附录 C：核心定理证明集

Appendix C: Proofs of Core Theorems

本书正文中提出了许多具有颠覆性的物理命题，如“光程守恒“、“引力即熵力“以及“概率即计数”。虽然我们在正文中给出了物理图像和启发式推导，但作为一个严肃的理论体系，这些命题必须建立在严格的数学证明之上。

本附录汇集了支撑全书理论框架的三个最核心定理的完整数学证明。这些证明不依赖于模糊的类比，而是直接基于公理 $\Omega$（幺正 QCA）和标准的算子代数推导而来。

C.1 光程守恒定理的算子代数证明

命题：在任意满足平移不变性和局域幺正性的离散 Dirac-QCA 模型中，单粒子激发态的外部群速度 $v_{ext}$ 与内部演化速度 $v_{int}$ 满足 $v_{ext}^2+v_{int}^2=c^2$。

证明：

1. 哈密顿量的正交分解

   在连续极限下（$\Delta x,\Delta t\to 0$），一维 Dirac-QCA 的演化算符 $\hat{U}$ 可以生成一个有效的哈密顿量 $\hat{H}$。对于二分量旋量场 $\psi =({\psi }_L,{\psi }_R{)}^T$，最通用的平移不变哈密顿量形式为：

   $$\hat{H}=c\hat{p}{\sigma }_z+m{c}^2{\sigma }_x$$

   其中：

   • $c$ 是格点最大传播速度。

   • $\hat{p}=-i\hslash {\partial }_x$ 是动量算符。

   • $m$ 是由局域混合角 $\theta$ 决定的质量参数（见正文第五章）。

   • ${\sigma }_z,{\sigma }_x$ 是泡利矩阵，分别作用于内部手性空间。

2. 总演化速率的算符模长

   量子态在希尔伯特空间中的总演化速率（Fubini-Study 速度）由哈密顿量的方差或模长决定。对于能量本征态 $|{\psi }_E⟩$，其随时间演化的相位旋转速率的模方正比于 $E^2$：

   $$E^2=⟨{\psi }_E|{\hat{H}}^2|{\psi }_E⟩$$

3. 利用反对易关系

   计算算符 ${\hat{H}}^2$：

   $$\begin{array}{rl}{\hat{H}}^2& =(c\hat{p}{\sigma }_z+m{c}^2{\sigma }_x)(c\hat{p}{\sigma }_z+m{c}^2{\sigma }_x)\\ & =c^2{\hat{p}}^2{\sigma }_z^2+m^2{c}^4{\sigma }_x^2+cm{c}^2\hat{p}({\sigma }_z{\sigma }_x+{\sigma }_x{\sigma }_z)\end{array}$$

   利用泡利矩阵的代数性质：

   • ${\sigma }_z^2=\mathbb{I},{\sigma }_x^2=\mathbb{I}$

   • 反对易性：$\{{\sigma }_z,{\sigma }_x\}={\sigma }_z{\sigma }_x+{\sigma }_x{\sigma }_z=0$

   交叉项消失，得到对角化的能量算符：

   $${\hat{H}}^2=(c^2{\hat{p}}^2+m^2{c}^4)\mathbb{I}$$

4. 速度分量的映射

   上式两边取期望值并除以 $E^2$（归一化）：

   $$1=\frac{c^2{p}^2}{E^2}+\frac{m^2{c}^4}{E^2}$$

   • 外部速度项：根据群速度定义 $v_g=\frac{\partial E}{\partial p}$。由色散关系 $E^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4$ 微分可得 $2EdE=2p{c}^{2}dp$，故 $v_{ext}\equiv v_g=\frac{c^{2}p}{E}$。

     因此，第一项 $\frac{c^2{p}^2}{E^2}=\frac{v_{ext}^2}{c^2}$。

   • 内部速度项：定义内部速度 $v_{int}$ 为静止能量（质量项）在总能量中的占比投影到光速上，即 $v_{int}=c\cdot \frac{m{c}^2}{E}$。

     因此，第二项 $\frac{m^2{c}^4}{E^2}=\frac{v_{int}^2}{c^2}$。

5. 结论

   代回原式：

   $$1=\frac{v_{ext}^2}{c^2}+\frac{v_{int}^2}{c^2}⟹v_{ext}^2+v_{int}^2=c^2$$

   证毕。

C.2 信息-引力变分原理 (IGVP) 的变分推导

命题：若时空几何是为了最大化全息纠缠熵而涌现的宏观结构，则度规场 $g_{\mu \nu }$ 必须满足爱因斯坦场方程 $G_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }$。

证明：

1. 构造总熵泛函（Total Entropy Functional）

   定义宇宙在一个局域因果菱形内的总熵 $S_{tot}$ 为几何熵 $S_{geom}$ 与物质熵 $S_{matter}$ 之和。根据热力学第二定律，平衡态对应于熵的极值点。

