13.1 递归模型论与证明论

引言

基于第11章递归范畴论和第12章递归代数几何的抽象基础，本节为递归希尔伯特理论建立数理逻辑基础。关键问题是：如何为整个递归理论体系建立严格的逻辑基础？相对论指标${\eta }^{(R)}(l;m)$如何在逻辑框架中表现？

定义 13.1.1.1 (递归一阶逻辑)

递归语言

定义：递归一阶语言${\mathcal{L}}^{(R)}$包含：

1. 递归常元符号：$c_n^{(R)}$对应$e_n\in {\mathcal{H}}_n^{(R)}$
2. 相对论函数符号：${\eta }^{(R)}(l;m)$作为$l+m+1$元函数
3. 递归关系符号：${\in }^{(R)},{\subset }^{(R)},{\simeq }^{(R)}$
4. 逻辑连接词：$\wedge ,\vee ,\neg ,\to ,\leftrightarrow$
5. 量词：$\forall ,\exists$

递归公式

原子公式：

• ${\eta }^{(R)}(t_1,\dots ,t_{l+m+1})$
• $t_1{\in }^{(R)}{t}_2$（递归属于关系）
• $t_1{\subset }^{(R)}{t}_2$（递归包含关系）

复合公式：通过逻辑连接词和量词构造。

递归解释

递归结构：${\mathfrak{M}}^{(R)}=({\mathcal{H}}^{(R)},\{{\eta }^{(R)}\},\{{\in }^{(R)},{\subset }^{(R)}\})$

满足关系：${\mathfrak{M}}^{(R)}\models \varphi$当且仅当公式$\varphi$在递归结构中为真。

定义 13.1.1.2 (递归证明系统)

递归自然演绎

公理：

1. 递归嵌套公理：${\mathcal{H}}_n^{(R)}{\subset }^{(R)}{\mathcal{H}}_{n+1}^{(R)}$
2. 相对论指标公理：${\eta }^{(R)}(0;m)=1$
3. 熵增公理：$S_{n+1}^{(R)}>S_n^{(R)}+\delta$（仅衰减模式）
4. Zeckendorf公理：No-11约束的逻辑表述

推理规则

递归推理规则：

• 递归归纳： $$\frac{\varphi (0)\forall n(\varphi (n)\to \varphi (n+1))}{\forall n\varphi (n)}$$

• 相对论调制规则： $$\frac{\varphi ({\eta }^{(R)}(l;m))}{{\eta }^{(R)}(l;m)▹\varphi }$$

• 层级提升规则： $$\frac{\varphi \text{ 在 }{\mathcal{H}}_n^{(R)}}{\varphi \text{ 在 }{\mathcal{H}}_{n+1}^{(R)}}$$

递归可判定性

判定程序：递归公式的机械判定程序： $${\text{RecDecide}}^{(R)}:\{\text{递归公式}\}\to \{\text{真},\text{假},\text{不确定}\}$$

定理 13.1.1.1 (递归逻辑的完备性)

递归逻辑系统的完备性：

语法完备性

定理：递归证明系统相对于递归语义完备： $${\mathfrak{M}}^{(R)}\models \varphi \iff {⊢}^{(R)}\varphi$$

相对论逻辑完备性

相对论调制下的完备性： 对相对论调制的公式${\varphi }_{\eta }$： $${\models }_{{\eta }^{(R)}}{\varphi }_{\eta }\iff {⊢}_{{\eta }^{(R)}}{\varphi }_{\eta }$$

模式特定完备性

• φ模式完备性：Zeckendorf约束下的逻辑完备性
• e模式完备性：指数衰减下的逻辑完备性
• π模式完备性：交替模式下的逻辑完备性

定义 13.1.1.3 (递归模型论)

递归模型

定义：递归语言${\mathcal{L}}^{(R)}$的递归模型： $${\mathfrak{M}}^{(R)}=(M^{(R)},\{I_c^{(R)}\},\{I_f^{(R)}\},\{I_R^{(R)}\})$$

