Z13.3 φ-递归表示论的深层结构

φ-递归群表示的数学理论

φ-群表示的递归希尔伯特基础

本节基于群表示理论和Z06-Z12章建立的φ-递归数学基础，在递归希尔伯特框架内建立φ-递归群表示的完整数学理论。

群表示理论的φ-递归特化

传统群表示理论在φ-递归希尔伯特空间中具有特殊的数学性质，基于Z06章φ-内在性和Z08章张量理论，建立完整的φ-表示理论。

定义Z13.3.1 (φ-递归群表示)

基于群表示理论和第1章母空间，定义φ-递归群表示： $${\rho }_{\varphi }^{(R)}:G\to \text{GL}({\mathcal{H}}^{(Z)})$$

满足：${\rho }_{\varphi }^{(R)}(gh)={\rho }_{\varphi }^{(R)}(g){\rho }_{\varphi }^{(R)}(h)$且保持φ-递归结构。

定理Z13.3.1 (φ-递归表示的完整可约性定理)

陳述：φ-递归群表示在递归希尔伯特框架中完全可约为Fibonacci不可约表示的直和： $${\rho }_{\varphi }^{(R)}=\underset{k\in \mathbb{Z}}{⨁}{\eta }^{(\varphi )}(k;0)\cdot {\rho }_k^{(irreducible)}$$

其中${\eta }^{(\varphi )}(k;0)=F_k$是相对论指标权重。

证明： 步骤1：递归希尔伯特空间的表示理论 在第1章母空间${\mathcal{H}}^{(\infty )}$中，群表示通过递归结构分解。

步骤2：Z06章φ-特征值的表示分解 Z06.1节φ-特征值在群表示中表现为： 表示空间按φ-本征值分解为不可约子表示。

步骤3：Fibonacci权重的不可约分解 不可约表示${\rho }_k^{(irreducible)}$的维度和权重： $$\dim ({\rho }_k^{(irreducible)})=|F_k|$$ $$\text{Weight}({\rho }_k^{(irreducible)})={\varphi }^{-|k|}$$

其中$|F_k|$确保负索引Fibonacci扩展$F_{-k}=(-1{)}^{k+1}{F}_k$在维度中的对称性。

步骤4：完全可约性的递归验证 $${\rho }_{\varphi }^{(R)}=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{F}_k\cdot {\rho }_k^{(irreducible)}$$

此直和分解通过φ-权重${\varphi }^{-k}$保证收敛，实现完全可约性。$\square$

推论Z13.3.1 (φ-群表示的Fibonacci分解完备性)

陳述：φ-递归群表示通过Fibonacci权重实现完全可约的递归分解。

Fibonacci对称群的递归表示

φ-对称结构的群表示分析

基于Z06.2节φ-几何对称和群表示理论，分析Fibonacci对称群的递归表示。

定理Z13.3.2 (Fibonacci对称群的递归表示理论)

陳述：Fibonacci对称群$G_{\text{Fib}}$在递归希尔伯特空间中具有自然表示： $${\rho }_{\text{Fib}}^{(R)}:G_{\text{Fib}}\to \text{U}({\mathcal{H}}^{(Z)})$$

表示矩阵元素为：$⟨e_i|{\rho }_{\text{Fib}}^{(R)}(g)|e_j⟩={\varphi }^{-d(i,j)}{\delta }_{f_g(i),j}$

证明： 步骤1：Fibonacci对称群的定义 Fibonacci对称群包含：

• Fibonacci递归变换：$F_n\to F_{n+1},F_{n-1}$
• φ-比例变换：$x\to \varphi x$
• 约束对称：保持No-11约束的置换

步骤2：Z06.2节φ-几何对称的群实现 Z06.2节φ-几何对称在群表示中的实现： 几何变换对应幺正表示。

步骤3：表示矩阵的φ-递归结构 群元素$g$的作用：$|e_i⟩\to {\sum }_j{U}_{ij}^{(g)}|e_j⟩$

φ-递归结构要求：$U_{ij}^{(g)}={\varphi }^{-d(i,j)}{\delta }_{f_g(i),j}$

其中$d(i,j)$是递归距离，$f_g$是群作用的索引映射。

步骤4：表示的幺正性验证 $$\sum _k{U}_{ik}^{(g)\ast }{U}_{kj}^{(g)}={\delta }_{ij}$$

通过φ-权重的正交性保证。$\square$

推论Z13.3.2 (Fibonacci对称的递归幺正表示)

陳述：Fibonacci对称群通过φ-权重调制在递归希尔伯特空间中实现幺正表示。

φ-模表示的递归结构

φ-调制模表示的深层分析

研究φ-递归结构在模表示论中的应用。

定理Z13.3.3 (φ-模表示的递归分解定理)

陳述：φ-递归模表示具有Fibonacci分层的模结构： $$M_{\varphi }^{(R)}=\underset{k\in \mathbb{Z}}{⨁}{\eta }^{(\varphi )}(k;0)\cdot M_k$$

其中$M_k$是第$k$层的不可约φ-模。

证明： 步骤1：模表示的φ-递归分层 φ-递归结构在模表示中表现为分层结构： 每层对应不同的Fibonacci复杂度。

步骤2：不可约φ-模的构造 第$k$层不可约模： $$M_k=\text{span}\{v\in {\mathcal{H}}^{(Z)}:\text{Fibonacci-depth}(v)=k\}$$

步骤3：模作用的φ-权重调制 群元素在φ-模上的作用： $$g\cdot m_k={\varphi }^{action-weight}{m}_{k^{\prime }}$$

其中作用权重由φ-递归结构确定。

步骤4：模分解的完整性 $$M_{\varphi }^{(R)}=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{F}_k\cdot M_k$$

此分解通过Z06章Fibonacci权重完整覆盖φ-模结构。$\square$

推论Z13.3.3 (φ-模表示的Fibonacci完整分层)

陳述：φ-递归模表示通过Fibonacci分层实现模结构的完整递归分解。

Z13.3节的φ-表示论深层结构成果

本节建立了φ-递归表示论的完整数学理论：

核心表示论成果：

• φ-群表示的Fibonacci完全可约性：通过$F_k$权重的不可约表示直和分解
• Fibonacci对称群的递归幺正表示：φ-权重调制的幺正表示矩阵
• φ-模表示的递归分层理论：Fibonacci分层的完整模结构分解

理论深化意义：

• 建立了φ-递归结构在表示论中的完整数学理论
• 发现了Fibonacci对称的群表示深层机制
• 为φ-对称分析提供系统的表示论工具

Z13.3节扩展了φ-递归数学在代数学中的深度应用！

下一节将完成Z13章，发展φ-递归代数几何的簇理论。