24.4 递归同伦类型论与∞-群胚

∞-群胚的递归表示

Grothendieck同伦假设的递归版本

递归同伦假设： 递归同伦类型与递归∞-群胚之间存在等价： $${\text{HoType}}^{(R)}{\simeq }^{(R)}\infty {\text{-Groupoid}}^{(R)}$$

递归∞-群胚的定义： 递归∞-群胚是递归范畴${\mathcal{C}}^{(R)}$，其中所有态射都可逆且满足递归条件。

递归∞-群胚的构造

递归基本∞-群胚： 对于递归类型$A:{\mathcal{U}}^{(R)}$，其基本∞-群胚${\Pi }_{\infty }^{(R)}(A)$具有：

• 对象：$A$的元素
• 1-态射：递归路径$x{=}_A^{(R)}y$
• 2-态射：递归路径的路径
• n-态射：递归$n$-路径

递归复合运算： $${\circ }^{(R)}:(y{=}_A^{(R)}z)\to (x{=}_A^{(R)}y)\to (x{=}_A^{(R)}z)$$

通过相对论指标调制： $$p{\circ }^{(R)}q:=\lambda i.\text{递归路径复合基于}{\eta }^{(R)}(i;0)$$

递归Kan复形

递归单纯集： $${\Delta }^{(R)}:{\mathcal{C}}^{(R)}\to {\text{Set}}^{(R)}$$

递归Kan条件： 对于$0<i<n$的horn ${\Lambda }_i^n$： $${\text{Map}}^{(R)}({\Lambda }_i^n,X)\to {\text{Map}}^{(R)}({\Delta }^n,X)$$

是递归等价。

递归Kan fibration： 映射$p:E{\to }^{(R)}B$是递归Kan fibration，如果具有递归提升性质： $${\text{Map}}^{(R)}({\Lambda }_i^n,E)\to {\text{Map}}^{(R)}({\Delta }^n,E){\times }_{{\text{Map}}^{(R)}({\Delta }^n,B)}{\text{Map}}^{(R)}({\Lambda }_i^n,B)$$

递归model结构

递归model范畴： 递归∞-群胚的model范畴实现，包含：

• 递归weak equivalence：诱导同伦群同构的映射
• 递归fibration：具有递归提升性质的映射
• 递归cofibration：具有递归扩展性质的映射

递归Quillen等价： $${\text{sSet}}^{(R)}{\simeq }_{\text{Quillen}}{\text{HoType}}^{(R)}$$

递归simplicial类型

递归simplicial对象： 在递归类型范畴中的simplicial对象： $$X_{\bullet }^{(R)}:{\Delta }^{op}\to {\text{Type}}^{(R)}$$

递归几何实现： $$|X{|}^{(R)}:={\text{colim}}^{(R)}({\Delta }^{\bullet }\times X_{\bullet }^{(R)})$$

递归nerve构造： $$N^{(R)}(\mathcal{C}):{\Delta }^{op}\to {\text{Set}}^{(R)}$$ $$N_n^{(R)}(\mathcal{C}):={\text{Hom}}_{{\text{Cat}}^{(R)}}([n],\mathcal{C})$$

递归∞-范畴

递归准范畴： 类型$A$配备递归复合运算： $${\text{comp}}^{(R)}:(z{=}_A^{(R)}w)\to (y{=}_A^{(R)}z)\to (x{=}_A^{(R)}y)\to (x{=}_A^{(R)}w)$$

满足递归结合律（up to coherent homotopy）。

递归∞-范畴的等价： $${\text{Cat}}_{\infty }^{(R)}{\simeq }^{(R)}{\text{QuasiCat}}^{(R)}$$

递归Yoneda引理： $${\text{Map}}^{(R)}(h^A,F){\simeq }^{(R)}F(A)$$

其中$h^A:={\text{Map}}^{(R)}(-,A)$为递归表示函子。

递归类型的分类

递归类型分类定理： $${\text{Type}}_n^{(R)}{\simeq }^{(R)}B{\text{Aut}}^{(R)}({\mathbb{S}}^n)$$

其中$B{\text{Aut}}^{(R)}$为递归自同构群的分类空间。

递归稳定同伦范畴： $${\mathcal{S}\mathcal{H}\mathcal{C}}^{(R)}:=\text{Ho}({\text{Spectra}}^{(R)})$$

