7.2 波恩规则的组合学证明：基于 Zurek 旋转与微观态计数

在上一节中，我们通过“分支“概念消除了波函数坍缩的物理实在性，将测量解释为观察者视界的更新。然而，这只解决了测量问题的定性部分（为什么会有确定的结果），却留下了一个定量的谜题：为什么观察者发现自己处于某一特定分支的概率，严格遵循波恩规则 $P_k=|{\psi }_k{|}^2$？

在标准量子力学中，这是一个独立的公理。但在我们的“终极公理 $\Omega$“体系中，除了幺正性和局域性，没有任何关于概率的预设。如果波恩规则不能从幺正性中推导出来，那么我们的理论就是不完备的。

本节将提供一个纯粹基于**组合学（Combinatorics）和对称性（Symmetry）的证明。我们将展示：在离散的 QCA 网络中，所谓的“概率“，本质上是对全息网络中微观简并度（Micro-degeneracy）**的计数。

7.2.1 振幅的离散本体论：作为路径计数的权重

在连续量子力学中，复数振幅 $\alpha \in \mathbb{C}$ 是一个抽象的数学量。但在离散的路径积分（Sum-over-histories）视角下，振幅具有明确的计数含义。

考虑从初始状态 $|i⟩$ 到末态 $|f⟩$ 的演化。QCA 的幺正算符 $\hat{U}$ 可以被视为图上的路径权重总和。如果底层格点结构具有某种离散对称性（例如，所有基本路径的权重模长相等），那么宏观振幅的大小 $|\alpha |$ 实际上反映了通往该状态的微观路径数量（或微观状态的简并度）。

公理 7.2（微观等权公理）：

在 QCA 的最底层（普朗克尺度），所有正交的微观基底态（Micro-basis states）在本体论上是平权的。不存在“这个基底比那个基底更真实“的说法。

这意味着，如果两个宏观状态 $|A⟩$ 和 $|B⟩$ 在底层分别对应 $N_A$ 和 $N_B$ 个不可区分的微观状态，那么根据拉普拉斯的不充分理由原则（Principle of Insufficient Reason），观察者发现自己处于 $|A⟩$ 的概率应当是 $N_A/(N_A+N_B)$。

我们的任务是将波函数的振幅 $\alpha$ 与微观数 $N$ 联系起来。

7.2.2 施密特分解与环境辅助不变性 (Envariance)

我们将采用 Wojciech Zurek 提出的**环境辅助不变性（Envariance）**思想，并将其适配到离散框架中。

考虑系统 $\mathcal{S}$ 与环境 $\mathcal{E}$ 的纠缠态。根据施密特分解（Schmidt Decomposition），任意纯态总可以写成：

$$|{\Psi }_{\mathcal{S}\mathcal{E}}⟩=\sum _k{c}_k|s_k{⟩}_{\mathcal{S}}|e_k{⟩}_{\mathcal{E}}$$

其中 $|s_k⟩$ 是系统的指针态（Pointer States，如猫的死/活），$|e_k⟩$ 是环境的正交态（如记录了死活的光子）。

情况一：等权叠加

首先考虑最简单的情况，所有系数相等：$c_k=1/\sqrt{N}$。

$$|\Psi ⟩\propto |s_1⟩|e_1⟩+|s_2⟩|e_2⟩+\cdots +|s_N⟩|e_N⟩$$

我们要问：观察者测得状态 $|s_1⟩$ 的概率 $P(1)$ 是多少？

对称性论证：

1. 幺正交换（Unitary Swap）：我们可以对系统 $\mathcal{S}$ 施行一个幺正变换 ${\hat{U}}_{\mathcal{S}}$，交换 $|s_1⟩$ 和 $|s_2⟩$。这改变了物理状态：

   $$|s_2⟩|e_1⟩+|s_1⟩|e_2⟩+\dots$$

   此时，与 $|e_1⟩$ 关联的变成了 $|s_2⟩$。

2. 环境补偿（Environment Compensation）：但是，我们也可以对环境 $\mathcal{E}$ 施行一个逆变换 ${\hat{U}}_{\mathcal{E}}$，交换 $|e_1⟩$ 和 $|e_2⟩$。

