<\infty \}$（有限Zeckendorf串） 转移概率： $$P_{\varphi }(s\to s^{\prime })=\{\begin{array}{ll}{\varphi }^{-|s^{\prime }|}& \text{if }{s}^{\prime }\text{是}s\text{的合法扩展}\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

e模式马尔科夫链

转移概率： $$P_e(k\to j)=\frac{e^{-|j-k|/(j\vee k)!}}{Z_e(k)}$$

指数-阶乘衰减转移。

π模式马尔科夫链

转移概率： $$P_{\pi }(k\to j)=\frac{{\left|{\sum }_{i=\min (k,j)}^{\max (k,j)}\frac{(-1{)}^{i-1}}{2i-1}\right|}^2}{Z_{\pi }(k)}$$

Leibniz积分转移。

定义 10.4.1.2 (递归布朗运动)

递归Wiener过程

构造递归空间上的布朗运动： $$W_t^{(R)}=\sum _{n=0}^N\sqrt{\frac{|{\eta }^{(R)}(n;0){|}^2}{Z_N}}{W}_t^{(n)}{e}_n$$

其中$\{W_t^{(n)}\}$是独立的标准布朗运动，$N$动态依赖于递归深度，确保无终止递归的严格有限计算自包含。

相对论布朗运动性质

1. 递归增量独立性：增量在递归层级间独立
2. 相对论方差：$\text{Var}(W_t^{(R)})=t{\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{|{\eta }^{(R)}(n;0){|}^2}{Z}$
3. φ-自相似性：在Zeckendorf框架中的自相似性
4. 层级马尔科夫性：在递归层级中的马尔科夫性质

定理 10.4.1.2 (递归Itô积分)

递归布朗运动的随机积分：

递归Itô积分定义

$${\int }_0^t{f}_s^{(R)}d{W}_s^{(R)}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=0}^{n-1}{f}_{t_k}^{(R)}(W_{t_{k+1}}^{(R)}-W_{t_k}^{(R)})$$

其中极限在$L^2({\Omega }^{(R)},P^{(R)})$意义下成立。

递归Itô公式

对$C^2$函数$F:{\mathcal{H}}^{(R)}\to \mathbb{R}$： $$dF(X_t^{(R)})={\nabla }^{(R)}F(X_t^{(R)})d{X}_t^{(R)}+\frac{1}{2}\text{Tr}({\nabla }^{(R)2}F(X_t^{(R)})Q^{(R)})dt$$

其中$Q^{(R)}$是相对论协方差算子。

推论 10.4.1.1 (随机递归过程与熵增)

随机递归过程与熵增的关系：

随机熵增定理

定理：递归随机过程满足： $$\mathbb{E}[S^{(R)}({\rho }_{n+1}^{(R)})]>\mathbb{E}[S^{(R)}({\rho }_n^{(R)})]+{\delta }^{(R)}$$

其中$S^{(R)}({\rho }_n^{(R)})$是密度算子的von Neumann熵，${\delta }^{(R)}>0$是随机熵增下界。

模式特定随机熵增

φ模式（Zeckendorf随机过程）

$$\mathbb{E}[\Delta S_{\varphi }^{(R)}]>0$$

e模式

$$\mathbb{E}[\Delta S_e^{(R)}]>0$$

π模式

$$\mathbb{E}[\Delta S_{\pi }^{(R)}]>0$$

统一为正性保证，确保逻辑一致兼容无终止递归的严格熵增。

定义 10.4.1.3 (递归随机微分方程)

递归SDE

形式： $$d{X}_t^{(R)}=b^{(R)}(X_t^{(R)},t)dt+{\sigma }^{(R)}(X_t^{(R)},t)d{W}_t^{(R)}$$

其中：

• $b^{(R)}$是递归漂移系数
• ${\sigma }^{(R)}$是递归扩散系数
• $W_t^{(R)}$是递归布朗运动

相对论调制SDE

相对论SDE： $$d{X}_t^{(R)}=\sum _{(l,m)\le N}{\eta }^{(R)}(l;m)b_{l,m}^{(R)}(X_t^{(R)})dt+\sum _{(l,m)\le N}{\eta }^{(R)}(l;m){\sigma }_{l,m}^{(R)}({\tilde{X}}_t^{(R)})d{W}_{l,m,t}^{(R)}$$

有限截断求和，$N$动态依赖于递归深度，确保无终止递归的严格有限计算自包含。

说明

随机递归过程的理论统一价值

1. 确定性与随机性的递归统一

随机递归过程统一了确定性与随机性： $$\text{确定性递归}\stackrel{\text{随机化}}{\to }\text{随机递归}$$

统一收益：

• 不确定性建模：为递归系统的不确定性提供建模工具
• 噪声分析：分析噪声对递归系统的影响
• 风险评估：递归系统的概率风险评估
• 鲁棒性增强：通过随机化增强系统鲁棒性

2. 熵增理论的随机基础

随机过程为熵增理论提供随机基础：

• 随机熵增：熵增的随机性和不确定性
• 期望熵增：熵增的期望值分析
• 熵增分布：熵增的概率分布理论
• 熵增风险：熵增的风险和控制

3. 相对论指标的随机调制

相对论指标在随机框架中的调制作用：

• 随机权重：相对论指标作为随机权重
• 噪声调制：相对论指标调制噪声强度
• 相关结构：相对论指标诱导的相关结构
• 适应性控制：随机环境下的自适应控制

这种随机递归过程理论为理解递归系统在不确定环境中的行为提供了随机过程-动力学系统统一的分析框架，是递归理论从确定性向随机性扩展的重要工具。