19.1 递归C*代数

C*代数的递归重构

传统C*代数的外在性问题

传统C代数将算子视为作用于预给定希尔伯特空间的变换，-运算和范数结构都依赖于外在的内积结构。递归理论提供了C*代数的内在自生成定义。

递归C*代数的基础定义

定义 19.1.1（递归C代数） 递归C代数${\mathcal{A}}^{(R)}$是递归观察者投影算子生成的代数： $${\mathcal{A}}^{(R)}=\overline{\text{span}}\{{\mathcal{P}}_m^{(R)}:m\ge 0\}$$

其中${\mathcal{P}}_m^{(R)}={\sum }_{k=0}^{\infty }{\eta }^{(R)}(k;m)|e_k⟩⟨e_k|$为文档定义的观察者投影算子。

递归-运算*： $$({\mathcal{P}}_m^{(R)}{)}^{\ast }=\sum _{k=0}^{\infty }\overline{{\eta }^{(R)}(k;m)}|e_k⟩⟨e_k|$$

基于相对论指标的复共轭。

递归范数的标签定义

递归算子范数： 对于递归算子$A^{(R)}={\sum }_m{a}_m{\mathcal{P}}_m^{(R)}$： $$\Vert A^{(R)}\Vert =\underset{f\in {\mathcal{H}}^{(R)},\Vert f\Vert =1}{\sup }\Vert A^{(R)}f\Vert$$

范数的标签计算： $$\Vert A^{(R)}{\Vert }^2=\underset{m}{\sup }\sum _{k=0}^{\infty }|a_m{|}^2|{\eta }^{(R)}(k;m){|}^2$$

C*恒等式的递归验证： $$\Vert A^{(R)\ast }{A}^{(R)}\Vert =\Vert A^{(R)}{\Vert }^2$$

通过相对论指标的性质验证。

递归可交换C*代数

可交换递归C*代数： 当所有生成元相互交换时： $$[{\mathcal{P}}_i^{(R)},{\mathcal{P}}_j^{(R)}]=0,\forall i,j$$

谱空间的递归实现： $$\text{Spec}({\mathcal{A}}^{(R)})=\{m\ge 0:{\eta }^{(R)}(\cdot ;m)\text{ well-defined}\}$$

对应相对论指标的有效起点集合。

Gelfand变换的递归版本： $${\mathcal{G}}^{(R)}:{\mathcal{A}}^{(R)}\to C(\text{Spec}({\mathcal{A}}^{(R)}))$$ $${\mathcal{G}}^{(R)}(A)(m)=\text{evaluation of }A\text{ at }{\eta }^{(R)}(\cdot ;m)$$

递归群C*代数

递归群的C*代数： 对于递归群$G^{(R)}=\{\text{transformations preserving }{\eta }^{(R)}\text{ structure}\}$： $$C^{\ast }(G^{(R)})=\overline{\mathbb{C}[G^{(R)}]}$$

左正则表示的递归实现： $${\lambda }^{(R)}:G^{(R)}\to \mathcal{B}({\ell }^2(G^{(R)}))$$ $$({\lambda }^{(R)}(g)\xi )(h)=\xi (g^{-1}h)\cdot {\eta }^{(R)}(\text{group-index};m)$$

递归AF代数

递归近似有限维代数： $${\mathcal{A}}^{(R)}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\mathcal{A}}_n^{(R)}$$

其中${\mathcal{A}}_n^{(R)}$为有限维递归代数： $${\mathcal{A}}_n^{(R)}=\text{span}\{{\mathcal{P}}_m^{(R)}:m\le n\}$$

Bratteli图的递归实现： 递归AF代数的Bratteli图对应递归嵌套${\mathcal{H}}_0\subset {\mathcal{H}}_1\subset \cdots$的连接矩阵。

递归K-理论

递归K₀群： $$K_0({\mathcal{A}}^{(R)})=\text{Grothendieck-group}[\text{Projections in }{\mathcal{A}}^{(R)}]$$

