Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

4.3 规范场作为连接变量：格点上的威尔逊线（Wilson Line）与曲率

在 4.2 节中，我们证明了自旋和狄拉克方程可以从离散的量子行走中涌现。然而，物质场并非孤立存在，它们之间存在相互作用。在现代物理学中，所有基本相互作用（电磁力、弱力、强力）都由规范场（Gauge Fields） 描述。

本节将论证，规范场并非是被“添加“到时空中的某种流体，而是离散本体论中几何比较的必然产物。当我们在离散格点上比较不同位置的量子态时，由于局域希尔伯特空间基底的任意性，必须引入连接变量（Connection Variable）——即威尔逊线。这些连接变量的动力学正是规范场论。

4.3.1 局域相位的几何困境

考虑上一节导出的离散费米子场 $\psi (x)$。在 QCA 框架下，每个格点 $x$ 都有独立的希尔伯特空间 ${\mathcal{H}}_x$。根据有限信息公理，我们只能定义局域操作。这意味着，我们可以在每个格点独立地选择基底的相位（或更一般的幺正变换）。

定义 4.3.1 (局域规范变换)

对全系统状态进行如下局域幺正变换：

$$\psi (x)\mapsto e^{i\alpha (x)}\psi (x)$$

其中 $\alpha (x)$ 是依赖于位置的任意实函数。

现在考察 4.2 节中的“跳跃“项（即条件平移导致的动能项），它涉及相邻格点态的内积或叠加，例如 ${\psi }^{†}(x)\psi (x+1)$。在变换下：

$${\psi }^{†}(x)\psi (x+1)\mapsto e^{-i\alpha (x)}{\psi }^{†}(x)e^{i\alpha (x+1)}\psi (x+1)=e^{i(\alpha (x+1)-\alpha (x))}{\psi }^{†}(x)\psi (x+1)$$

除非 $\alpha (x)$ 是常数（全局对称），否则相位因子 $e^{i(\alpha (x+1)-\alpha (x))}$ 将破坏哈密顿量或更新算符 $U$ 的形式不变性。这被称为局域规范对称性的破坏。

物理本体论的危机与解决：

如果是连续流形，我们习惯认为相邻点是“平滑连接“的。但在离散格点上，两个希尔伯特空间 ${\mathcal{H}}_x$ 和 ${\mathcal{H}}_{x+1}$ 是完全分离的代数对象。要比较或叠加这两个空间的向量，必须先建立一个比较标准，即平行移动协议。

4.3.2 恢复对称性：作为平行移动的威尔逊线

为了使物理定律在局域基底变换下保持不变（即物理实在不依赖于描述者的参考系选择），我们必须引入一个新的自由度来“吸收“这个相位差。这个自由度存在于连接两个格点的边（Link）上。

定义 4.3.2 (连接变量 / Link Variable)

对于格点图 $\Lambda$ 上的每一条有向边 $(x,y)$，引入一个幺正算符 ${\mathcal{U}}_{x,y}$，作用于辅助的“规范寄存器“空间。在 $U(1)$ 规范群（如电磁场）下，它是一个复相位：

$${\mathcal{U}}_{x,y}=e^{i{\theta }_{x,y}}\in U(1)$$

我们要求它在局域规范变换下按如下规则变换：

$${\mathcal{U}}_{x,y}\mapsto e^{i\alpha (x)}{\mathcal{U}}_{x,y}{e}^{-i\alpha (y)}$$

构造 4.3.3 (规范协变导数)

利用连接变量，我们可以修正 QCA 中的跳跃项，构造出规范协变跳跃：

$${\psi }^{†}(x){\mathcal{U}}_{x,x+1}\psi (x+1)$$

在变换下：

$$\begin{array}{r}({\psi }^{†}(x)e^{-i\alpha (x)})(e^{i\alpha (x)}{\mathcal{U}}_{x,x+1}{e}^{-i\alpha (x+1)})(e^{i\alpha (x+1)}\psi (x+1))\\ ={\psi }^{†}(x){\mathcal{U}}_{x,x+1}\psi (x+1)\end{array}$$

该项保持不变。这正是离散版本的协变导数 $D_{\mu }={\partial }_{\mu }-i{A}_{\mu }$ 的原型。在这里，${\mathcal{U}}_{x,y}$ 对应于从 $y$ 到 $x$ 的威尔逊线（Wilson Line），即有限距离的平行移动算符：

$${\mathcal{U}}_{x,y}\sim \mathcal{P}\exp \left(i{\int }_y^x{A}_{\mu }d{x}^{\mu }\right)$$