   经过 ${\hat{U}}_{\mathcal{E}}{\hat{U}}_{\mathcal{S}}$ 的联合操作，状态变为：

   $$|s_2⟩|e_2⟩+|s_1⟩|e_1⟩+\dots$$

   这与初始状态 $|\Psi ⟩$ 数学上完全相同（只是求和顺序变了）。

3. 推论：既然对系统进行交换（改变了物理预测的目标）可以通过对环境进行操作（不改变系统物理预测）来完全抵消，这意味着物理概率不应该依赖于标签 $1$ 或 $2$。

   因此，必须有 $P(1)=P(2)=\cdots =P(N)=1/N$。

这证明了：对于系数模长相等的纠缠态，概率均等。

7.2.3 细粒化：从振幅到计数

现在处理一般情况，系数不相等。例如：

$$|\Psi ⟩=\sqrt{\frac{2}{3}}|0{⟩}_S|e_0{⟩}_E+\sqrt{\frac{1}{3}}|1{⟩}_S|e_1{⟩}_E$$

我们如何证明 $P(0)=2/3$？

在 QCA 离散本体论中，复数系数 $\sqrt{2/3}$ 不是基本的。它是一个**粗粒化（Coarse-grained）**的结果。它意味着环境状态 $|e_0{⟩}_E$ 实际上不是一个单一的微观态，而是两个不可区分的微观态的叠加。

我们将环境希尔伯特空间进行细粒化分解（Fine-graining）：

• $|e_0⟩\to \frac{1}{\sqrt{2}}(|e_{0,a}⟩+|e_{0,b}⟩)$

• $|e_1⟩\to |e_{1,a}⟩$

代入原式，我们得到一个更底层的微观态：

$$|\Psi ⟩\propto |0{⟩}_S|e_{0,a}⟩+|0{⟩}_S|e_{0,b}⟩+|1{⟩}_S|e_{1,a}⟩$$

（忽略归一化常数）。

现在，我们面对的是 3 个项的等权叠加。

根据之前的等概率定理，这 3 个微观分支出现的概率各为 $1/3$。

• 观察者看到 $|0⟩$ 的事件对应于前两个分支：$P(0)=1/3+1/3=2/3$。

• 观察者看到 $|1⟩$ 的事件对应于第三个分支：$P(1)=1/3$。

这正是 $|\alpha {|}^2$ 和 $|\beta {|}^2$！

7.2.4 为什么是平方？—— 勾股定理的统计学

为什么物理振幅 $\alpha$ 对应 $\sqrt{N}$ 而不是 $N$？这直接源于 QCA 的全局幺正性。

在 QCA 中，演化算符 $\hat{U}$ 保持向量的 $L_2$ 范数（模长）不变，这对应于几何上的勾股定理。

$$||\Psi |{|}^2=\sum |{\alpha }_i{|}^2=1$$

如果我们假设 ${\alpha }_i$ 代表微观路径数 $N_i$，那么叠加原理将变成 $L_1$ 范数守恒（概率直接相加），但这会破坏干涉现象的数学结构。

为了同时满足：

1. 线性叠加原理（量子力学的核心特征）；

2. 概率守恒（逻辑一致性）；

概率必须是振幅的二次型函数。

在 QCA 的离散几何中，振幅是“边的长度“，而概率是“面的面积“。

• 微观状态数 $N$ 对应于希尔伯特空间中的体积（Measure）。

• 当我们把一个大向量投影到基底上时，投影的长度平方代表了该基底方向上包含的体积份额。

定理 7.2（波恩规则推导定理）：

在一个满足幺正演化和环境辅助不变性的离散 QCA 系统中，任何局域观察者测量得到结果 $k$ 的主观概率 $P_k$，必然等于该分支振幅的模方 $|c_k{|}^2$。

7.2.5 结论

波恩规则不再是一个令人困惑的公理。它是我们在一个确定的、幺正的宇宙中进行不完全观测时，对微观状态进行计数的结果。

• 上帝不掷骰子：全宇宙的演化是 100% 确定的。

• 骰子在我们心中：因为我们是有限的观察者，我们只能看到巨大的全息网络的一个切片。我们所感知的“随机性“，实际上是我们对自己处于网络中哪个位置的无知（Ignorance）。

概率，是主观视界对客观信息的度量。