   泛函形式（作用量 $I=-S$）：

   $$I[g]=I_{geom}[g]+I_{matter}[g,\psi ]$$

2. 几何熵项

   根据 QCA 的离散结构，几何熵正比于网络连接的复杂度。在连续极限下，这是时空流形的曲率积分（Wald 熵的推广）：

   $$I_{geom}=\frac{1}{16\pi G}{\int }_{\mathcal{M}}{d}^{4}x\sqrt{-g}R$$

   其中 $G$ 是与普朗克面积元 $l_P^2$ 有关的常数。

3. 物质熵项

   物质熵由物质场 $\psi$ 在弯曲背景下的配分函数 $Z[g]$ 决定，其对数对应于有效作用量：

   $$I_{matter}={\int }_{\mathcal{M}}{d}^{4}x\sqrt{-g}{\mathcal{L}}_m$$

4. 对度规的变分

   我们要寻找使得总作用量对于度规扰动 $\delta g^{\mu \nu }$ 为驻值的几何结构。

   $$\delta I=\delta I_{geom}+\delta I_{matter}=0$$

   • 几何部分变分：

     利用恒等式 $\delta \sqrt{-g}=-\frac{1}{2}\sqrt{-g}{g}_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }$ 和帕拉蒂尼恒等式 $\delta R=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+{\nabla }_{\mu }{v}^{\mu }$（边界项忽略）：

     $$\delta I_{geom}=\frac{1}{16\pi G}\int d^{4}x\sqrt{-g}\left(R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }\right)\delta g^{\mu \nu }$$

   • 物质部分变分：

     根据定义，应力-能量张量 $T_{\mu \nu }$ 是物质作用量对度规的响应：

     $$T_{\mu \nu }\equiv -\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta I_{matter}}{\delta g^{\mu \nu }}$$

     因此：

     $$\delta I_{matter}=-\frac{1}{2}\int d^{4}x\sqrt{-g}{T}_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }$$

5. 导出场方程

   由 $\delta I=0$，对任意 $\delta g^{\mu \nu }$ 成立，被积函数必须为零：

   $$\frac{1}{16\pi G}(R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu })-\frac{1}{2}{T}_{\mu \nu }=0$$

   整理得：

   $$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }$$

   证毕。

C.3 波恩规则的迹类计数证明

命题：在离散、幺正且满足环境辅助不变性（Envariance）的 QCA 系统中，测量结果的概率 $P_k$ 唯一地由振幅模方 $|c_k{|}^2$ 决定。

证明：

1. 施密特分解

   设系统 $S$ 与环境 $E$ 处于纠缠态：

   $$|\Psi ⟩=\sum _{k=1}^N{c}_k|s_k⟩|e_k⟩$$

   其中 $|s_k⟩,|e_k⟩$ 分别为正交基。

2. 有理数逼近与细粒化

   假设 $|c_k{|}^2$ 为有理数（在离散系统中总是成立），令 $|c_k{|}^2=n_k/M$，其中 $M=\sum n_k$ 是总微观状态数。

   我们可以将环境基底 $|e_k⟩$ 进一步分解为 $n_k$ 个等权重的微观基底 $|e_{k,\alpha }⟩$ 的叠加：

   $$|e_k⟩\to \frac{1}{\sqrt{n_k}}\sum _{\alpha =1}^{n_k}|e_{k,\alpha }⟩$$

   代入原态，并忽略总体相位：

   $$|{\Psi }^{\prime }⟩=\frac{1}{\sqrt{M}}\sum _{k=1}^N\sum _{\alpha =1}^{n_k}|s_k⟩|e_{k,\alpha }⟩$$

3. 环境交换对称性

   现在，态 $|{\Psi }^{\prime }⟩$ 是 $M$ 个项的等权重叠加。每一项的形式为 $|s_k⟩|e_{k,\alpha }⟩$。

   对于环境微观态 $|e_{k,\alpha }⟩$ 和 $|e_{j,\beta }⟩$，存在幺正算符 ${\hat{U}}_E$ 可以交换它们而不改变 $|s_k⟩$ 部分。

   根据 Envariance 原理，物理概率不应依赖于环境的标签。因此，每一个微观项 $|s_k⟩|e_{k,\alpha }⟩$ 出现的概率必须相等，均为 $p=1/M$。

4. 宏观概率求和

   观察者测得宏观状态 $|s_k⟩$ 的概率 $P_k$，是所有与之兼容的微观项概率之和：

   $$P_k=\sum _{\alpha =1}^{n_k}p=n_k\cdot \frac{1}{M}=\frac{n_k}{M}$$

   回顾定义 $|c_k{|}^2=n_k/M$，即得：

   $$P_k=|c_k{|}^2$$

   证毕。

作者结语：

这三个证明分别确立了本书在运动学（光程守恒）、动力学（场方程）和测量论（波恩规则）上的数学合法性。它们共同构成了一个逻辑闭环，证明了物理实在可以完全从“幺正计算“这一单一公理中涌现出来。