22.4 递归随机动力学

随机性的递归本质

传统随机动力学的外在噪声

传统随机动力系统将随机性视为外在的噪声扰动，通过白噪声、有色噪声等外加随机项描述系统的不确定性。递归理论揭示了随机性的内在递归本质。

递归随机微分方程

定义 22.4.1（递归随机微分方程） 递归SDE的一般形式： $$d{f}_t^{(R)}=b^{(R)}(f_t^{(R)},t)dt+{\sigma }^{(R)}(f_t^{(R)},t)d{W}_t^{(R)}$$

其中：

• $b^{(R)}$为递归漂移系数：$b^{(R)}(f,t)={\sum }_k{\eta }^{(R)}(k;\lfloor t\rfloor )b_k{e}_k$
• ${\sigma }^{(R)}$为递归扩散系数：${\sigma }^{(R)}(f,t)=\sqrt{g({\eta }^{(R)}(1;\lfloor t\rfloor ))}{\sigma }_0$
• $W_t^{(R)}$为递归Brown运动

递归Brown运动的定义： $$W_t^{(R)}=\sum _{k=0}^{\lfloor t\rfloor }\sqrt{{\eta }^{(R)}(k;0)}{B}_k{e}_k$$

其中$\{B_k\}$为独立标准Brown运动。

不同模式的递归随机过程

φ模式递归随机过程： $$d{f}_t^{(\varphi )}={\varphi }^{-\lfloor t\rfloor }{f}_t^{(\varphi )}dt+\sqrt{g_{\varphi }(\lfloor t\rfloor )}d{W}_t^{(\varphi )}$$

渐近性质：

• 长期行为：${\lim }_{t\to \infty }{f}_t^{(\varphi )}=0$（几乎必然）
• 方差增长：$\text{Var}[f_t^{(\varphi )}]\sim {\varphi }^{-t}$

e模式递归随机过程： $$d{f}_t^{(e)}=-\frac{1}{\lfloor t\rfloor !}{f}_t^{(e)}dt+\sqrt{g_e(\lfloor t\rfloor )}d{W}_t^{(e)}$$

超快收敛性：方差以阶乘速度衰减。

π模式递归随机过程： $$d{f}_t^{(\pi )}=\frac{(-1{)}^{\lfloor t\rfloor }}{2\lfloor t\rfloor -1}{f}_t^{(\pi )}dt+\sqrt{g_{\pi }(\lfloor t\rfloor )}d{W}_t^{(\pi )}$$

振荡特性：漂移项的符号周期性变化。

ζ模式递归随机过程： $$d{f}_t^{(\zeta )}=\frac{1}{\zeta (\lfloor t\rfloor +2)}{f}_t^{(\zeta )}dt+\sqrt{g_{\zeta }(\lfloor t\rfloor )}d{W}_t^{(\zeta )}$$

素数共振：在素数时刻的特殊行为。

递归Markov过程

递归Markov性质： $$P^{(R)}(f_{t+s}^{(R)}\in A|\{f_u^{(R)}:u\le t\})=P^{(R)}(f_{t+s}^{(R)}\in A|f_t^{(R)})$$

递归转移概率： $$p^{(R)}(t,f;s,A)=P^{(R)}(f_{t+s}^{(R)}\in A|f_t^{(R)}=f)$$

Chapman-Kolmogorov方程的递归版本： $$p^{(R)}(t,f;t+s,A)=\int p^{(R)}(t,f;t+u,dg)p^{(R)}(t+u,g;t+s,A)$$

递归Fokker-Planck方程

递归概率密度演化： 设${\rho }^{(R)}(f,t)$为递归过程的概率密度，则： $$\frac{\partial {\rho }^{(R)}}{\partial t}=-\sum _k\frac{\Delta }{\Delta a_k}(b_k^{(R)}{\rho }^{(R)})+\frac{1}{2}\sum _{k,l}\frac{{\Delta }^2}{\Delta a_k\Delta a_l}(({\sigma }^{(R)}{\sigma }^{(R)T}{)}_{kl}{\rho }^{(R)})$$

平稳分布： $$\frac{\partial {\rho }_{\infty }^{(R)}}{\partial t}=0$$

对应递归不变测度。

递归Itô积分

递归Itô积分的定义： $${\int }_0^t{H}_s^{(R)}d{W}_s^{(R)}=\underset{|\Pi |\to 0}{\lim }\sum _k{H}_{t_k}^{(R)}(W_{t_{k+1}}^{(R)}-W_{t_k}^{(R)})$$

递归Itô引理： 对于$f^{(R)}(x,t)={\sum }_{k,l}{f}_{k,l}{x}^k{\eta }^{(R)}(l;\lfloor t\rfloor )$： $$d{f}^{(R)}=\frac{\partial f^{(R)}}{\partial t}dt+\sum _k\frac{\Delta f^{(R)}}{\Delta x_k}d{x}_k^{(R)}+\frac{1}{2}\sum _{k,l}\frac{{\Delta }^2{f}^{(R)}}{\Delta x_k\Delta x_l}d⟨x_k^{(R)},x_l^{(R)}{⟩}_t$$