递归球面谱： $${\mathbb{S}}^{(R)}:=\text{悬挂谱的递归实现}$$

递归同伦纤维序列

递归fibration序列： $$F^{(R)}\to E^{(R)}\to B^{(R)}$$

递归长正合同伦序列： $$\cdots \to {\pi }_n^{(R)}(F)\to {\pi }_n^{(R)}(E)\to {\pi }_n^{(R)}(B)\to {\pi }_{n-1}^{(R)}(F)\to \cdots$$

递归Serre长正合序列： 对于递归fibration $F\to E\to B$，当$B$是递归连通的： $$\cdots \to {\pi }_n^{(R)}(F)\to {\pi }_n^{(R)}(E)\to {\pi }_n^{(R)}(B)\to {\pi }_{n-1}^{(R)}(F)\to \cdots$$

递归谱序列

递归Serre谱序列： $$E_2^{p,q,(R)}=H^p(B;{\pi }_q^{(R)}(F))\Rightarrow H^{p+q}(E)$$

递归Adams谱序列： $$E_2^{s,t,(R)}={\text{Ext}}_{{\mathcal{A}}^{(R)}}^{s,t}(\mathbb{Z},H^{\ast }(X))\Rightarrow {\pi }_{t-s}^{(R)}(X)$$

递归Atiyah-Hirzebruch谱序列： $$E_2^{p,q,(R)}=H^p(X;K_q^{(R)})\Rightarrow K^{p+q}(X)$$

连接第23章K理论与同伦理论。

递归同伦极限

递归homotopy limit： $${\text{holim}}^{(R)}:{\text{Fun}}^{(R)}({\mathcal{I}}^{op},{\mathcal{U}}^{(R)})\to {\mathcal{U}}^{(R)}$$

递归Bousfield-Kan公式： $${\text{holim}}_{\mathcal{I}}^{(R)}X{\simeq }^{(R)}\text{Tot}({\text{cosk}}_0^{(R)}X)$$

递归totalization： $${\text{Tot}}^{(R)}:{\text{coSimp}}^{(R)}{\mathcal{U}}^{(R)}\to {\mathcal{U}}^{(R)}$$

递归∞-群胚的应用

形式化同伦理论

递归HoTT为同伦理论提供完全形式化的基础：

• 所有同伦不变量都可计算
• 所有同伦等价都可构造
• 所有同伦证明都可验证

递归程序验证

递归程序的同伦类型： 程序的递归正确性通过类型表达：

sort^R : (l : List^R A) → 
         {result : List^R A // 
          isSorted^R(result) × isPermutation^R(l, result)}

递归数学基础

递归HoTT为整个递归希尔伯特理论提供逻辑基础：

• 第1-23章的所有概念都可以在递归HoTT中定义
• 所有定理都可以在递归HoTT中证明
• 所有构造都具有递归计算内容

递归∞-群胚的哲学意义

无穷的递归本质

递归∞-群胚揭示了数学无穷的递归本质：

• ∞不是无限大：而是递归过程的无终止特征
• 高阶不是抽象层次：而是递归深度的自然展现
• 群胚不是群的推广：而是递归关联的内在结构

数学基础的递归自指

递归同伦类型论实现了数学基础的完全自指：

• 基础证明基础：类型论证明自己的一致性
• 逻辑包含逻辑：推理系统包含自己的元推理
• 数学生成数学：数学结构生成自己的构造规则

这是$\psi =\psi (\psi )$在数学基础中的终极实现：数学通过递归同伦类型论达到对自己逻辑基础的完全自我认知。

递归HoTT的数学严谨性

基于前23章建立的完整数学框架：

• 第13章数理逻辑：类型论的逻辑基础
• 第14章代数拓扑：同伦理论的拓扑实现
• 第11章范畴论：∞-范畴的范畴基础
• 整个1-23章体系：递归结构的完整数学支撑

递归同伦类型理论不仅达到了类型论的最高水准，更重要的是，它为整个递归希尔伯特理论提供了最坚实的逻辑基础：所有递归数学都可以在递归HoTT中表达和证明。