4.3.3 离散曲率：帕拉克特（Plaquette）与和乐

连接变量 ${\mathcal{U}}_{x,y}$ 本身可以通过规范变换变成任何值（例如，对于开链，总可以选规范使得 $\mathcal{U}=1$）。真正的物理信息不蕴含在单条边中，而蕴含在闭合回路中。

定义 4.3.4 (帕拉克特算符 / Plaquette Operator)

考虑时空网格上的最小闭合回路（Plaquette），例如由 $x\to x+\hat{\mu }\to x+\hat{\mu }+\hat{\nu }\to x+\hat{\nu }\to x$ 构成的四边形（其中 $\hat{\mu },\hat{\nu }$ 为单位矢量）。定义回路上的**和乐（Holonomy）**算符：

$$W_{\mu \nu }(x)={\mathcal{U}}_{x,x+\hat{\mu }}{\mathcal{U}}_{x+\hat{\mu },x+\hat{\mu }+\hat{\nu }}{\mathcal{U}}_{x+\hat{\mu }+\hat{\nu },x+\hat{\nu }}{\mathcal{U}}_{x+\hat{\nu },x}$$

在 $U(1)$ 情形下，这是一系列相位的和：

$$W_{\mu \nu }(x)=\exp \left(i({\theta }_{x,x+\hat{\mu }}+{\theta }_{x+\hat{\mu },x+\hat{\mu }+\hat{\nu }}-{\theta }_{x+\hat{\nu },x+\hat{\mu }+\hat{\nu }}-{\theta }_{x,x+\hat{\nu }})\right)\equiv e^{i{\Phi }_{\mu \nu }(x)}$$

物理意义：离散曲率

这个相位 ${\Phi }_{\mu \nu }(x)$ 是规范不变的可观测量。它量化了当一个矢量沿闭合路径平行移动一周后产生的相移。根据几何定义，这正是曲率。

• 在空间-空间面上，它对应磁通量（Magnetic Flux）。

• 在时间-空间面上，它对应电场（Electric Field，通过时间步的演化相位差体现）。

4.3.4 连续极限：从格点到麦克斯韦与杨-米尔斯

为了证明这一离散结构在宏观上等价于我们熟悉的场论，我们再次取长波极限。

定理 4.3.5 (杨-米尔斯作用量的涌现)

设格距为 $a$，连接变量与连续规范势 $A_{\mu }(x)$ 的关系为 ${\mathcal{U}}_{x,x+\hat{\mu }}\approx e^{iag{A}_{\mu }(x)}$，其中 $g$ 为耦合常数。

当 $a\to 0$ 时，帕拉克特算符的实部（对应于威尔逊作用量）收敛于连续杨-米尔斯作用量：

$$\sum _P\left(1-\frac{1}{N}\mathrm{Re}\mathrm{Tr}{W}_P\right)\stackrel{a\to 0}{\to }\int d^{4}x\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }^a{F}^{a\mu \nu }$$

其中 $F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }+ig[A_{\mu },A_{\nu }]$ 为场强张量。

证明概要：

1. 泰勒展开：利用 Baker-Campbell-Hausdorff 公式展开乘积 $W_{\mu \nu }$。

   $$W_{\mu \nu }(x)\approx \exp \left(i{a}^{2}g({\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }+ig[A_{\mu },A_{\nu }])+O(a^3)\right)$$

2. 识别场强：指数上的项正是 $i{a}^{2}g{F}_{\mu \nu }$。

3. 展开余弦：对于威尔逊作用量 $S_W=\sum (1-\cos (a^{2}g{F}_{\mu \nu }))\approx \sum \frac{1}{2}(a^{2}g{F}_{\mu \nu }{)}^2$。

4. 积分极限：求和 $\sum$ 转化为积分 $\frac{1}{a^4}\int d^{4}x$。因子 $a^4$ 与 $(a^2{)}^2$ 抵消，留下正比于 $\int F^2$ 的项。

结论 4.3.6

规范场论并非因为“美学“或“对称性原理“被强加于物理学，而是离散时空几何一致性的必然要求。

• 物质（费米子）在格点上定义。

• 为了比较相邻格点的物质，必须引入连接器（威尔逊线）。

• 连接器的非平凡结构（和乐）表现为力场（电磁力、强力）。

这完成了从离散本体论到连续相互作用场论的推导闭环。在下一节，我们将探讨对称性破缺与恢复，解释为何宏观上我们会看到洛伦兹对称性，尽管微观格点显然破坏了它。