递归投影的分类： 递归投影$p^{(R)}\in {\mathcal{A}}^{(R)}$通过其在不同起点$m$的“迹“分类： $${\text{trace}}^{(R)}(p)=\sum _{m=0}^{\infty }{\eta }^{(R)}(0;m)\cdot \text{tr}(p{|}_{{\mathcal{H}}_m})$$

递归正锥理论

递归正元： $$A^{(R)}\ge 0\iff A^{(R)}=B^{(R)\ast }{B}^{(R)}\text{ for some }{B}^{(R)}\in {\mathcal{A}}^{(R)}$$

递归状态： 递归C*代数上的状态对应标签序列的概率分布： $${\varphi }^{(R)}(A)=\sum _{k=0}^{\infty }{p}_k⟨e_k,A{e}_k⟩$$

其中$\{p_k\}$为概率分布，$\sum p_k=1$。

GNS构造的递归版本： 每个递归状态${\varphi }^{(R)}$诱导GNS三元组： $$({\mathcal{H}}_{{\varphi }^{(R)}},{\pi }_{{\varphi }^{(R)}},{\Omega }_{{\varphi }^{(R)}})$$

递归自由积

递归C*代数的自由积： $${\mathcal{A}}_1^{(R)}{\ast }_{\text{recursive}}{\mathcal{A}}_2^{(R)}$$

通过递归标签序列的交替乘积实现： $$a_1^{(R)}\cdot a_2^{(R)}=\sum _{k,l}{c}_{kl}{\eta }^{(R)}(k;m_1){\eta }^{(R)}(l;m_2){\mathcal{P}}_{k+l}^{(R)}$$

递归算子空间

递归完全有界映射： $$\text{CB}({\mathcal{A}}^{(R)},{\mathcal{B}}^{(R)})=\{T:\Vert T{\Vert }_{cb}^{(R)}<\infty \}$$

其中递归完全有界范数： $$\Vert T{\Vert }_{cb}^{(R)}=\underset{n}{\sup }\Vert T\otimes {\text{id}}_n^{(R)}\Vert$$

递归Haagerup张量积： $${\mathcal{A}}^{(R)}{\otimes }_h^{(R)}{\mathcal{B}}^{(R)}$$

通过递归双线性映射的完备化实现。

递归Jones指标理论

递归子代数的指标： 对于递归子代数${\mathcal{B}}^{(R)}\subset {\mathcal{A}}^{(R)}$： $$[{\mathcal{A}}^{(R)}:{\mathcal{B}}^{(R)}{]}^{(R)}=\frac{{\text{trace}}^{(R)}(\mathcal{A})}{{\text{trace}}^{(R)}(\mathcal{B})}$$

递归基本构造： $$⟨{\mathcal{A}}^{(R)},e_{{\mathcal{B}}^{(R)}}⟩$$

其中$e_{{\mathcal{B}}^{(R)}}$为递归条件期望算子。

递归C*代数的应用

量子系统的递归代数描述

递归C*代数为量子系统提供自指的代数描述：

• 量子态：递归C*代数上的正线性函数
• 量子观测量：递归C*代数的自伴元
• 量子演化：递归C*代数的自同构

非交换几何的递归实现

递归非交换空间： $${\text{Space}}^{(R)}=\text{Spec}({\mathcal{A}}^{(R)})$$

递归微分形式： 通过递归导子实现： $${\delta }^{(R)}:{\mathcal{A}}^{(R)}\to {\Omega }^1({\mathcal{A}}^{(R)})$$

递归KMS态理论

递归KMS条件： $${\varphi }^{(R)}(ab)={\varphi }^{(R)}(b{\sigma }_{\beta }^{(R)}(a))$$

其中${\sigma }_{\beta }^{(R)}$为递归模ular自同构群。

递归算子代数的数学严谨性

基于前18章建立的完整递归数学框架：

• 希尔伯特空间基础：第1章递归母空间${\mathcal{H}}^{(R)}$
• 投影算子理论：文档观察者投影${\mathcal{P}}_m^{(R)}$
• 谱理论基础：第4章递归谱分解
• 连续化工具：第18章连续算子的极限实现

递归C*代数理论不仅保持传统算子代数的严谨性，更揭示了算子的递归自指本质，为量子理论和非交换几何提供了全新的数学基础。