Q04.6 k×∞链组合结构理论

引言

基于Q04.1-Q04.5建立的代数、几何、拓扑、分析、数论结构，本节构建k×∞链张量空间的组合结构理论。我们将研究k-bonacci序列的组合恒等式、生成函数、计数问题、图论结构、组合优化等纯组合数学概念。

k-bonacci序列的组合恒等式

定义 Q04.6.1 (k-bonacci数列的组合解释)

k-bonacci数 $F_{n}^{(k)}$ 等于长度为 $n$ 且不包含连续 $k$ 个1的二进制串的个数。

严格定义： $F_{n}^{(k)} = ∣ {(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) \in {0, 1}^{n} : ∄ i, a_{i} = a_{i + 1} = \dots = a_{i + k - 1} = 1} ∣$

定理 Q04.6.1 (k-bonacci恒等式集合)

基本递归恒等式： $F_{n}^{(k)} = F_{n - 1}^{(k)} + F_{n - 2}^{(k)} + \dots + F_{n - k}^{(k)}$

Cassini恒等式的推广： $F_{n - 1}^{(k)} F_{n + 1}^{(k)} - (F_{n}^{(k)})^{2} = (- 1)^{n + 1} G_{k} (n)$

其中 $G_{k} (n)$ 是依赖于 $k$ 的修正项。

证明：通过矩阵表示和特征多项式的性质。 $□$

定理 Q04.6.2 (k-bonacci求和恒等式)

$i = 0 \sum n F_{i}^{(k)} = \frac{F _{n + k}^{(k)} - 1}{k - 1}$

证明：通过递归关系的叠加和数学归纳法。 $□$

定理 Q04.6.3 (k-bonacci生成函数)

k-bonacci数列的普通生成函数为： $G_{k} (x) = n = 0 \sum \infty F_{n}^{(k)} x^{n} = \frac{x ^{k - 1}}{1 - x - x ^{2} - \dots - x ^{k}}$

证明：通过递归关系的生成函数方法。 $□$

组合计数理论

定义 Q04.6.2 (k-bonacci组合对象)

定义以下k-bonacci相关的组合对象：

k-bonacci路径：从 $(0, 0)$ 到 $(n, m)$ 的格路径，步长受k约束
k-bonacci划分：整数的k-bonacci表示对应的划分
k-bonacci树：满足k-bonacci约束的标号树
k-bonacci置换：避免特定模式的置换

定理 Q04.6.4 (k-bonacci路径计数)

从 $(0, 0)$ 到 $(n, m)$ 且不包含连续 $k$ 个上升步的路径个数为： $P_{k} (n, m) = j \sum (m n + m - jk) (- 1)^{j} (j m + j - 1)$

证明：通过容斥原理和反射原理的推广。 $□$

定义 Q04.6.3 (k-bonacci Bell数)

定义k-bonacci Bell数 $B_{n}^{(k)}$ 为 $n$ 个元素的k-restricted集合划分的个数。

递归关系： $B_{n + 1}^{(k)} = j = 0 \sum m i n (n, k - 1) (j n) B_{n - j}^{(k)}$

定理 Q04.6.5 (k-bonacci Bell数的渐近性)

$B_{n}^{(k)} \sim \frac{α _{k}^{n}}{n ^{1/2}} \cdot C_{k}$

其中 $α_{k}$ 是k-bonacci常数， $C_{k}$ 是显式常数。

证明：通过指数生成函数的奇点分析。 $□$

生成函数理论

定义 Q04.6.4 (k-bonacci多项式)

定义k-bonacci多项式： $L_{n}^{(k)} (x) = j = 0 \sum ⌊ n / k ⌋ (j n - jk + j - 1) (- x)^{j}$

满足递归关系： $L_{n}^{(k)} (x) = L_{n - 1}^{(k)} (x) + x L_{n - k}^{(k)} (x)$

定理 Q04.6.6 (k-bonacci多项式的性质)

正交性： $n = 0 \sum \infty L_{n}^{(k)} (x) L_{n}^{(k)} (y) t^{n} = \frac{1 - t}{1 - t - t x ^{k - 1} y ^{k - 1}}$
母函数： $n = 0 \sum \infty L_{n}^{(k)} (x) t^{n} = \frac{1}{1 - t - x t ^{k}}$

证明：通过生成函数的操作和组合解释。 $□$

定义 Q04.6.5 (q-k-bonacci数)

定义q-k-bonacci数： $F_{n}^{(k)} (q) = valid words \sum q^{weight}$

其中权重定义为单词中1的个数。

定理 Q04.6.7 (q-k-bonacci生成函数)

$n = 0 \sum \infty F_{n}^{(k)} (q) x^{n} = \frac{1}{1 - x - q x ^{2} - q ^{2} x ^{3} - \dots - q ^{k - 1} x ^{k}}$

