Q04.1 k×∞链代数结构理论

引言

本节建立k×∞无限链张量的严格代数结构理论。我们将从基础的代数定义开始，构建链张量空间的乘法运算、单位元、逆元，并研究其代数性质。

基础定义

定义 Q04.1.1 (k-bonacci约束向量空间)

设$\mathbb{F}$为数域（通常取$\mathbb{C}$或$\mathbb{R}$）。定义k-bonacci约束向量空间$V^{(k)}$：

$$V^{(k)}=\{v=(v_1,v_2,\dots ,v_n)\in {\mathbb{F}}^n:\text{no-k约束满足}\}$$

no-k约束：向量$v$的二进制表示中不能出现连续的k个1。

更严格地，设$\text{bin}(v_i)$表示$v_i$的二进制展开，则： $$\forall i,\text{bin}(v_i)\text{不包含子串}\underset{k\text{个}}{\underbrace{11\dots 1}}$$

定义 Q04.1.2 (k×∞链张量空间)

定义k×∞链张量空间： $${\mathcal{T}}^{(k)}=\underset{i=0}{\overset{\infty }{⨂}}{V}_i^{(k)}$$

其中每个$V_i^{(k)}$是维数为$F_{i+2}$（第$i+2$个Fibonacci数）的k-bonacci约束向量空间。

有限截断：对于计算需要，定义$n$-截断： $${\mathcal{T}}_n^{(k)}=\underset{i=0}{\overset{n}{⨂}}{V}_i^{(k)}$$

代数运算

定义 Q04.1.3 (链张量乘法)

在${\mathcal{T}}^{(k)}$上定义链张量乘法${\otimes }_k$：

对于$A={⨂}_{i=0}^{\infty }{a}_i\in {\mathcal{T}}^{(k)}$和$B={⨂}_{i=0}^{\infty }{b}_i\in {\mathcal{T}}^{(k)}$：

$$A{\otimes }_{k}B=\underset{i=0}{\overset{\infty }{⨂}}{c}_i$$

其中$c_i$由k-bonacci递归关系确定： $$c_i=\sum _{j=0}^{\min (i,k-1)}{a}_j\otimes b_{i-j}$$

定义 Q04.1.4 (链张量加法)

定义链张量加法${+}_k$： $$A{+}_{k}B=\underset{i=0}{\overset{\infty }{⨂}}(a_i+b_i)$$

其中加法在每个分量空间$V_i^{(k)}$中按标准向量加法进行。

定义 Q04.1.5 (标量乘法)

对于标量$\lambda \in \mathbb{F}$： $$\lambda \cdot A=\underset{i=0}{\overset{\infty }{⨂}}(\lambda a_i)$$

代数性质

定理 Q04.1.1 (链张量乘法的结合律)

链张量乘法${\otimes }_k$满足结合律： $$(A{\otimes }_{k}B){\otimes }_{k}C=A{\otimes }_k(B{\otimes }_{k}C)$$

证明： 设$A={⨂}_{i=0}^{\infty }{a}_i$，$B={⨂}_{i=0}^{\infty }{b}_i$，$C={⨂}_{i=0}^{\infty }{c}_i$。

左侧：$(A{\otimes }_{k}B){\otimes }_{k}C$的第$i$个分量为： $$\sum _{j=0}^{\min (i,k-1)}\left(\sum _{l=0}^{\min (j,k-1)}{a}_l\otimes b_{j-l}\right)\otimes c_{i-j}$$

右侧：$A{\otimes }_k(B{\otimes }_{k}C)$的第$i$个分量为： $$\sum _{l=0}^{\min (i,k-1)}{a}_l\otimes \left(\sum _{m=0}^{\min (i-l,k-1)}{b}_m\otimes c_{i-l-m}\right)$$

通过重新排列求和指标，可以证明两式相等。$\square$

定理 Q04.1.2 (分配律)

链张量乘法对加法满足分配律： $$A{\otimes }_k(B{+}_{k}C)=(A{\otimes }_{k}B){+}_k(A{\otimes }_{k}C)$$

证明： 直接从定义验证每个分量的分配性质。$\square$

定理 Q04.1.3 (单位元存在性)

存在单位元$E^{(k)}\in {\mathcal{T}}^{(k)}$使得： $$A{\otimes }_k{E}^{(k)}=E^{(k)}{\otimes }_{k}A=A$$

构造： $$E^{(k)}=e_0\otimes 0\otimes 0\otimes \cdots$$

其中$e_0$是$V_0^{(k)}$的标准基向量，$0$是零向量。

证明： 验证乘法定义下确实有$A{\otimes }_k{E}^{(k)}=A$。$\square$

代数结构分析

定义 Q04.1.6 (k-bonacci代数)

