Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

4.2 狄拉克方程的推导：量子行走（Quantum Walk）的长波极限与自旋的涌现

在上一节中，我们展示了标量场的费曼路径积分如何从离散 QCA 的传播子中自然涌现。然而，物质世界不仅仅由标量粒子构成，构成物质基石的费米子（电子、夸克等）遵循狄拉克方程（Dirac Equation），具有自旋和反粒子结构。在传统的连续场论中，旋量结构通常通过洛伦兹群的表示论引入。

本节将证明，在 QCA 的离散本体论中，自旋并非先验引入的自由度，而是离散量子行走（Quantum Walk）在时空网格上拓扑运动的必然产物。我们将构造一个最简单的离散动力学模型，通过严格的数学推导，展示它是如何在一个长波极限下收敛为相对论性的狄拉克方程的。

4.2.1 离散费米子模型：量子行走

考虑一维空间格点 $\Lambda =\mathbb{Z}$。为了描述具有非平凡动力学的“行走者“，最简单的局域 Hilbert 空间 ${\mathcal{H}}_x$ 不能是维数为 1 的标量，而必须至少是二维的，即 ${\mathcal{H}}_x\cong {\mathbb{C}}^2$。我们记这两个基态为 $|\uparrow ⟩$ 和 $|\downarrow ⟩$，它们将在连续极限下对应于费米子的两个手征分量（Chirality）或自旋分量。

全系统的状态空间为 $\mathcal{H}={\ell }^2(\mathbb{Z})\otimes {\mathbb{C}}^2$。任意时刻 $n$ 的状态 $|{\Psi }_n⟩$ 可以写为：

$$|{\Psi }_n⟩=\sum _{x\in \mathbb{Z}}\left({\psi }_n^{\uparrow }(x)|x,\uparrow ⟩+{\psi }_n^{\downarrow }(x)|x,\downarrow ⟩\right)$$

动力学演化由幺正算符 $W$ 驱动：$|{\Psi }_{n+1}⟩=W|{\Psi }_n⟩$。我们在 QCA 框架下选择标准的分步量子行走（Split-step Quantum Walk） 模型，其单步更新由“硬币抛掷“（Coin Tossing）和“条件平移“（Conditional Shift）组成。

定义 4.2.1 (狄拉克型 QCA 更新算符)

更新算符 $W$ 定义为两个局域算符的乘积：$W=S\circ C$。

1. 局域硬币算符 $C$：在每个格点上独立作用的旋转操作，混合上下分量。

   $$C=\underset{x\in \mathbb{Z}}{⨁}{R}_x(\theta )$$

   其中 $R_x(\theta )=e^{-i\theta {\sigma }_y}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$。参数 $\theta$ 控制混合程度，将在后文对应于粒子质量。

2. 条件平移算符 $S$：根据内态移动粒子的位置。

   $$S|x,\uparrow ⟩=|x+1,\uparrow ⟩,S|x,\downarrow ⟩=|x-1,\downarrow ⟩$$

4.2.2 离散演化方程

将上述算符作用于态矢量，我们可以写出分量形式的离散演化方程。

对于时刻 $n+1$ 的状态，其在位置 $x$ 的振幅来自于时刻 $n$ 的相邻位置经过旋转后的贡献：

$$\begin{array}{rl}{\psi }_{n+1}^{\uparrow }(x)& =\cos \theta \cdot {\psi }_n^{\uparrow }(x-1)-\sin \theta \cdot {\psi }_n^{\downarrow }(x-1)\\ {\psi }_{n+1}^{\downarrow }(x)& =\sin \theta \cdot {\psi }_n^{\uparrow }(x+1)+\cos \theta \cdot {\psi }_n^{\downarrow }(x+1)\end{array}$$

这一组差分方程完全描述了微观离散层面的动力学。注意，这里没有任何微分，也没有光速 $c$ 或质量 $m$，只有纯粹的信息转移和局域混合。

4.2.3 连续极限与重整化

为了从这个离散模型中“看到“连续物理，我们需要考察长波极限（Long-wavelength Limit）。即我们要关注那些波长远大于格距 $\epsilon$、频率远小于时间步长频率 $1/\tau$ 的解。

引入尺度参数：

• 空间步长（格距）：$\epsilon$

• 时间步长：$\tau$

• 物理坐标：$X=x\epsilon ,T=n\tau$

• 有效光速：$c=\epsilon /\tau$ （设为常数，通常取 $c=1$）

对于质量项，我们注意到如果 $\theta =0$，方程描述的是以速度 $c$ 向左和向右传播的无质量粒子。为了引入质量，旋转角 $\theta$ 必须在连续极限下趋于零。我们设定缩放关系：

$$\theta =m\tau =m\epsilon /c$$

其中 $m$ 为物理质量参数（在自然单位制下）。

4.2.4 狄拉克方程的严格推导

假设离散振幅 ${\psi }_n^{\uparrow /\downarrow }(x)$ 是连续可微函数 ${\Psi }^{\uparrow /\downarrow }(X,T)$ 在格点上的采样。我们将演化方程在 $(X,T)$ 处进行泰勒展开。

步骤 1：展开左侧（时间项）

$${\psi }_{n+1}(x)\approx \Psi (X,T+\tau )\approx \Psi (X,T)+\tau {\partial }_T\Psi (X,T)$$