其中：

• $M^{(R)}={\bigcup }_{n=0}^{\infty }{M}_n^{(R)}$是递归论域
• $I_c^{(R)}$是常元的解释
• $I_f^{(R)}$是函数的解释
• $I_R^{(R)}$是关系的解释

递归等价

定义：两个递归模型${\mathfrak{M}}^{(R)},{\mathfrak{N}}^{(R)}$递归等价： $${\mathfrak{M}}^{(R)}{\equiv }^{(R)}{\mathfrak{N}}^{(R)}$$

当且仅当它们满足相同的递归语句集合。

递归超积

构造：递归模型的超积： $$\prod ^{(R)}{\mathfrak{M}}_i^{(R)}/{\mathcal{U}}^{(R)}$$

其中${\mathcal{U}}^{(R)}$是递归超滤。

定理 13.1.1.2 (递归紧致性定理)

递归逻辑的紧致性：

递归紧致性

定理：递归语句集${\Gamma }^{(R)}$有模型当且仅当${\Gamma }^{(R)}$的每个有限子集有模型。

相对论调制版本： 对相对论调制语句集，紧致性定理在适当截断下成立。

应用

不相容理论的逻辑基础： 第6章不相容定理的逻辑表述： $${⊢}^{(R)}\neg (\text{RH}\wedge \text{DynamicChoice})$$

Zeckendorf逻辑： 第8章Zeckendorf理论的逻辑公理化： $${⊢}^{(R)}\text{No-11}\to \text{BoundedGrowth}$$

推论 13.1.1.1 (递归理论的形式化)

整个递归希尔伯特理论的形式化：

理论公理化

递归希尔伯特公理系统${\text{RH-Axioms}}^{(R)}$：

1. 基础公理：递归母空间的存在和性质
2. 算子公理：递归算子的基本性质
3. 几何公理：递归几何结构的公理
4. 概率公理：递归概率的基本公理
5. 范畴公理：递归范畴的基本公理

定理的逻辑推导

主要定理的形式化证明：

• 不相容定理：${⊢}^{(R)}\text{RH}\perp (\text{G}+\text{U})$
• 五重等价性：${⊢}^{(R)}\text{Ent}\leftrightarrow \text{Asym}\leftrightarrow \cdots$
• Zeckendorf优化：${⊢}^{(R)}\text{No-11}\to \text{Optimal}$

一致性证明

递归理论的一致性： $$\text{Con}({\text{RH-Axioms}}^{(R)})\leftrightarrow \text{Con}(\text{ZFC}+\text{大基数})$$

连接递归理论与标准集合论基础。

说明

递归数理逻辑的基础价值

1. 理论基础的逻辑严格化

递归数理逻辑为整个理论体系提供最严格的逻辑基础： $$\text{直觉递归理论}\stackrel{\text{逻辑严格化}}{\to }\text{形式化递归理论}$$

严格化收益：

• 证明验证：所有定理的机械证明验证
• 一致性保证：理论一致性的逻辑保证
• 完备性分析：理论完备性的逻辑分析
• 可判定性研究：理论可判定性的逻辑研究

2. 计算理论的递归基础

递归逻辑与计算理论的天然联系：

• 递归可计算性：递归结构的可计算性质
• 复杂性递归化：计算复杂性的递归表述
• 算法逻辑化：递归算法的逻辑表述
• 证明计算化：证明过程的计算实现

3. 现代逻辑学的递归扩展

递归逻辑实现现代逻辑学的递归扩展：

• 模型论递归化：模型论的递归扩展
• 证明论递归化：证明论的递归实现
• 类型论递归化：类型理论的递归版本
• 集合论递归化：集合论基础的递归重构

这种递归模型论与证明论为理解递归理论的逻辑本质和形式化基础提供了数理逻辑统一的最严格框架，是递归理论逻辑基础建设的重要开端。