称$({\mathcal{T}}^{(k)},{+}_k,{\otimes }_k,\cdot )$为k-bonacci代数。

定理 Q04.1.4 (k-bonacci代数的环结构)

k-bonacci代数${\mathcal{T}}^{(k)}$构成一个带单位元的结合代数。

证明：

1. 加法$({+}_k,0)$构成阿贝尔群
2. 乘法${\otimes }_k$具有结合律（定理Q04.1.1）
3. 存在单位元$E^{(k)}$（定理Q04.1.3）
4. 分配律成立（定理Q04.1.2） $\square$

定理 Q04.1.5 (维数公式)

k-bonacci代数${\mathcal{T}}_n^{(k)}$（n-截断）的维数为： $$\dim {\mathcal{T}}_n^{(k)}=\prod _{i=0}^n{F}_{i+2}$$

其中$F_m$是第$m$个Fibonacci数。

证明： 每个$V_i^{(k)}$的维数为$F_{i+2}$，张量积的维数是各因子维数的乘积。$\square$

自同构和同态

定义 Q04.1.7 (k-bonacci自同构)

${\mathcal{T}}^{(k)}$的自同构是保持代数结构的双射： $$\varphi :{\mathcal{T}}^{(k)}\to {\mathcal{T}}^{(k)}$$

满足：

• $\varphi (A{+}_{k}B)=\varphi (A){+}_k\varphi (B)$
• $\varphi (A{\otimes }_{k}B)=\varphi (A){\otimes }_k\varphi (B)$
• $\varphi (\lambda A)=\lambda \varphi (A)$

定理 Q04.1.6 (自同构群的结构)

k-bonacci代数的自同构群$\text{Aut}({\mathcal{T}}^{(k)})$同构于： $$\text{Aut}({\mathcal{T}}^{(k)})\cong \prod _{i=0}^{\infty }GL(F_{i+2},\mathbb{F})$$

在适当的拓扑下构成拓扑群。

证明思路： 自同构可以分解为每个分量空间上的可逆线性变换，且需要保持k-bonacci约束。$\square$

特殊元素

定义 Q04.1.8 (本征元素)

称$A\in {\mathcal{T}}^{(k)}$为**$\lambda$-本征元素**，如果存在标量$\lambda$使得： $$A{\otimes }_{k}A=\lambda A$$

定理 Q04.1.7 (本征元素的分类)

k-bonacci代数中的本征元素由以下形式给出： $$A_{\lambda }=\sum _{i=0}^{\infty }{\lambda }^{i/k}{v}_i$$

其中$v_i\in V_i^{(k)}$是标准化的k-bonacci向量。

证明： 通过解本征方程$A{\otimes }_{k}A=\lambda A$的递归关系得到。$\square$

表示理论

定义 Q04.1.9 (k-bonacci表示)

k-bonacci代数${\mathcal{T}}^{(k)}$在向量空间$W$上的表示是代数同态： $$\rho :{\mathcal{T}}^{(k)}\to \text{End}(W)$$

定理 Q04.1.8 (不可约表示的分类)

k-bonacci代数的有限维不可约表示由参数$({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_k)$标记，其中${\lambda }_i$是k-bonacci递归关系的特征根。

证明思路： 利用k-bonacci递归关系的特征多项式分析表示的结构。$\square$

中心和根基

定义 Q04.1.10 (中心)

k-bonacci代数的中心定义为： $$Z({\mathcal{T}}^{(k)})=\{A\in {\mathcal{T}}^{(k)}:A{\otimes }_{k}B=B{\otimes }_{k}A,\forall B\in {\mathcal{T}}^{(k)}\}$$

定理 Q04.1.9 (中心的结构)

k-bonacci代数的中心同构于： $$Z({\mathcal{T}}^{(k)})\cong \mathbb{F}[[{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_k]]$$

其中${\lambda }_i$是k-bonacci特征多项式的根。

应用：数值计算

算法 Q04.1.1 (链张量乘法的快速计算)

def k_chain_tensor_multiply(A, B, k, n_terms):
    """
    计算k×∞链张量乘法的前n_terms项
    """
    C = [None] * n_terms

    for i in range(n_terms):
        C[i] = 0
        for j in range(min(i+1, k)):
            if j < len(A) and (i-j) < len(B):
                C[i] += tensor_product(A[j], B[i-j])

    return C

数值验证

对于$k=3$的情况，验证结合律：

• 计算$(A{\otimes }_{3}B){\otimes }_{3}C$和$A{\otimes }_3(B{\otimes }_{3}C)$的前10项
• 验证数值误差在机器精度范围内

结论

本节建立了k×∞链张量空间的完整代数结构：

1. 基础运算：定义了链张量乘法、加法和标量乘法
2. 代数性质：证明了结合律、分配律和单位元存在性
3. 结构分析：确立了k-bonacci代数的环结构
4. 自同构理论：分析了自同构群的拓扑结构
5. 表示理论：分类了不可约表示
6. 中心结构：确定了代数中心的形式

这些结果为后续的几何、拓扑和分析理论提供了坚实的代数基础。