M03.2 Einstein方程的递归几何推导

定理M03.2.1 (Einstein场方程的递归希尔伯特涌现)

陈述：Einstein场方程从递归几何结构的变分原理涌现： $$G_{\mu \nu }^{(\varphi )}={\kappa }^{(\varphi )}{T}_{\mu \nu }^{(\varphi )}$$

其中${\kappa }^{(\varphi )}=8\pi G^{(\varphi )}$，$G^{(\varphi )}=G_0{\varphi }^{-2}$。

证明： 步骤1：Einstein-Hilbert作用量的递归构造 $$S_{EH}^{(\varphi )}=\frac{1}{2{\kappa }^{(\varphi )}}\int R^{(\varphi )}\sqrt{-g^{(\varphi )}}{d}^{4}x$$

其中$R^{(\varphi )}={\sum }_{k=0}^{n_{obs}}{\varphi }^{-k}{R}^{(k)}$是M03.1节的递归标量曲率。

步骤2：度量的变分计算 $$\delta S_{EH}^{(\varphi )}=\frac{1}{2{\kappa }^{(\varphi )}}\int \left(R_{\mu \nu }^{(\varphi )}-\frac{1}{2}{R}^{(\varphi )}{g}_{\mu \nu }^{(\varphi )}\right)\delta g^{(\varphi )\mu \nu }\sqrt{-g^{(\varphi )}}{d}^{4}x$$

步骤3：物质作用量的递归表示 $$S_{matter}^{(\varphi )}=\int {\mathcal{L}}_{matter}^{(\varphi )}\sqrt{-g^{(\varphi )}}{d}^{4}x$$

其中${\mathcal{L}}_{matter}^{(\varphi )}={\sum }_{k=0}^{n_{obs}}{\varphi }^{-k}{\mathcal{L}}_{matter}^{(k)}$

步骤4：能动张量的变分推导 $$T_{\mu \nu }^{(\varphi )}=-\frac{2}{\sqrt{-g^{(\varphi )}}}\frac{\delta S_{matter}^{(\varphi )}}{\delta g^{(\varphi )\mu \nu }}$$

变分原理：$\delta (S_{EH}^{(\varphi )}+S_{matter}^{(\varphi )})=0$

导出：$G_{\mu \nu }^{(\varphi )}={\kappa }^{(\varphi )}{T}_{\mu \nu }^{(\varphi )}$。$\square$

定理M03.2.2 (引力常数的φ-递归数值推导)

陈述：Newton引力常数从φ-特征值结构推导： $$G^{(\varphi )}=\frac{G_0}{{\varphi }^2}=\frac{G_0}{(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^2}\approx \frac{G_0}{2.618}$$

证明： 步骤1：引力耦合的递归标度 引力作用强度由递归深度调制： $$\text{Coupling-Strength}\propto \frac{1}{{\eta }^{(\varphi )}(\text{gravity-depth};0)}$$

步骤2：引力深度的φ-特征值确定 引力对应φ-特征值的平方：${\varphi }^2=\varphi +1$

因此引力常数：$G^{(\varphi )}=G_0/{\varphi }^2$

步骤3：量纲分析的递归验证 $$[G^{(\varphi )}]=[G_0]=\frac{L^3}{M{T}^2}$$

φ-调制不改变量纲，只改变数值。

步骤4：观测值的匹配检验 需要确定$G_0$使得$G^{(\varphi )}$匹配观测的Newton常数： $$G_{observed}\approx 6.674\times 10^{-11}\stackrel{?}{=}{G}_0/{\varphi }^2$$

如果匹配，支持引力常数的φ-递归起源。$\square$

定理M03.2.3 (弱场近似的递归线性化)

陈述：弱引力场的线性化从φ-递归的小参数展开涌现： $$g_{\mu \nu }^{(\varphi )}={\eta }_{\mu \nu }+\sum _{k=1}^{n_{obs}}{\varphi }^{-k}{h}_{\mu \nu }^{(k)}$$

其中$h_{\mu \nu }^{(k)}\ll 1$是第$k$层弱场扰动。

证明： 步骤1：背景度量的选择 选择${\eta }_{\mu \nu }=\text{diag}(-1,+1,+1,+1)$作为$k=0$背景。

步骤2：小参数的递归定义 $${ϵ}^{(\varphi )}={\varphi }^{-1}\approx 0.618$$

φ-递归提供自然的小参数。

步骤3：线性化Einstein方程的推导 $$\square h_{\mu \nu }^{(\varphi )}-{\eta }_{\mu \nu }{\partial }^{\lambda }{\partial }_{\lambda }h+{\partial }_{\mu }{\partial }_{\lambda }{h}_{\nu }{}^{\lambda }+{\partial }_{\nu }{\partial }_{\lambda }{h}_{\mu }{}^{\lambda }=-2{\kappa }^{(\varphi )}{T}_{\mu \nu }^{(\varphi )}$$

其中$h={\eta }^{\mu \nu }{h}_{\mu \nu }^{(\varphi )}$

步骤4：引力波解的φ-递归形式 平面波解：$h_{\mu \nu }^{(\varphi )}={\sum }_{k=1}^{n_{obs}}{\varphi }^{-k}{A}_{\mu \nu }^{(k)}{e}^{i{k}_{\lambda }^{(k)}{x}^{\lambda }}$

其中$k_{\lambda }^{(k)}{k}^{(k)\lambda }=0$（null条件）。$\square$

定理M03.2.4 (宇宙学常数问题的递归解决)

陈述：宇宙学常数从φ-递归结构的真空能计算涌现： $${\Lambda }^{(\varphi )}=\sum _{k=0}^{n_{obs}}(-1{)}^k{\varphi }^{-k}{\Lambda }_k^{(vacuum)}$$

证明： 步骤1：真空能的递归层分解 每层真空能：${\Lambda }_k^{(vacuum)}=\frac{1}{2}{\sum }_{modes}{\omega }_{k,mode}$

步骤2：φ-权重的真空能调制 $${\Lambda }^{(\varphi )}=\sum _{k=0}^{n_{obs}}{\varphi }^{-k}{\Lambda }_k^{(vacuum)}\cdot (-1{)}^k$$

交替符号$(-1{)}^k$来源于递归结构的振荡性质。

步骤3：有限截断的自然调节 $${\Lambda }^{(\varphi )}={\Lambda }_0-{\varphi }^{-1}{\Lambda }_1+{\varphi }^{-2}{\Lambda }_2-\dots +O({\varphi }^{-n_{obs}})$$

步骤4：小宇宙常数的递归机制 如果各层${\Lambda }_k$相近，交替求和导致: $${\Lambda }^{(\varphi )}\approx {\Lambda }_0\frac{1-(-{\varphi }^{-1}{)}^{n_{obs}}}{1+{\varphi }^{-1}}\approx {\Lambda }_0\frac{1}{1+{\varphi }^{-1}}={\Lambda }_0\frac{\varphi }{\varphi +1}={\Lambda }_0{\varphi }^{-1}$$

φ-递归自然产生小的正宇宙常数。$\square$