P21.1 递归von Neumann熵

引言

基于第1章定义1.2.1.6的无限维兼容递归熵，本节建立量子统计力学的熵基础。核心命题是：量子统计力学的von Neumann熵不是独立的物理概念，而是递归标签von Neumann熵$S_n({\rho }_n)={\lim }_{m\to \infty }S({\rho }_n^{(m)})$在量子系统中的直接应用。

定义 P21.1.1 (量子系统的递归熵表示)

基于第1章定义1.2.1.6的无限维兼容递归熵

数学事实：第1章定义1.2.1.6建立了系统熵为投影到递归子空间的限制von Neumann熵： $$S_n({\rho }_n)=\underset{m\to \infty }{\lim }S({\rho }_n^{(m)})$$

其中${\rho }_n^{(m)}$截断到$m$级递归，确保无限维兼容。

量子密度矩阵的递归表示： $${\rho }_n^{(R)}=\frac{1}{\Vert f_n{\Vert }^2}\sum _{k=0}^n|a_k{|}^2|e_k⟩⟨e_k|\cdot {\eta }^{(R)}(k;n)$$

其中相对论指标${\eta }^{(R)}(k;n)$调制不同层级的密度贡献。

递归概率分布的定义： $$p_k^{(n,R)}=\frac{|a_k{|}^2{\eta }^{(R)}(k;n)}{{\sum }_{l=0}^n|a_l{|}^2{\eta }^{(R)}(l;n)}$$

量子von Neumann熵的递归计算： $$S_{\text{quantum}}^{(R)}=-\sum _{k=0}^n{p}_k^{(n,R)}\log p_k^{(n,R)}$$

定理 P21.1.1 (量子熵的严格递增性)

基于第1章熵增理论的量子统计应用

数学事实：第1章定理1.2.1.4建立了递归熵的严格单调性：在自包含递归构造中，系统熵严格递增$S_{n+1}>S_n\forall n\ge 0$。

量子系统熵增的递归表达： $$\Delta S_{\text{quantum}}^{(R)}=S_{n+1}^{(R)}-S_n^{(R)}=g(F_{n+1}(\{a_k{\}}_{k=0}^{n+1}))>0$$

其中$F_{n+1}$为有限截断的标签模式函数。

不同标签模式的量子熵增：

φ模式量子系统

$$\Delta S_{\text{φ-quantum}}^{(R)}=g_{\varphi }(F_{n+1}^{(\varphi )})={\varphi }^{-(n+1)}>0$$

高量子数态的熵增快速衰减，需要Zeckendorf控制低量子数的熵增。

e模式量子系统

$$\Delta S_{\text{e-quantum}}^{(R)}=g_e(F_{n+1}^{(e)})=\frac{1}{(n+1)!}>0$$

熵增极快衰减，高激发态几乎不贡献熵增。

π模式量子系统

$$\Delta S_{\text{π-quantum}}^{(R)}=g_{\pi }(F_{n+1}^{(\pi )})=\frac{1}{2(n+1)-1}>0$$

熵增缓慢衰减，所有量子态都有显著的熵增贡献。

定理 P21.1.2 (量子热平衡的递归条件)

基于递归熵最大化的热平衡

数学框架：量子系统的热平衡态对应递归熵在约束条件下的最大化。

热平衡的递归变分： 在能量约束${\sum }_k{E}_k^{(R)}{p}_k^{(R)}=E_{\text{total}}$和归一化约束${\sum }_k{p}_k^{(R)}=1$下，最大化递归熵： $$\frac{\delta }{\delta p_k^{(R)}}\left[S^{(R)}-\alpha (\sum p_k^{(R)}-1)-\beta (\sum E_k^{(R)}{p}_k^{(R)}-E_{\text{total}})\right]=0$$

平衡分布的递归推导： $$p_k^{(R)}=\frac{e^{-\beta E_k^{(R)}}}{{\sum }_l{e}^{-\beta E_l^{(R)}}}\times \frac{{\eta }^{(R)}(k;温度层级)}{{\sum }_l{\eta }^{(R)}(l;温度层级)}$$

量子配分函数的递归表示： $$Z^{(R)}=\sum _k{e}^{-\beta E_k^{(R)}}{\eta }^{(R)}(k;温度层级)$$

其中相对论指标调制不同能级的统计权重。

推论 P21.1.1 (量子相变的递归熵判据)

基于递归熵行为的相变识别

理论框架：量子相变可以通过递归熵的不连续行为识别。

相变的递归熵特征： $$\frac{\partial S^{(R)}}{\partial \text{控制参数}}{|}_{\text{相变点}}=\text{不连续}$$

不同类型量子相变的递归分类：

一阶量子相变

递归熵的不连续跳跃： $$\Delta S^{(R)}=S_{\text{相2}}^{(R)}-S_{\text{相1}}^{(R)}\ne 0$$

二阶量子相变

递归熵导数的不连续： $$\frac{\partial S^{(R)}}{\partial T}{|}_{\text{相变点}}=\text{不连续}$$

拓扑量子相变

递归熵的拓扑不变量改变： $$\text{TopologicalInvariant}(S^{(R)}{)}_{\text{相1}}\ne \text{TopologicalInvariant}(S^{(R)}{)}_{\text{相2}}$$

量子临界点的递归特征： $$S^{(R)}(\text{临界点})=\underset{\text{所有相}}{\max }{S}^{(R)}(\text{该相})$$

临界点对应递归熵的全局最大值。

说明

递归von Neumann熵的理论价值

1. 量子统计力学的数学基础

递归von Neumann熵为量子统计力学提供严格基础：

• 熵增原理：量子过程的熵增方向确定
• 平衡条件：热平衡的递归熵最大化条件
• 相变理论：量子相变的递归熵判据

2. 量子热力学的递归扩展

• 量子温度：基于递归熵增速率的温度定义
• 量子热容：递归熵对温度变化的响应
• 量子功与热：基于递归熵变化的功热定义

3. 量子信息的熵基础

• 信息熵：量子信息的递归熵表示
• 信息容量：基于递归熵的信息存储容量
• 信息传输：量子信息传输的熵增代价

与理论体系的深度连接

递归von Neumann熵理论统一了：

• P17量子基础：量子态的熵内容和信息量度
• P18量子动力学：演化过程的熵增驱动机制
• P19量子测量：测量过程的熵增与信息获得
• P20量子纠缠：纠缠态的熵分布和关联结构

这种递归von Neumann熵理论为理解量子统计现象的数学本质提供了基于递归熵增理论的严格统计框架。