Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

3.3 离散诺特（Noether）定理：对称性、守恒流与格点上的幺正性

在连续时空和场论中，诺特（Noether）定理是连接物理对称性与守恒律的桥梁。对于离散的量子元胞自动机（QCA）宇宙，时空平移不再是连续群，而是离散群（如 $\mathbb{Z}$）。这似乎对诺特定理的直接应用构成了挑战。然而，本节将证明，在 QCA 的代数公理体系下，不仅诺特定理依然成立，而且其形式更加严格和基础。我们将展示对称性如何直接约束更新算符 $U$ 的结构，并导出格点上的离散连续性方程。

3.3.1 动力学对称性的代数定义

在 QCA 宇宙 $\mathfrak{U}=(\Lambda ,\mathcal{A},U)$ 中，对称性不再表现为拉格朗日量的变分不变性，而是表现为代数上的超算符对易关系。

定义 3.3.1 (动力学对称性)

设 $\mathcal{S}$ 为作用于全代数 $\mathcal{A}$ 上的一个变换群（如平移群、旋转群或内部规范群 $SU(N)$）。对于群中的任意元素 $g\in \mathcal{S}$，其在量子态或算符上的表示为幺正算符 $V_g$。若更新算符 $U$ 与 $V_g$ 对易，即：

$$[U,V_g]=0\text{或等价地}\alpha (V_g^{†}A{V}_g)=V_g^{†}\alpha (A)V_g$$

则称 $g$ 是动力学的一个对称性。

对于连续参数的李群对称性（如全局相位变换 $e^{i\theta Q}$），若 $U$ 对所有 $\theta$ 满足 $[U,e^{i\theta Q}]=0$，则通过对 $\theta$ 求导可得：

$$[U,Q]=0$$

这表明生成元 $Q$（作为全域可观测量）在海森堡演化下是守恒量，即 $\alpha (Q)=U^{†}QU=Q$。这就是全局离散诺特定理。

3.3.2 从全局守恒到局域流：离散连续性方程

物理学中更有意义的是局域守恒律。如果全域电荷 $Q={\sum }_x{q}_x$ 守恒，那么在离散格点上，某个元胞电荷的变化必然伴随着流向邻居的电流。对于局域 QCA，这种直觉可以被严格定理化。

定理 3.3.2 (离散诺特定理与连续性方程)

设 $Q={\sum }_{x\in \Lambda }{q}_x$ 为一个由局域密度算符 $q_x$ 构成的守恒量（即 $[U,Q]=0$），且 $U$ 满足结构局域性（传播半径为 $R$）。

则对于任意格点 $x$ 和时间步 $t$，存在一组流算符（Current Operators） ${\mathcal{J}}_{x\to y}(t)$，满足以下离散连续性方程：

$$q_x(t+1)-q_x(t)+\sum _{y\in \mathcal{N}(x)}{\mathcal{J}}_{x\to y}(t)=0$$

其中 ${\mathcal{J}}_{x\to y}$ 表示从 $x$ 流向邻居 $y$ 的荷流，且流算符满足反对称性 ${\mathcal{J}}_{x\to y}=-{\mathcal{J}}_{y\to x}$（在算符意义下需小心定义，通常指净流）。

证明构造：

考虑海森堡演化 $q_x(t+1)=U^{†}{q}_x(t)U$。由于 $[U,Q]=0$，我们有 $Q(t+1)=Q(t)$。

这并不意味着 $q_x(t+1)=q_x(t)$，而是意味着总和不变。

根据 $U$ 的局域性，算符 $q_x(t+1)$ 的支撑集 $\text{supp}(q_x(t+1))\subset \mathcal{N}(x)$。

我们可以将 $U^{†}{q}_{x}U$ 分解为：

$$U^{†}{q}_{x}U=q_x+\sum _{y\in \mathcal{N}(x)}{J}_{y\to x}$$

这里的具体构造依赖于 Margolus 分块或局域幺正分解。对于一维系统，若 $U$ 由局域门 $u_{x,x+1}$ 构成，则跨越键 $(x,x+1)$ 的流算符 $J_{x,x+1}$ 可以显式写为门操作前后局域荷的差值。

$\square$

这一方程不仅是数值计算中的守恒格式，更是物理上“荷“无法瞬间超距传输的数学保证。

3.3.3 幺正性作为根本守恒律：量子信息的守恒

在所有守恒律中，最基础的是概率守恒（或信息守恒），这对应于演化算符 $U$ 的幺正性（Unitarity）。这可以看作是物理定律在全局相位变换 $e^{i\theta }$ 下的不变性（$U(1)$ 对称性）。

命题 3.3.3 (幺正性与信息不灭)

QCA 的更新算符满足 $U^{†}U=U{U}^{†}=1$，这等价于希尔伯特空间中的模长守恒 $⟨\psi (t+1)|\psi (t+1)⟩=⟨\psi (t)|\psi (t)⟩$。

在离散本体论中，这对应于量子信息总量的守恒。若将量子态视为信息的载体，幺正性保证了信息既不会被凭空创造，也不会被彻底抹除（尽管可以因置乱而变得不可局域读取）。

这一性质在黑洞物理中至关重要。在我们的 QCA 框架下，即使是模拟黑洞蒸发的过程，由于底层演化 $U$ 是严格幺正的，信息悖论（Information Paradox）在本体论层面是不存在的。表观的信息丢失仅仅是因为我们将局域代数限制在了视界之外，忽略了流向内部或纠缠辐射的自由度。

3.3.4 对称性破缺与恢复：离散格点上的 Goldstone 模式

在离散格点上，某些连续对称性（如庞加莱群中的洛伦兹推进和连续旋转）在微观层面被显式破坏（Explicitly Broken）。格点只有离散的旋转对称性（如 ${\mathbb{Z}}_4$）和离散平移对称性（${\mathbb{Z}}^d$）。

问题：如果微观对称性是破缺的，宏观连续物理中的角动量守恒和洛伦兹不变性从何而来？

这将在第四章“从离散到连续的场论涌现“中详细解答。简而言之，当我们在长波极限（$k\to 0$）下观察 QCA 时，晶格效应被平均化，连续对称性作为意外对称性（Accidental Symmetry） 重新恢复。离散诺特定理保证了与之对应的“准守恒量“（如晶格动量）在低能极限下平滑过渡为连续守恒量（物理动量）。

总结

本节证明了，离散性和局域性并不妨碍物理守恒律的成立。相反，QCA 框架提供了一种无发散的、构造性的方式来定义“流“和“荷“。

1. 全局对称性 $[U,V_g]=0$ 保证了全局荷的守恒。

2. 结构局域性 保证了守恒律满足局域连续性方程。

3. 幺正性 保证了最底层的信息本体守恒。

这些守恒律构成了物理实在的“骨架“，限制了离散动力学的形式，使其不仅是一个数学游戏，而是一个自洽的物理宇宙模型。接下来，我们将探讨这些抽象的动力学如何产生复杂的计算结构——计算普遍性。