步骤 2：展开右侧（空间与旋转项）

利用 $\cos \theta \approx 1-{\theta }^2/2\approx 1$ 和 $\sin \theta \approx \theta =m\tau$，以及 $\Psi (X\pm \epsilon )\approx \Psi (X)\pm \epsilon {\partial }_X\Psi$。

对于 $\uparrow$ 分量方程：

$$\begin{array}{rl}{\Psi }^{\uparrow }+\tau {\partial }_T{\Psi }^{\uparrow }& \approx (1)\cdot ({\Psi }^{\uparrow }-\epsilon {\partial }_X{\Psi }^{\uparrow })-(m\tau )\cdot ({\Psi }^{\downarrow }-\epsilon {\partial }_X{\Psi }^{\downarrow })\\ & \approx {\Psi }^{\uparrow }-\epsilon {\partial }_X{\Psi }^{\uparrow }-m\tau {\Psi }^{\downarrow }+O({\epsilon }^2,{\tau }^2,\epsilon \tau )\end{array}$$

消去两边的 ${\Psi }^{\uparrow }$ 并除以 $\tau$，利用 $c=\epsilon /\tau$：

$${\partial }_T{\Psi }^{\uparrow }=-c{\partial }_X{\Psi }^{\uparrow }-m{\Psi }^{\downarrow }$$

对于 $\downarrow$ 分量方程：

$$\begin{array}{rl}{\Psi }^{\downarrow }+\tau {\partial }_T{\Psi }^{\downarrow }& \approx (m\tau )\cdot ({\Psi }^{\uparrow }+\epsilon {\partial }_X{\Psi }^{\uparrow })+(1)\cdot ({\Psi }^{\downarrow }+\epsilon {\partial }_X{\Psi }^{\downarrow })\\ & \approx m\tau {\Psi }^{\uparrow }+{\Psi }^{\downarrow }+\epsilon {\partial }_X{\Psi }^{\downarrow }+O(\dots )\end{array}$$

消去两边的 ${\Psi }^{\downarrow }$ 并除以 $\tau$：

$${\partial }_T{\Psi }^{\downarrow }=c{\partial }_X{\Psi }^{\downarrow }+m{\Psi }^{\uparrow }$$

步骤 3：整理为矩阵形式

将两个分量合并为旋量 $\Psi (X,T)=\left(\begin{array}{c}{\Psi }^{\uparrow }\\ {\Psi }^{\downarrow }\end{array}\right)$，上述方程组可写为：

$${\partial }_T\left(\begin{array}{c}{\Psi }^{\uparrow }\\ {\Psi }^{\downarrow }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-c{\partial }_X& -m\\ m& c{\partial }_X\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\Psi }^{\uparrow }\\ {\Psi }^{\downarrow }\end{array}\right)$$

这可以重写为：

$${\partial }_T\Psi =-c{\sigma }_z{\partial }_X\Psi -im{\sigma }_y\Psi$$

（注：这里的 Pauli 矩阵基底选择取决于硬币算符的具体形式。通过基底变换 $\Psi \to U\Psi$，这可以变换为标准的狄拉克方程形式 $i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }\Psi -m\Psi =0$）。

例如，两边乘以 $i$，并识别哈密顿量：

$$i{\partial }_T\Psi =H_{\text{Dirac}}\Psi =\left(-ic{\sigma }_z{\partial }_X+m{\sigma }_y\right)\Psi$$

这正是一维有质量狄拉克粒子的哈密顿量。

4.2.5 物理诠释：自旋与颤动（Zitterbewegung）

这一推导揭示了极其深刻的物理图景：

1. 自旋的涌现：在离散 QCA 层面，并没有“自旋“这个内禀角动量概念，只有“向左走“和“向右走“的内部状态。然而，在连续极限下，这两个状态自然演化为狄拉克旋量的两个分量。宏观上观测到的自旋，本质上是微观粒子在离散网格上手性运动模式（Chiral Modes） 的统计表现。

2. 质量作为耦合常数：质量 $m$ 不再是一个外加的属性，而是来源于左右手性分量之间的耦合强度（即 QCA 中的旋转角 $\theta$）。粒子之所以有质量，是因为它在微观上不断地发生“左右变向“（Zigzag motion），导致有效传播速度低于光速 $c$。

3. 颤动（Zitterbewegung）的几何解释：薛定谔曾预言相对论电子存在微观颤动。在 QCA 图像中，这不再是数学奇点，而是真实的微观物理过程——粒子确实在以光速 $c$ 进行锯齿状运动，我们在宏观上看到的平滑轨迹只是这种高频颤动的平均。

定理 4.2.2 (QCA 收敛定理)

对于满足有限信息公理的 Dirac 型 QCA 宇宙 ${\mathfrak{U}}_{\mathrm{QCA}}(\Theta )$，当格距 $a\to 0$ 且旋转角 $\theta \sim ma$ 时，其动力学在索伯列夫范数（Sobolev Norm）意义下一致收敛于狄拉克方程演化。其有效光速由格点几何决定，有效质量由局域相互作用参数 ${\Theta }_{\mathrm{dyn}}$ 决定。

通过这一节，我们证明了物质场中最基本的费米子及其相对论波动方程，完全可以从一个简单的、局域的、离散的量子信息处理过程中推导出来。这有力地支持了“物质源于信息几何“的核心论点。在下一节，我们将进一步探讨作为连接变量的规范场是如何作为格点上的威尔逊线（Wilson Line）涌现的。