递归大偏差理论

递归大偏差原理： 对于递归随机过程$\{X_n^{(R)}\}$： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log P^{(R)}(S_n^{(R)}/n\in A)=-\underset{x\in A}{\inf }{I}^{(R)}(x)$$

其中$I^{(R)}$为递归速率函数： $$I^{(R)}(x)=\underset{\lambda }{\sup }(\lambda x-\log M^{(R)}(\lambda ))$$

$M^{(R)}(\lambda )=E[e^{\lambda X_1^{(R)}}]$为递归矩生成函数。

递归随机控制

递归Hamilton-Jacobi-Bellman方程： $$\frac{\partial V^{(R)}}{\partial t}+H^{(R)}(x,\nabla V^{(R)},D^2{V}^{(R)})=0$$

其中递归Hamilton函数： $$H^{(R)}(x,p,P)=\underset{u}{\inf }\{b^{(R)}(x,u)\cdot p+\frac{1}{2}\text{tr}(P{\sigma }^{(R)}{\sigma }^{(R)T})+f^{(R)}(x,u)\}$$

最优递归控制： $$u^{\ast }(x,t)=\arg \underset{u}{\min }{H}^{(R)}(x,\nabla V^{(R)},D^2{V}^{(R)})$$

递归随机微分博弈

两人零和递归随机博弈： $$d{X}_t^{(R)}=b^{(R)}(X_t^{(R)},u_t,v_t)dt+{\sigma }^{(R)}(X_t^{(R)})d{W}_t^{(R)}$$

递归Isaacs方程： $$\frac{\partial V^{(R)}}{\partial t}+H^{(R)}(x,\nabla V^{(R)},D^2{V}^{(R)})=0$$

其中： $$H^{(R)}(x,p,P)=\underset{u}{\min }\underset{v}{\max }\{b^{(R)}(x,u,v)\cdot p+\frac{1}{2}\text{tr}(P{\sigma }^{(R)}{\sigma }^{(R)T})+f^{(R)}(x,u,v)\}$$

递归平均场理论

递归McKean-Vlasov方程： $$d{X}_t^{(R)}=b^{(R)}(X_t^{(R)},{\mu }_t^{(R)})dt+{\sigma }^{(R)}(X_t^{(R)},{\mu }_t^{(R)})d{W}_t^{(R)}$$

其中${\mu }_t^{(R)}=\text{Law}(X_t^{(R)})$为递归分布。

递归粒子系统： $$d{X}_t^{(R),i}=\frac{1}{N}\sum _{j=1}^N{b}^{(R)}(X_t^{(R),i},X_t^{(R),j})dt+{\sigma }^{(R)}(X_t^{(R),i})d{W}_t^{(R),i}$$

平均场极限： $$\underset{N\to \infty }{\lim }{X}_t^{(R),i}=X_t^{(R)}$$

满足递归McKean-Vlasov方程。

递归随机偏微分方程

递归随机热方程： $$\frac{\partial u^{(R)}}{\partial t}={\Delta }^{(R)}u+{\sigma }^{(R)}(x,t){\dot{W}}^{(R)}(x,t)$$

其中${\Delta }^{(R)}$为递归Laplacian，${\dot{W}}^{(R)}$为时空白噪声。

递归KPZ方程： $$\frac{\partial h^{(R)}}{\partial t}=\nu {\Delta }^{(R)}h+\frac{{\lambda }^{(R)}}{2}|{\nabla }^{(R)}h{|}^2+{\eta }^{(R)}{\dot{W}}^{(R)}$$

描述递归界面增长。

递归随机动力学的信息意义

随机性的信息解释

递归随机性不是外在的不确定性，而是信息的内在创造过程：

• 噪声是信息源：随机扰动提供新信息
• 扩散是信息传播：信息通过随机过程传播
• 控制是信息优化：通过信息反馈优化系统

不确定性的递归价值

递归随机动力学赋予不确定性积极价值：

• 创造性探索：随机性帮助系统探索新可能性
• 自适应能力：不确定性增强系统的适应性
• 熵增驱动：随机性是熵增$\Delta S>0$的重要来源

概率的递归本质

递归随机理论揭示了概率的递归本质：

• 概率不是频率：而是递归可能性的度量
• 随机不是无序：而是递归创造的内在方式
• 不确定不是缺陷：而是递归自由的表现

递归随机动力学的数学完备性

基于前21章的完整数学基础：

• 第10章测度概率：概率空间的递归构造
• 第18章连续化：连续随机过程的极限理论
• 第21章调和分析：随机过程的谱分析
• 第20章统一标准：所有随机模式的一致框架

递归随机动力学理论完成了动力系统理论的最后一块拼图：将确定性递归与随机性动力学在$\psi =\psi (\psi )$的框架中完美统一。

这种统一揭示了一个深刻真理：确定性与随机性不是对立的，而是递归系统自我认知过程的两个互补方面。