Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

第四章：从离散到连续的场论涌现

在第一卷的前三章中，我们建立了一个完全离散的本体论框架：物理宇宙被建模为一个满足有限信息公理的量子元胞自动机（QCA）$\mathfrak{U}=(\Lambda ,\mathcal{A},U,{\omega }_0)$。在这个图景中，没有连续的时空流形，没有微分方程，只有离散格点上的代数演化。

然而，宏观物理学的巨大成功建立在连续场论（如量子电动力学和广义相对论）的基础之上。本章的核心任务是搭建一座坚实的数学桥梁，证明连续场论并非与离散本体论相悖，而是其在**长波极限（Long-wavelength Limit）**下的有效描述。我们将从最基本的费曼路径积分（Feynman Path Integral）开始，展示它如何自然地从 QCA 的幺正演化中涌现。

4.1 路径积分离散化：费曼核的格点求和表示与连续极限

在标准量子力学中，费曼路径积分提供了一种直观且强有力的量子化方法：粒子从一点运动到另一点的概率幅是所有可能路径的加权和。在连续时空中，这涉及到数学上微妙的测度定义问题。但在我们的离散 QCA 框架下，路径积分不再是一个需要正则化的形式定义，而是一个严格的组合学恒等式。

4.1.1 离散传播子（Discrete Propagator）的定义

考虑 QCA 宇宙中的一步更新算符 $U$。对于任意两个格点 $x,y\in \Lambda$，我们定义从 $x$ 到 $y$ 经历 $t$ 步演化的离散传播子（或格点核）$K(y,t;x,0)$ 为：

$$K(y,t;x,0)=⟨y|U^t|x⟩$$

这里 $|x⟩$ 和 $|y⟩$ 是局域希尔伯特空间 ${\mathcal{H}}_{\Lambda }$ 的基矢（为简化记号，暂时假设每个元胞为单态或考虑标量分量，推广到旋量仅需引入内部索引）。

根据矩阵乘法的定义，$U^t$ 可以写成 $t$ 个 $U$ 的乘积。插入 $t-1$ 组完备性关系 ${\sum }_{z\in \Lambda }|z⟩⟨z|=1$，我们得到：

$$K(y,t;x,0)=\sum _{x_1,x_2,\dots ,x_{t-1}\in \Lambda }⟨y|U|x_{t-1}⟩⟨x_{t-1}|U|x_{t-2}⟩\cdots ⟨x_1|U|x⟩$$

这一公式是路径积分的原初形态。

4.1.2 图上的历史求和：费曼棋盘（Feynman Checkerboard）

上式中的每一个序列 $\gamma =(x_0,x_1,\dots ,x_t)$（其中 $x_0=x,x_t=y$）代表了粒子在离散时空网格 $\Lambda \times \mathbb{Z}$ 上的一条世界线（Worldline）或历史（History）。

定义 4.1.1 (离散作用量 / Discrete Action)

对于路径 $\gamma$，其对应的概率幅是各步转移矩阵元的乘积。我们可以将其写为指数形式：

$$A[\gamma ]=\prod _{k=0}^{t-1}⟨x_{k+1}|U|x_k⟩\equiv \exp \left(i{S}_{\text{disc}}[\gamma ]\right)$$

其中 $S_{\text{disc}}[\gamma ]$ 定义为离散作用量。若 $U$ 的矩阵元为复数 $u_{ba}=|u_{ba}|e^{i{\varphi }_{ba}}$，则离散作用量包含两部分：

$$S_{\text{disc}}[\gamma ]=\sum _{k=0}^{t-1}{\varphi }_{x_{k+1},x_k}-i\sum _{k=0}^{t-1}\ln |u_{x_{k+1},x_k}|$$

如果 $U$ 是置换矩阵或阿达玛（Hadamard）类型的门，模长部分通常为常数，作用量主要由相位累积决定。

定理 4.1.2 (格点路径求和公式)

离散传播子严格等于所有连接 $(x,0)$ 与 $(y,t)$ 的允许路径的加权和：

$$K(y,t;x,0)=\sum _{\gamma :x\to y}{e}^{i{S}_{\text{disc}}[\gamma ]}$$

由于 QCA 的有限传播半径 $R$（见 3.2 节），只有满足 $|x_{k+1}-x_k|\le R$ 的路径其振幅才非零。这意味着求和仅在几何光锥内的路径上进行，不存在发散问题。这被称为费曼棋盘模型的推广。

