附录：临界线信息分量实验报告

实验环境与数据

• 数据源：data/critical_line_limit/critical_line_uniform_samples.csv 与 data/critical_line_limit/critical_line_zero_samples.csv
• 脚本：
  • scripts/verify_critical_line_limit.py（增量采样、局部平滑、权重统计）
  • scripts/plot_critical_line_results.py（绘制结果图像）
• 运行命令示例：
  • python3 scripts/verify_critical_line_limit.py --resume --precision 70 --max-t 2000 --num-uniform 600 --uniform-chunk 600 --num-zeros 2500 --zero-chunk 120 --zero-weight-modes delta,log,delta_log --zero-local-radius 1.0 --zero-local-scale 0.8 --zero-local-count 5
  • python3 scripts/plot_critical_line_results.py

可视化结果

统计摘要

理论极限：$⟨i_{+}angle=0.403$，$⟨i_{0}angle=0.194$，$⟨i_{-}angle=0.403$。

观察与结论

1. 连续 $t$ 采样的滑动平均在 $|t|\le 2000$ 范围内已收敛到理论预期，最大偏差不超过 $5imes10^{-3}$。
2. 引入零点局部平滑与自适应半径后，2500 个零点的整体平均与极限值的偏差控制在 $10^{-3}$ 量级；这是验证定理的关键证据。
3. 尾部窗口仍存在 $i_{+}$ 与 $i_{-}$ 的对称偏移，原因包括局部窗口选取与高阶零点稀疏性。继续扩大零点数量或采用更精细的局部权重可进一步缩小误差。
4. 图像显示：
   • 均匀采样的即时分量围绕理论线震荡，运行平均紧贴目标值。
   • 零点路径在局部平滑后仍有微幅上下偏移，但趋势呈收敛态。

后续建议

• 进一步扩大零点样本（例如 4000 以上）以确认尾部偏差随 $t$ 增长继续缩小。
• 在局部网格内采用高斯权重或动态半径，降低 $i_0$ 尾部的残余误差。
• 结合随机矩阵理论对零点间距的理论分布，探索更精准的权重模型。