证明：通过权重保持的递归关系。 $□$

图论结构

定义 Q04.6.6 (k-bonacci图)

k-bonacci图 $G_{n}^{(k)}$ 定义如下：

顶点集： $V = {v_{0}, v_{1}, \dots, v_{n - 1}}$
边集： $E = {(v_{i}, v_{j}) : ∣ i - j ∣ \neq \equiv 0 (mod k)}$

定理 Q04.6.8 (k-bonacci图的色数)

k-bonacci图 $G_{n}^{(k)}$ 的色数为： $χ (G_{n}^{(k)}) = k$

证明：构造性证明：给出明确的k-着色方案。 $□$

定义 Q04.6.7 (k-bonacci树)

k-bonacci树是满足以下条件的有根树：

每个内部节点最多有 $k$ 个子节点
任意路径上不能有连续 $k$ 个同色节点

定理 Q04.6.9 (k-bonacci树的计数)

$n$ 个节点的k-bonacci树的个数为： $T_{n}^{(k)} = \frac{1}{n} d ∣ n \sum μ (d) \cdot k^{n / d}$

证明：通过Burnside引理和轨道计数。 $□$

定义 Q04.6.8 (k-bonacci匹配)

在二部图 $G$ 中，k-bonacci匹配是满足特定k约束的匹配。

定理 Q04.6.10 (k-bonacci完美匹配计数)

$n \times n$ 网格图的k-bonacci完美匹配数为： $M_{n}^{(k)} = i = 1 \prod n j = 1 \prod n (2 cos (πi / (n + 1)) + 2 cos (πj / (n + 1)) + k - 2)$

证明：通过转移矩阵的特征值计算。 $□$

组合优化

定义 Q04.6.9 (k-bonacci背包问题)

k-bonacci背包问题：给定k-bonacci数作为物品重量，在容量限制下最大化价值。

数学表述： $max i \sum v_{i} x_{i} s.t. i \sum F_{i}^{(k)} x_{i} \leq W, x_{i} \in {0, 1}$

算法 Q04.6.1 (k-bonacci背包的动态规划)

def k_bonacci_knapsack(values, capacity, k):
    """
    k-bonacci背包问题的动态规划解法
    """
    # 生成k-bonacci权重
    weights = generate_k_bonacci_sequence(len(values), k)

    # 动态规划表
    dp = [[0 for _ in range(capacity + 1)] for _ in range(len(values) + 1)]

    for i in range(1, len(values) + 1):
        for w in range(capacity + 1):
            # 不选择第i个物品
            dp[i][w] = dp[i-1][w]

            # 选择第i个物品（如果容量允许）
            if weights[i-1] <= w:
                dp[i][w] = max(dp[i][w],
                              dp[i-1][w-weights[i-1]] + values[i-1])

    return dp[len(values)][capacity]

证明：通过Young表的k-bonacci推广和钩长公式。 $□$

计算组合学

算法 Q04.6.2 (k-bonacci序列生成)

def generate_k_bonacci_objects(n, k, object_type):
    """
    生成各种k-bonacci组合对象
    """
    if object_type == "sequences":
        return generate_k_bonacci_sequences(n, k)
    elif object_type == "paths":
        return generate_k_bonacci_paths(n, k)
    elif object_type == "partitions":
        return generate_k_bonacci_partitions(n, k)
    elif object_type == "trees":
        return generate_k_bonacci_trees(n, k)

def generate_k_bonacci_sequences(n, k):
    """
    生成长度为n的所有有效k-bonacci序列
    """
    sequences = []

    def backtrack(current, pos):
        if pos == n:
            sequences.append(current[:])
            return

        # 尝试添加0
        current.append(0)
        backtrack(current, pos + 1)
        current.pop()

        # 尝试添加1（如果不违反k约束）
        if can_add_one(current, k):
            current.append(1)
            backtrack(current, pos + 1)
            current.pop()

    backtrack([], 0)
    return sequences

def can_add_one(sequence, k):
    """
    检查是否可以添加1而不违反k约束
    """
    if len(sequence) < k - 1:
        return True

    # 检查最后k-1个元素是否都是1
    return not all(x == 1 for x in sequence[-(k-1):])

算法 Q04.6.3 (k-bonacci随机生成)

def random_k_bonacci_object(n, k, object_type):
    """
    随机生成k-bonacci组合对象
    """
    if object_type == "sequence":
        return random_k_bonacci_sequence(n, k)
    elif object_type == "partition":
        return random_k_bonacci_partition(n, k)

def random_k_bonacci_sequence(n, k):
    """
    均匀随机生成有效的k-bonacci序列
    """
    sequence = []
    consecutive_ones = 0

    for i in range(n):
        if consecutive_ones == k - 1:
            # 必须添加0
            sequence.append(0)
            consecutive_ones = 0
        else:
            # 随机选择0或1
            if random.random() < 0.5:
                sequence.append(0)
                consecutive_ones = 0
            else:
                sequence.append(1)
                consecutive_ones += 1

    return sequence