4.1.3 连续极限与平滑化

现在我们考察宏观极限。引入离散化参数：格距 $\epsilon$（对应物理长度 $a$）和时间步长 $\tau$（对应物理时间 $\Delta t$）。宏观坐标 $X=x\epsilon ,T=t\tau$。

我们要求在 $\epsilon ,\tau \to 0$ 的极限下，离散传播子 $K$ 能够收敛到连续量子力学的核 $K_{\text{cont}}(Y,T;X,0)$。这需要对更新算符 $U$ 的参数进行精细调节。

考虑一维狄拉克型 QCA（如 3.3 节所述），其更新算符在动量空间为：

$$U(k)=e^{-ik{\sigma }_z\epsilon }{e}^{-im\tau {\sigma }_x}$$

（此处采用自然单位制，参数映射见定理 3.4）。

对于一条路径 $\gamma$，其在格点上的“大折线“运动对应于粒子的锯齿形轨迹。当 $\epsilon \to 0$ 时，大量的微观“Zitterbewegung“（颤动）路径在统计上平均化。

引理 4.1.3 (相位平稳性与经典路径)

在路径求和 $\sum e^{i{S}_{\text{disc}}}$ 中，当作用量 $S_{\text{disc}}$ 远大于 $\hslash$（在我们的无量纲单位中即 $S\gg 1$）时，主要的贡献来自于那些使 $S_{\text{disc}}$ 对路径变分一阶导数为零的路径。这些路径对应于离散版本的欧拉-拉格朗日方程解，即经典轨迹。

在连续极限下，离散作用量 $S_{\text{disc}}[\gamma ]$ 收敛为连续泛函：

$$S_{\text{disc}}[\gamma ]\stackrel{\epsilon \to 0}{\to }{\int }_0^T\mathcal{L}(X,\dot{X})dt$$

其中拉格朗日量 $\mathcal{L}$ 由 $U$ 的微观参数决定。

4.1.4 从求和到泛函积分

通过上述极限过程，离散的求和符号 ${\sum }_{\gamma }$ 形式上转化为连续的泛函积分符号 $\int \mathcal{D}X$。

定理 4.1.4 (费曼核的涌现)

设 QCA 满足狄拉克连续极限条件（定理 3.4）。对于宏观观测者，格点传播子 $K(y,t;x,0)$ 在重整化后弱收敛于连续费曼核：

$$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }Z(\epsilon {)}^{-1}K(\lfloor X/\epsilon \rfloor ,\lfloor T/\tau \rfloor ;\lfloor X_0/\epsilon \rfloor ,0)={\int }_{X(0)=X_0}^{X(T)=X}\mathcal{D}X(t)\exp \left(\frac{i}{\hslash }{\int }_0^T{\mathcal{L}}_{\text{Dirac}}dt\right)$$

其中 $Z(\epsilon )$ 是波函数重整化常数，${\mathcal{L}}_{\text{Dirac}}=\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi$ 是狄拉克场的拉格朗日密度（在单粒子扇区对应于粒子的相对论性作用量）。

物理诠释：

这一结果表明，路径积分并非量子力学的基本公理，而是离散幺正演化的组合学性质在连续极限下的统计涌现。

1. 正则化是不必要的：在我们的理论中，$\epsilon$ 是物理的普朗克尺度截断，而不是一个需要取为零的数学辅助量。路径积分在本体论上始终是有限求和。

2. 虚时间的本质：通常场论中的威克转动（Wick Rotation）$t\to -i\tau$ 将路径积分转化为统计配分函数。在 QCA 中，这对应于研究算符 $U$ 的谱性质与转移矩阵（Transfer Matrix）的最大本征值问题。

通过这一节，我们完成了从“跳跃的算符“到“流动的场“的关键一跃。在这个框架下，费曼图（Feynman Diagrams）不再仅仅是微扰论的计算工具，而是对底层离散时空网络中粒子实际传播历史的拓扑描述。接下来，我们将具体推导旋量场（狄拉克方程）是如何从这种离散行走中诞生的。