22.1 递归遍历理论与不变测度

遍历理论的递归重新构建

传统遍历理论的测度依赖

传统遍历理论建立在外在给定的概率测度上，通过测度保持变换研究系统的长期行为。递归理论提供了基于内在递归结构的遍历性定义。

递归动力系统的基础定义

定义 22.1.1（递归动力系统） 递归动力系统是递归希尔伯特母空间上的自映射： $$T^{(R)}:{\mathcal{H}}^{(R)}\to {\mathcal{H}}^{(R)}$$

满足递归自指性质： $$T^{(R)}(T^{(R)}(f))=T^{(R)}(f)\text{ for some }f\in {\mathcal{H}}^{(R)}$$

递归动力系统的标签表示： $$T^{(R)}(f_n)=\sum _{k=0}^{n+1}{b}_k{e}_k$$

其中$b_k$通过递归操作符$R$从$\{a_j\}$生成： $$b_k=R(a_{k-1},a_{k-2})+g(F_k){\delta }_{k,n+1}$$

递归不变测度

定义 22.1.2（递归不变测度） 测度${\mu }^{(R)}$是$T^{(R)}$-不变的，如果： $${\mu }^{(R)}(T^{(R)-1}(A))={\mu }^{(R)}(A)$$

对所有可测集$A\subset {\mathcal{H}}^{(R)}$成立。

递归不变测度的构造： 基于相对论指标的统计分布： $$d{\mu }^{(R)}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\eta }^{(R)}(k;0)}{{\sum }_j{\eta }^{(R)}(j;0)}{\delta }_{e_k}$$

不同模式的不变测度：

φ模式不变测度： $${\mu }_{\varphi }^{(R)}=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{F_k}{{\sum }_{j=1}^{\infty }{F}_j}{\delta }_{e_k}$$

（从$k=1$开始避免$F_0=0$）

e模式不变测度： $${\mu }_e^{(R)}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1/k!}{e}{\delta }_{e_k}$$

π模式不变测度： $${\mu }_{\pi }^{(R)}=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{k-1}/(2k-1)}{\pi /4}{\delta }_{e_k}$$

递归遍历性

定义 22.1.3（递归遍历性） 递归动力系统$(T^{(R)},{\mu }^{(R)})$是遍历的，如果所有$T^{(R)}$-不变集合都是平凡的： $$A=T^{(R)-1}(A)\Rightarrow {\mu }^{(R)}(A)\in \{0,1\}$$

递归Birkhoff遍历定理： 对于递归遍历系统和$f\in L^1({\mathcal{H}}^{(R)},{\mu }^{(R)})$： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{(R)k}(x))=\int fd{\mu }^{(R)}$$

${\mu }^{(R)}$-几乎处处成立。

递归混合性

递归弱混合： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}|{\mu }^{(R)}(A\cap T^{(R)-k}(B))-{\mu }^{(R)}(A){\mu }^{(R)}(B)|=0$$

递归强混合： $$\underset{n\to \infty }{\lim }{\mu }^{(R)}(A\cap T^{(R)-n}(B))={\mu }^{(R)}(A){\mu }^{(R)}(B)$$

递归Koopman算子： $$U_T^{(R)}f(x)=f(T^{(R)}(x))$$

谱性质：

• 遍历 ⟺ $1$是$U_T^{(R)}$的单重本征值
• 弱混合 ⟺ $U_T^{(R)}$除$1$外无其他单位圆上的本征值
• 强混合 ⟺ $1$是$U_T^{(R)}$的简单本征值

递归熵与复杂性

递归Kolmogorov-Sinai熵： $$h_{\mu }^{(R)}(T)=\underset{\mathcal{P}}{\sup }\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{H}_{\mu }^{(R)}({\mathcal{P}}_0^n)$$

其中${\mathcal{P}}_0^n={\bigvee }_{k=0}^{n-1}{T}^{(R)-k}(\mathcal{P})$。

递归拓扑熵： $$h_{\text{top}}^{(R)}(T)=\underset{\mu }{\sup }{h}_{\mu }^{(R)}(T)$$

不同模式的递归熵：

• φ模式：$h_{\varphi }^{(R)}=\log \varphi$（黄金比例熵）
• e模式：$h_e^{(R)}=1$（自然熵单位）
• π模式：$h_{\pi }^{(R)}=\log (\pi /4)$（调和熵）
• ζ模式：$h_{\zeta }^{(R)}={\sum }_p\log p/p^2$（素数熵）

