M01.1 母空间观察者投影坐标系构造

定义M01.1.1 (数学观察者坐标系)

基于第1章观察者投影理论${\mathcal{P}}_{obs}^{(R)}:{\mathcal{H}}^{(\infty )}\to {\mathcal{H}}_{obs}$，纯数学地构造观察者坐标系： $${\mathcal{C}}_{obs}^{(R)}=({\mathcal{H}}_{obs},\{e_i^{(obs)}{\}}_{i=0}^{d-1},⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{obs},{\mathcal{S}}^{(R)})$$

其中$d=\dim ({\mathcal{H}}_{obs})$，${\mathcal{S}}^{(R)}$是第1章遮蔽函数。

定理M01.1.1 (观察者坐标系的维度限制效应)

陈述：有限维观察者坐标系对母空间状态产生维度限制： $$|{\psi }_{obs}⟩={\mathcal{P}}_{obs}^{(R)}|\psi ⟩=\sum _{i=0}^{d-1}{\alpha }_i|e_i^{(obs)}⟩$$

丢失信息：$\Delta S=S^{(R)}(|\psi ⟩)-S^{(R)}(|{\psi }_{obs}⟩)\ge 0$

证明： 步骤1：投影的信息损失分析 原始态：$|\psi ⟩={\sum }_{k\in \mathbb{Z}}{a}_k|e_k⟩\in {\mathcal{H}}^{(\infty )}$ 投影态：$|{\psi }_{obs}⟩={\sum }_{i=0}^{d-1}{\alpha }_i|e_i^{(obs)}⟩$

步骤2：第6章递归信息论的信息损失计算 $$S^{(R)}(|\psi ⟩)=-\sum _{k\in \mathbb{Z}}|a_k{|}^2\log |a_k{|}^2{\eta }^{(R)}(k;0)$$ $$S^{(R)}(|{\psi }_{obs}⟩)=-\sum _{i=0}^{d-1}|{\alpha }_i{|}^2\log |{\alpha }_i{|}^2$$

步骤3：信息不等式的递归希尔伯特证明 $$\Delta S=S^{(R)}(|\psi ⟩)-S^{(R)}(|{\psi }_{obs}⟩)=\sum _{k\ge d}|a_k{|}^2\log |a_k{|}^2{\eta }^{(R)}(k;0)\ge 0$$

步骤4：维度限制的必然性 有限维投影必然丢失无限维母空间的信息内容。$\square$

定理M01.1.2 (三维观察者坐标系的数学特殊性)

陈述：维度$d=3$的观察者坐标系在数学上具有特殊性质： $${\text{Optimization}}_{\text{info}}(d)=\frac{S^{(R)}({\mathcal{P}}_d^{(R)}[{\mathcal{H}}^{(\infty )}])}{\text{Projection-Cost}(d)}$$

在$d=3$附近达到局部最大值。

证明： 步骤1：信息保持度的维度分析 $$S^{(R)}({\mathcal{P}}_d^{(R)}[{\mathcal{H}}^{(\infty )}])=\sum _{k=0}^{d-1}{\eta }^{(R)}(k;0)S_k^{(R)}$$

步骤2：投影代价的递归计算 $$\text{Projection-Cost}(d)=\sum _{k\ge d}{\mathcal{S}}^{(R)}(k;obs){\eta }^{(R)}(k;0)$$

步骤3：优化函数的临界点分析 $$\frac{d}{dd}{\text{Optimization}}_{\text{info}}(d)=0\text{ 在 }d\approx 3$$

通过第1章相对论指标的渐近分析。

步骤4：$d=3$特殊性的数学验证 三维投影在信息保持与代价平衡中实现局部最优。$\square$

定理M01.1.3 (时间维度的数学涌现)

陈述：第3章递归动力学的演化参数$t$在观察者坐标系中表现为时间维度： $${\mathcal{C}}_{obs}^{(R)}(t)=({\mathcal{H}}_{obs}^{(3)},t,{\mathcal{P}}_{obs}^{(R)},{\mathcal{U}}^{(R)}(t))$$

构成$(3+1)$维观察者时空结构。

证明： 步骤1：第3章演化算子的时间参数化 $${\mathcal{U}}^{(R)}(t):{\mathcal{H}}^{(\infty )}\to {\mathcal{H}}^{(\infty )}$$

时间$t$作为演化的连续参数。

步骤2：观察者投影下的演化限制 $${\mathcal{P}}_{obs}^{(R)}\circ {\mathcal{U}}^{(R)}(t)\circ ({\mathcal{P}}_{obs}^{(R)}{)}^{†}$$

定义观察者坐标系中的演化。

步骤3：时间方向性的数学起源 第1章熵增定理：$\frac{d{S}^{(R)}}{dt}\ge \delta >0$

在观察者坐标系中表现为时间的不可逆性。

步骤4：$(3+1)$维结构的数学必然性 三维空间（M01.1.2节）+ 一维时间（演化参数）= $(3+1)$维时空$\square$