Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

3.2 因果局域性定理：从有限传播半径推导严格光锥结构

在 3.1 节中，我们建立了 QCA 宇宙的运动学基础，并引入了动力学核心——局域幺正更新算符 $U$。本节将证明，正是 $U$ 的代数局域性（Algebraic Locality），在离散的图背景上严格导出了物理学中至关重要的光锥结构（Light Cone Structure）。

在连续量子场论中，因果性通常作为公理被预先施加（例如微观因果性公理：类空间隔的场算符对易）。而在本书的离散本体论中，因果性并非先验假设，而是从微观离散动力学中涌现出的定理。我们将证明，信息的传播速度存在一个严格上限，这一上限在宏观极限下即体现为光速 $c$。

3.2.1 代数支撑与海森堡演化

为了数学化地描述“信息传播“，我们需要在海森堡绘景（Heisenberg Picture）下考察可观测量（算符）随时间的演化。

定义 3.2.1 (算符的支撑集 / Support)

对于全代数 $\mathcal{A}$ 中的一个局域算符 $O$，若它仅在 $\Lambda$ 的子集 $R\subset \Lambda$ 上作用非平凡（即在 $R$ 的补集上表现为恒等算符 $1$），则称 $R$ 为该算符的支撑集，记为 $\text{supp}(O)$。

形式上，若 $O\in {\mathcal{A}}_R\otimes 1_{\Lambda \setminus R}$，则 $\text{supp}(O)\subseteq R$。

定义 3.2.2 (动力学映射)

设 $U$ 为 QCA 的一步更新算符。对于任意算符 $A\in \mathcal{A}$，其一步时间演化由自同构 $\alpha$ 给出：

$$\alpha (A)=U^{†}AU$$

$t$ 步演化记为 ${\alpha }^t(A)=(U^{†}{)}^{t}A{U}^t$。

3.2.2 严格局域性定理

连续系统中的 Lieb-Robinson 界限表明，信息传播在光锥外呈指数衰减，但在数学上仍非严格为零。与之形成鲜明对比的是，QCA 的离散结构保证了严格的（Strict） 局域性，即光锥外的信息泄漏为严格零。

定理 3.2.3 (有限传播半径定理)

设 QCA 的更新算符 $U$ 满足结构局域性（定义 3.1.2），即对任意单点算符 $A_x$（支撑于 $x$），$\text{supp}(\alpha (A_x))\subset \mathcal{N}(x)$，其中 $\mathcal{N}(x)$ 是 $x$ 的有限邻域。

则对于任意局域算符 $O$ 及其 $t$ 步演化 ${\alpha }^t(O)$，存在一个仅依赖于图结构和 $t$ 的有限区域 ${\mathcal{C}}_t(\text{supp}(O))$，使得：

$$\text{supp}({\alpha }^t(O))\subseteq {\mathcal{C}}_t(\text{supp}(O))$$

该区域 ${\mathcal{C}}_t$ 随时间 $t$ 线性增长。

证明：

我们对时间步 $t$ 进行归纳。

1. 基准情形 ($t=0$)：${\alpha }^0(O)=O$，支撑集不变。

2. 归纳步骤：假设 $t=k$ 时，$\text{supp}({\alpha }^k(O))\subseteq R_k$。

   考虑 $t=k+1$：

   $${\alpha }^{k+1}(O)=\alpha ({\alpha }^k(O))$$

   由于 ${\alpha }^k(O)$ 可以分解为支撑在 $R_k$ 上的一组基算符的线性组合，而根据 $U$ 的局域性，支撑在 $y\in R_k$ 上的算符演化后支撑在 $\mathcal{N}(y)$ 内。

   因此，${\alpha }^{k+1}(O)$ 的支撑集包含在 $R_k$ 的邻域并集中：

   $$R_{k+1}=\bigcup _{y\in R_k}\mathcal{N}(y)$$

   若图 $\Lambda$ 具有均匀度数（例如晶格），且邻域半径为 $r$，则 $R_t$ 的线性尺度（直径）至多增长 $2r$。这证明了支撑集的扩张是严格有界的。

$\square$

3.2.3 几何光锥的构造

基于定理 3.2.3，我们可以纯粹从图论角度定义几何光锥。

定义 3.2.4 (几何影响锥)

