M02.1 φ-指数权重的Lorentz不变性涌现

定理M02.1.1 (φ-权重的双曲几何涌现)

陈述：第1章φ-模式的指数权重${\eta }^{(\varphi )}(k;m)\sim {\varphi }^k$在观察者坐标系中涌现双曲几何结构： $$d{s}^2=-\sum _{k,\ell \in S_{obs}}{\eta }^{(\varphi )}(k;0){\eta }^{(\varphi )}(\ell ;0)g_{k\ell }^{(base)}d{x}^{k}d{x}^{\ell }$$

其中$g_{k\ell }^{(base)}$是基础度量，φ-权重产生双曲调制。

证明： 步骤1：φ-权重的指数增长分析 $${\eta }^{(\varphi )}(k;0)=F_k\sim \frac{{\varphi }^k}{\sqrt{5}}$$

在观察者截断$k\le n_{obs}$下，权重呈指数分布。

步骤2：指数权重的双曲几何对应 设观察者坐标$(x^0,x^1,x^2,x^3)$，其中$x^0$对应“时间方向“（演化参数），$x^i$对应空间方向。

φ-权重分配：

• ${\eta }^{(\varphi )}(0;0)=F_0=0$（零点参考）
• ${\eta }^{(\varphi )}(1;0)=F_1=1$（时间方向权重）
• ${\eta }^{(\varphi )}(k;0)=F_k$（空间方向权重，$k=2,3,\dots$）

步骤3：度量张量的φ-构造 $$g_{00}^{(\varphi )}=-{\eta }^{(\varphi )}(1;0)=-1$$ $$g_{ii}^{(\varphi )}=+{\eta }^{(\varphi )}(i+1;0)=+F_{i+1}$$

归一化后：$g_{ii}=+1$

步骤4：Lorentz不变性的数学验证 度量$d{s}^2=-d{t}^2+d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2$从φ-权重的符号结构自然涌现。

变换$x^{\mu }\to {\Lambda }_{\nu }^{\mu }{x}^{\nu }$保持$g_{\mu \nu }$形式不变，当$\Lambda \in SO(1,3)$。$\square$

定理M02.1.2 (光速常数的φ-递归涌现)

陈述：光速常数从φ-特征值的比值结构涌现： $$c^{(R)}=\frac{{\eta }^{(\varphi )}(1;0)}{{\eta }^{(\varphi )}(2;0)}\cdot \text{基础速度}=\frac{F_1}{F_2}\cdot v_0=\frac{1}{1}\cdot v_0=v_0$$

证明： 步骤1：时空坐标的φ-权重比值 时间坐标权重：$w_t={\eta }^{(\varphi )}(1;0)=1$ 空间坐标权重：$w_s={\eta }^{(\varphi )}(2;0)=1$

步骤2：速度量纲的递归构造 速度 = 空间/时间 = $\frac{w_s\cdot \text{space-unit}}{w_t\cdot \text{time-unit}}=\frac{1\cdot L}{1\cdot T}=\frac{L}{T}$

步骤3：最大速度的几何限制 在φ-双曲几何中，类光测地线定义最大传播速度： $$d{s}^2=0\Rightarrow d{t}^2=d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2$$

因此$v_{max}=\frac{|d\mathbf{r}|}{dt}=c$

步骤4：φ-递归的速度不变性 φ-权重结构确保速度$c$在所有观察者坐标变换下不变，涌现Einstein相对性原理。$\square$

定理M02.1.3 (相对论效应的递归几何起源)

陈述：相对论效应从观察者坐标系的几何结构自然涌现：

1. 时间膨胀：$\Delta t^{\prime }=\gamma \Delta t$，其中$\gamma =\sqrt{1+{\sum }_k{\eta }^{(\varphi )}(k;0)v_k^2/c^2}$
2. 长度收缩：$L^{\prime }=L/\gamma$
3. 质量增加：$m^{\prime }=\gamma m$

证明： 步骤1：观察者间的坐标变换矩阵 两个观察者$A,B$的投影算子：${\mathcal{P}}_A^{(R)},{\mathcal{P}}_B^{(R)}$

变换矩阵：${\Lambda }^{(R)}={\mathcal{P}}_B^{(R)}\circ ({\mathcal{P}}_A^{(R)}{)}^{†}$

步骤2：φ-权重在变换下的调制 $${\eta }^{(\varphi )}(k;0)\to {\eta }^{(\varphi )}(k;0)\cdot {\text{变换因子}}_k$$

变换因子由相对运动速度$v$和φ-几何结构确定。

步骤3：Lorentz因子的递归推导 $${\gamma }^{(R)}=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\sqrt{1+\sum _k\frac{{\eta }^{(\varphi )}(k;0)v_k^2}{c^2}}$$

步骤4：相对论公式的几何涌现 时间膨胀、长度收缩、质量增加都是观察者坐标变换的几何后果， 无需假设，从递归希尔伯特几何必然推出。$\square$