递归return时间

递归Poincaré回归定理： 对于递归保测系统和$A$具有正测度： $${\mu }^{(R)}(\{x\in A:T^{(R)n}(x)\in A\text{ 无穷多次}\})={\mu }^{(R)}(A)$$

递归平均回归时间： $${\tau }_A^{(R)}={\int }_A{E}^{(R)}[{\tau }_A]d{\mu }^{(R)}$$

其中$E^{(R)}[{\tau }_A]=\frac{1}{{\mu }^{(R)}(A)}$。

递归Kac定理： $${\int }_A{\tau }_A^{(R)}d{\mu }^{(R)}=1$$

递归不变原理

递归中心极限定理： 对于递归遍历系统和$f\in L^2({\mu }^{(R)})$： $$\frac{S_n^{(R)}(f)-n\int fd{\mu }^{(R)}}{\sqrt{n{\sigma }^{(R)}(f)}}\stackrel{d}{\to }\mathcal{N}(0,1)$$

其中$S_n^{(R)}(f)={\sum }_{k=0}^{n-1}f(T^{(R)k}(x))$。

递归大偏差原理： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log {\mu }^{(R)}\left(\left|\frac{S_n^{(R)}(f)}{n}-\int fd{\mu }^{(R)}\right|>\delta \right)=-I^{(R)}(\delta )$$

其中$I^{(R)}$为递归速率函数。

递归谱理论

递归动力系统的谱分解： 基于第4章和第19章的谱理论，Koopman算子$U_T^{(R)}$的谱分解： $$U_T^{(R)}={\int }_{\sigma (U_T^{(R)})}\lambda d{E}^{(R)}(\lambda )$$

离散谱与连续谱：

• 离散谱：对应周期和准周期轨道
• 连续谱：对应混沌和随机行为

递归谱测度： $$d{\nu }_f^{(R)}(\lambda )=d⟨E^{(R)}(\lambda )f,f⟩$$

递归symbolic动力学

递归符号空间： 基于递归标签序列的符号动力学： $${\Sigma }^{(R)}=\{(s_n):s_n\in \{\text{valid recursive tags}\}\}$$

递归shift映射： $${\sigma }^{(R)}((s_0,s_1,s_2,\dots ))=(s_1,s_2,s_3,\dots )$$

但保持递归结构的约束。

递归拓扑熵的计算： $$h_{\text{top}}^{(R)}(\sigma )=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log |{\text{Valid-Sequences}}_n^{(R)}|$$

其中${\text{Valid-Sequences}}_n^{(R)}$为长度$n$的有效递归序列数。

递归周期轨道

递归周期性的定义： 轨道$\{T^{(R)n}(x)\}$是递归周期的，如果： $$T^{(R)p}(x)=x\text{ 且 }p\text{ 与递归模式相关}$$

不同模式的周期性：

• φ模式周期：$p=F_k$（Fibonacci周期）
• e模式周期：$p=k!$（阶乘周期）
• π模式周期：$p=2k-1$（奇数周期）
• ζ模式周期：$p=p_k$（素数周期）

递归Lefschetz公式： $$\sum _{\text{Fix}(T^{(R)n})}\frac{1}{|\det (I-D{T}^{(R)n})|}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\text{tr}((T^{(R)n}{)}_{\ast }{|}_{H_k^{(R)}})$$

递归动力系统的物理应用

宇宙学动力学

为P27章宇宙学提供动力学基础：

• 宇宙膨胀：对应φ模式的发散动力学
• 结构形成：对应不同模式的耦合分叉
• 暗能量：对应递归动力学的内在驱动

量子混沌

为量子系统提供经典-量子对应：

• 量子映射：经典递归映射的量子化
• 量子疤痕：周期轨道在量子谱中的痕迹
• 量子遍历性：量子系统的统计性质

生物系统动力学

递归动力学为生物系统提供数学模型：

• 种群动力学：基于递归增长模式
• 神经网络：基于递归连接结构
• 进化动力学：基于递归适应机制

递归遍历理论的数学严谨性

基于前21章建立的数学框架：

• 第1章递归母空间：动力系统的状态空间基础
• 第10章测度理论：不变测度的数学基础
• 第18章连续化：连续动力学的极限理论
• 第21章调和分析：动力系统的频域分析

递归遍历理论不仅扩展了经典遍历理论，更重要的是，它揭示了遍历性的递归本质：长期平均行为是递归系统自我平衡的内在表现。