对于时空点 $(x,n)\in \Lambda \times \mathbb{Z}$，其未来几何光锥 $C_{geo}^{+}(x,n)$ 定义为所有可能受到 $x$ 处 $n$ 时刻扰动影响的时空点集合：

$$C_{geo}^{+}(x,n)=\{(y,m)\in \Lambda \times \mathbb{Z}\mid m\ge n,\text{dist}(x,y)\le R\cdot (m-n)\}$$

其中 $R$ 是 $U$ 的传播半径（即邻域的最大图距离）。类似地，过去几何光锥 $C_{geo}^{-}(x,n)$ 是所有可能影响 $(x,n)$ 的点的集合。

这一几何定义给出了 QCA 宇宙中的最大速度（Maximal Velocity）：

$$v_{\max }=\frac{R}{\Delta t}(\text{设 }\Delta t=1)$$

这便是该离散宇宙中的“光速“ $c$。

3.2.4 因果结构：从对易子到偏序

物理上的因果性通常定义为“信号传递的可能性“。在量子力学中，这对应于两个可观测量的不对易性。如果 $[A,B]=0$，则测量 $A$ 不会影响 $B$ 的统计结果，即无信号传递。

定义 3.2.5 (因果偏序 $⪯$)

在事件集合 $E=\Lambda \times \mathbb{Z}$ 上定义关系 $⪯$：我们称事件 $(x,n)$ 因果前序于 $(y,m)$，记作 $(x,n)⪯(y,m)$，若存在局域算符 $A\in {\mathcal{A}}_{\{x\}}$ 和 $B\in {\mathcal{A}}_{\{y\}}$，使得在海森堡演化下：

$$[{\alpha }^{m-n}(A),B]\ne 0$$

（注：对于 $m<n$，定义为不相关）。

下面的定理确立了 QCA 几何结构与物理因果性的严格等价性，这在物理学基础中具有深远意义：因果结构不是强加的，而是局域动力学的直接推论。

定理 3.2.6 (因果局域性定理 / Causal Locality Theorem)

对于任意满足局域性条件的 QCA 宇宙，其物理因果关系 $⪯$ 严格包含于几何光锥关系 ${\le }_{geo}$ 中。即：

$$(x,n)⪯(y,m)⟹(y,m)\in C_{geo}^{+}(x,n)$$

换言之，若 $(y,m)$ 位于 $(x,n)$ 的几何光锥之外（类空间隔），则两点的任意局域可观测量必然对易：

$$\text{dist}(x,y)>R|m-n|⟹[{\alpha }^{m-n}(A_x),B_y]=0$$

证明：

设 $\Delta t=m-n$。若 $(y,m)$ 在几何光锥外，即 $y\notin B_{R\Delta t}(x)$（以 $x$ 为中心半径为 $R\Delta t$ 的球）。

根据有限传播半径定理（定理 3.2.3），${\alpha }^{\Delta t}(A_x)$ 的支撑集 $\text{supp}({\alpha }^{\Delta t}(A_x))$ 包含在 $B_{R\Delta t}(x)$ 内。

由于 $y\notin B_{R\Delta t}(x)$，故 $y$ 与 ${\alpha }^{\Delta t}(A_x)$ 的支撑集不相交。

在量子力学中，支撑集不相交的算符（作用于不同子系统的算符）总是对易的。

因此 $[{\alpha }^{\Delta t}(A_x),B_y]=0$。

证毕。

3.2.5 物理图景：光锥的“硬度“

在连续量子场论中，光锥外的关联函数通常是指数衰减的 $e^{-m|x|}$（例如在有质量场中），这导致了关于超光速影响的微妙讨论（如 Hegerfeldt 定理）。

然而，本定理表明，在离散本体论中，光锥是绝对坚硬的（Absolutely Hard）。在 $N$ 步演化内，没有任何信息、能量或纠缠可以越过 $N\times R$ 的图距离。

这一结论为狭义相对论在离散层面的涌现奠定了基础。闵可夫斯基时空的因果结构（$d{s}^2\ge 0$）正是上述离散因果偏序 $(E,⪯)$ 在连续极限下的平滑近似。我们将在第四章详细讨论这种涌现机制。