4.2 局域信息体积守恒：为什么信息挤压时间就必须撑大空间？

在 4.1 节中，我们定性地确立了“几何即纠缠“的观念。时空的弯曲不再是物质对背景舞台的扭曲，而是物质对纠缠网络连接性的干扰。

然而，从定性图像走向定量的爱因斯坦场方程，我们需要一个更强硬的数学约束。如果仅仅是“纠缠减少导致距离增加“，我们只能得到某种标量引力理论（类似于牛顿势的相对论推广）。早期的此类尝试（如 1911 年爱因斯坦的变光速理论）预测的光线偏折角只有广义相对论预测值的一半。

本节将通过引入**“局域信息体积守恒”**这一关键原理，解决“半角问题“，并推导出正确的光学度规形式。这个原理不仅是数学上的补丁，更是 QCA 幺正性在统计力学层面的必然推论。

4.2.1 Liouville 定理的离散对应

在经典统计力学中，Liouville 定理指出：哈密顿系统的相空间体积在演化过程中是守恒的（不可压缩流）。这意味着，如果我们挤压动量空间，就必须拉伸坐标空间，以保持 $dp\cdot dq$ 不变。

在 QCA 中，对应物是幺正演化保持希尔伯特空间维度。

设一个局域体积元 $V$ 包含 $N$ 个量子比特。其希尔伯特空间维数为 $D=2^N$。

幺正演化算符 $\hat{U}$ 是满秩的，它将 $D$ 维空间映射到 $D$ 维空间。这意味着信息既不会被压缩（丢失），也不会被稀释（凭空产生）。

当我们在宏观尺度上定义连续的“物理坐标系“ $(t,x)$ 时，我们是在对底层的离散节点进行粗粒化（Coarse-graining）。

设物理度规为 $g_{\mu \nu }$。局域物理体积元（包括时间）为：

$$d{V}_{phys}=\sqrt{-g}{d}^{4}x$$

这个物理体积元直接对应于底层 QCA 的“操作数“或“自由度数“。

公理（局域信息体积守恒）：

在任意坐标变换或几何形变中，单位坐标体积内的有效量子自由度密度（Effective Degree of Freedom Density）必须保持不变。

4.2.2 时间延缓与空间膨胀的拮抗

考虑一个局域的信息处理密度 ${\rho }_{\text{info}}$ 较高的区域（例如存在大质量物体）。

根据光程守恒，内部运算加速意味着外部时钟变慢。我们用折射率 $n(x)>1$ 来描述这种时间延缓：

$$d\tau =\frac{1}{n(x)}dt$$

这意味着物理时间间隔 $d\tau$ 被压缩了（相对于坐标时间 $dt$）。或者说，单位坐标时间 $dt$ 内包含的物理“嘀嗒“数变少了。

如果仅仅发生时间延缓，那么这个时空区域内的总自由度就会减少（因为时间维度的容量缩水了）。为了满足体积守恒（Liouville 约束），空间维度必须进行补偿性的膨胀。

设空间缩放因子为 $a(x)$，即 $dl=a(x)dx$。

四维体积元的变化因子为：

$$\sqrt{-g}\propto \frac{1}{n}\cdot a^3$$

（对于 $3+1$ 维时空）。

为了保持相空间体积（或总信息容量）不变，我们需要 $\sqrt{-g}=1$ 吗？

更精确地说，我们需要考察相空间 $(x,k)$ 的体积。波矢 $k$ 与波长 $\lambda$ 成反比。

如果物理长度被拉伸 $a$，则物理动量截断（布里渊区边界）会缩小 $1/a$。

对于光子（或无质量场），其态密度 $\rho (\omega )\sim {\omega }^2$。频率红移 $\omega \to \omega /n$。

为了维持光子数守恒（或信息通道数守恒），空间体积的拉伸必须精确补偿频率截断的收缩。

经过严格的统计计数（详见附录），在各向同性介质中，守恒条件导出如下约束：

$${\eta }_t\cdot {\eta }_x=1$$

其中 ${\eta }_t=1/n$ 是时间流逝率因子，${\eta }_x=a$ 是空间拉伸因子。

因此，必然有：

$${\eta }_x=\frac{1}{{\eta }_t}=n$$

结论：如果引力导致时间变慢了 $n$ 倍，那么它必然同时导致空间被撑大了 $n$ 倍。

$$d\tau =\frac{1}{n}dt,dl=ndx$$

4.2.3 光学度规的推导

基于上述双重缩放，我们可以写出宏观的有效度规。

在平坦背景 $d{s}^2=-c^{2}d{t}^2+d{x}^2$ 上，引入缩放：

$$d{s}^2=-c^{2}d{\tau }^2+d{l}^2=-c^2(\frac{1}{n}dt{)}^2+(ndx{)}^2$$

整理得：

$$d{s}^2=-\frac{1}{n^2}{c}^{2}d{t}^2+n^2(d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2)$$

这就是著名的光学度规（Optical Metric），也称为 Gordon 度规。

在弱场近似下，折射率与牛顿引力势 $\Phi$ 有关（$n\approx 1-2\Phi /c^2$，注意 $\Phi <0$）：

$$g_{00}\approx -(1+2\Phi ),g_{ij}\approx (1-2\Phi ){\delta }_{ij}$$

这与广义相对论中史瓦西度规（Schwarzschild Metric）在各向同性坐标下的弱场展开完全一致。

4.2.4 解决半角问题

为什么这个修正如此重要？

如果我们只考虑时间延缓（标量引力），度规是 $d{s}^2=-(1+2\Phi )d{t}^2+d{x}^2$。

计算光线偏折时，光在空间中走直线，只受时间势的影响。偏折角 $\theta =\frac{2GM}{r{c}^2}$。

但在我们的光学度规中，空间也被“撑大“了 ($n^{2}d{x}^2$)。光线不仅因为时间慢而弯曲，还因为空间本身像透镜一样发生了形变。

根据费马原理 $\delta \int ndl=0$，空间部分的折射率贡献与时间部分相等。

总偏折角 $\theta ={\theta }_{time}+{\theta }_{space}=\frac{4GM}{r{c}^2}$。

这正是爱因斯坦在 1915 年最终修正后的结果，也是 1919 年爱丁顿观测验证的结果。

4.2.5 总结

本节证明了：时空的空间弯曲是时间延缓的必然伴侣。

只要我们承认：

1. 引力源于信息处理速率的局域差异（光程守恒）；

2. 底层演化遵循幺正性（信息体积守恒）；

那么，广义相对论的度规结构就是唯一的数学解。空间之所以必须弯曲，是因为如果不弯曲，信息在被时间“挤压“时就会无处可去，从而违反信息守恒定律。

引力，就是信息守恒在几何上的投影。