5.4 费米子统计的由来：Riccati 平方根与 ${\mathbb{Z}}_2$ 相位

在确立了“质量即拓扑结“的图像之后，我们面临本章最深刻的问题：为什么这些有质量的“结“必须是费米子？

在标准物理学中，自旋与统计的联系（自旋-统计定理）是通过相对论性量子场论中的公理推导出来的。它表明，自旋为半整数的粒子必须遵循费米-狄拉克统计（交换波函数变号），而整数自旋粒子遵循玻色-爱因斯坦统计（交换不变）。但在我们的离散本体论中，并没有预设连续的时空对称群，也没有预设旋量场。

本节将证明一个令人惊叹的结论：费米子统计不是一种任意的规则，而是任何能够在离散网络中维持自身存在的自指结构（Massive Particle）所必然携带的拓扑指纹。 这种指纹源于描述反馈回路的 Riccati 方程所固有的平方根结构。

5.4.1 自指系统的输入-输出关系

一个有质量粒子，本质上是一个“自我维持“的信息回路。我们可以将其抽象为一个黑盒，它接收输入信息 ${\psi }_{in}$，产生输出信息 ${\psi }_{out}$，同时部分输出被反馈回输入端以维持自身状态。

在 QCA 的传输线模型中，描述这种输入-输出关系的物理量是阻抗（Impedance） $Z$（或反射系数 $r$）。

$$Z=\frac{V}{I}(\text{电压/电流})$$

在量子力学对应中，$Z$ 对应于波函数在边界上的对数导数 $Z\sim {\psi }^{\prime }/\psi$。

一个稳定的粒子意味着其内部阻抗结构 $Z(x)$ 必须满足某种自洽方程。对于离散迭代系统，阻抗的演化遵循Riccati 方程（离散形式为莫比乌斯变换）：

$$Z_{n+1}=\frac{A{Z}_n+B}{C{Z}_n+D}$$

其中 $A,B,C,D$ 由 QCA 的局域演化算符 $\hat{U}$ 决定。

5.4.2 不动点与平方根分支

粒子作为一个稳定的拓扑孤子，意味着它不仅是在空间上局域的，而且在时间演化上是不动点（Fixed Point）。即，经过一个周期的内部演化后，其阻抗结构应当复原：

$$Z^{\ast }=\frac{A{Z}^{\ast }+B}{C{Z}^{\ast }+D}$$

解这个方程，我们得到一个一元二次方程：

$$C(Z^{\ast }{)}^2+(D-A)Z^{\ast }-B=0$$

其解为：

$$Z^{\ast }=\frac{(A-D)\pm \sqrt{(A-D{)}^2+4BC}}{2C}$$

这里出现了一个决定性的数学特征：平方根（Square Root）。

这意味着，任何自洽的、非平凡的稳定粒子态，其物理参数（阻抗 $Z$）都定义在一个双叶黎曼曲面（Double-sheeted Riemann Surface）上。

5.4.3 旋转、交换与 ${\mathbb{Z}}_2$ 相位

现在，我们考虑粒子的交换统计（Exchange Statistics）。

在 $3+1$ 维时空中，交换两个全同粒子 $1$ 和 $2$，拓扑上等价于将其中一个粒子绕另一个旋转 $360^{\circ }$（或者在质心系中将粒子自身旋转 $360^{\circ }$）。

在参数空间中，这个旋转操作对应于沿着黎曼曲面上的闭合路径演化一周。

由于 $Z^{\ast }$ 包含平方根 $\sqrt{\Delta }$（其中 $\Delta$ 是关于演化参数的复函数），当参数绕原点旋转 $2\pi$ 时，平方根函数会改变符号：

$$\sqrt{e^{i2\pi }}=e^{i\pi }=-1$$

这就是**${\mathbb{Z}}_2$ 拓扑相位**的来源。

• 对于玻色子（光子）：它们没有内部的自指反馈回路（$v_{int}=0$），因此不需要求解 Riccati 不动点。它们的态直接定义在单值平面上。旋转 $360^{\circ }$ 回到原点，相位不变（$+1$）。

• 对于费米子（有质量粒子）：它们必须维持一个自指死结（$v_{int}>0$）。这个结的数学解位于平方根的分支切割（Branch Cut）上。旋转 $360^{\circ }$ 导致系统滑到了黎曼曲面的另一叶，波函数获得了一个 $-1$ 的相位。

定理 5.4（质量-统计定理）：

在局域幺正的 QCA 网络中，任何由非线性自指反馈维持的稳定激发（即有质量粒子），其波函数必然是双值（Double-valued）的，从而在交换操作下表现出费米子统计。

5.4.4 旋量的本体论地位

这一发现彻底改变了我们对**旋量（Spinor）**的理解。

在传统几何中，旋量被定义为“旋转 $360^{\circ }$ 变号的几何对象“，通常被视为一种抽象的数学构造。

但在我们的理论中，旋量是“开方后的标量“。

• 物理可观测量（如能量、电荷、阻抗）是单值的（标量或矢量）。

• 底层的概率振幅（波函数）为了满足自洽方程，必须是这些可观测量的平方根。

因此，费米子并不是一种奇怪的、特殊的粒子。费米子是物质存在的常态。 任何试图在时空网络中“停下来“并维持自身身份的信息结构，都必须通过“开方“操作将自己锚定在拓扑结构上，从而不可避免地变成费米子。

5.4.5 总结：物质的三重奏

至此，我们完成了第三部“物质的涌现“。我们从公理 $\Omega$ 出发，构建了物质的完整微观图像：

1. 光子：无质量、无自指、单值相位的平移模式。

2. 质量：信息流的拓扑死结，通过内部震动（$v_{int}$）抵抗外部推力（惯性）。

3. 费米子：维持这种死结所需的自指逻辑必然引入的平方根结构，导致了 $-1$ 的交换相位。

这个图像不仅解释了“是什么“，还解释了“为什么“。它将质量、自旋和统计性质统一在了一个简单的几何-逻辑框架之下。

接下来的第四部，我们将探讨这台宇宙机器中最神秘的部件——观察者。我们将看到，当这些费米子结组成足够复杂的网络时，它们如何开始“看见“自己。