6.1 局域参考系的独立性：为什么每个元胞需要“翻译“？

在上一章中，我们解决了“物质是什么“的问题：物质是 QCA 网络中的拓扑结，其质量是维持自指循环所需的内部刷新率。现在，我们必须面对一个更为复杂的问题：物质之间如何相互作用？

在经典物理中，相互作用通过“场“（如电磁场、引力场）传播。在量子场论中，相互作用通过交换“规范玻色子“实现。但在我们的离散本体论中，既没有连续的场，也没有预设的玻色子。我们所有的，只是一个个独立的、在格点上运行的元胞。

本章将揭示一个惊人的事实：相互作用不是一种特殊的力，而是不同元胞之间为了达成“信息共识“而必须支付的通信成本。

规范场（Gauge Field）本质上是离散网络中的连接变量（Link Variable），它是用于“翻译“不同元胞局域参考系之间差异的几何对象。我们将从最底层的“局域独立性“公理出发，一步步推导出麦克斯韦方程组和杨-米尔斯理论。

6.1.1 公理 6.1（参考系局域性）

想象一个由数十亿台独立计算机组成的互联网。每台计算机都有自己的时钟（局域时间）和自己的文件系统（局域基底）。如果计算机 A 想要给计算机 B 发送一个文件，它们必须首先建立一个通信协议（Protocol），以确保 A 发出的“0“和“1“在 B 那里被正确解读。

在 QCA 宇宙中，情况非常类似。

公理 6.1（参考系局域性）：

QCA 网络中的每一个元胞 $x$ 都是一个独立的希尔伯特空间 ${\mathcal{H}}_x$。虽然所有 ${\mathcal{H}}_x$ 在数学上是同构的（例如都是 ${\mathbb{C}}^2$），但在物理上，不存在一个上帝视角的全局基底。

也就是说，每个元胞 $x$ 都有权任意选择自己的基底矢量 $|0{⟩}_x,|1{⟩}_x$。

这种选择的自由度构成了局域规范对称性。

• $U(1)$ 对称性：元胞 $x$ 可以任意改变其波函数的相位：$|\psi {⟩}_x\to e^{i\alpha (x)}|\psi {⟩}_x$。

• $SU(N)$ 对称性：如果元胞内部有 $N$ 个自由度（如夸克颜色），元胞 $x$ 可以任意旋转其内部坐标轴：$|\psi {⟩}_x\to \hat{U}(x)|\psi {⟩}_x$。

6.1.2 通信的挑战

如果元胞 $x$ 和相邻元胞 $y$ 定义的“相位零点“或“红色方向“不一致，那么当电子从 $x$ 移动到 $y$ 时，它的波函数会发生什么？

如果不加修正直接移动，电子的相位信息就会变得混乱（就像用两块走时不准的表来记录时间一样），这会导致信息丢失，违反幺正性。

6.1.3 解决方案：连接场（Connection Field）

为了在没有全局基底的情况下实现无损传输，网络必须在每两个相邻节点 $x,y$ 之间维护一个比较器或翻译器。

我们定义一个算符 ${\hat{U}}_{y\leftarrow x}$，称为连接变量（Link Variable）。它的作用是将 $x$ 的基底“翻译“成 $y$ 的基底。

信息传输方程：

$$|\psi {⟩}_y^{\text{received}}={\hat{U}}_{y\leftarrow x}|\psi {⟩}_x^{\text{sent}}$$

如果我们在 $x$ 处做了局域基底变换 ${\hat{V}}_x$，在 $y$ 处做了 ${\hat{V}}_y$，为了保证物理结果（传输后的态）不变，连接变量必须相应地变换：

$${\hat{U}}_{y\leftarrow x}^{\prime }={\hat{V}}_y{\hat{U}}_{y\leftarrow x}{\hat{V}}_x^{†}$$

这就是著名的规范变换法则。但在标准教科书中，这是为了让拉格朗日量不变而凑出来的规则；而在 QCA 中，这是保证不同节点间能“听懂“对方说话的逻辑必然。

6.1.4 物理图像

物理图像 6.1：

• 规范场不是一种物质，它是网络连接本身所携带的元数据（Metadata）。

• 电磁势 $A_{\mu }$ 记录了相邻元胞之间的时钟同步误差（相位差）。

• 强相互作用势 $G_{\mu }^a$ 记录了相邻元胞内部坐标系的相对扭曲。

这个观点彻底颠覆了我们对“力“的理解：力不是为了推动物体，而是为了修正参考系差异。 当参考系差异随时间和空间变化时（即存在曲率），为了维持信息的一致性，物体必须改变运动状态——这就是我们感觉到的“力“。

在下一节，我们将看到，这种单纯为了“翻译“而存在的连接场，是如何获得自己的动力学生命，演化成光子和胶子的。