Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

4.4 洛伦兹对称性的破缺与恢复：重整化群流（RG Flow）的不动点分析

在 4.2 节和 4.3 节中，我们分别从离散 QCA 导出了狄拉克方程和规范场。这两个结果似乎表明我们已经完全恢复了相对论性量子场论。然而，这里隐藏着一个深刻的理论危机：QCA 定义在离散格点（如 ${\mathbb{Z}}^3$）上，而离散格点显然不具备连续的旋转对称性 $SO(3)$，更不用说包含洛伦兹推进（Boost）的庞加莱群 $SO(3,1)$。

在格点上，旋转对称性崩塌为离散的超立方体群（Hypercubic Group），时空平移对称性崩塌为 ${\mathbb{Z}}^4$。这意味着，原则上，沿轴向运动的粒子与沿对角线运动的粒子应具有不同的物理性质（如速度）。这与一切精密实验结果相悖。

本节将利用威尔逊重整化群（Wilsonian Renormalization Group） 的强有力工具证明：尽管微观动力学显式破坏了洛伦兹对称性，但在长波极限（红外不动点）下，洛伦兹对称性将作为一种意外对称性（Accidental Symmetry） 自动恢复。

4.4.1 晶格各向异性与庞加莱群的崩塌

考察 4.2 节中导出的一维 QCA 色散关系。对于动量为 $k$ 的粒子，其能量 $E_k$（即哈密顿量的本征值）由以下方程决定（设 $c=1$）：

$$\cos (E_k\tau )=\cos (k\epsilon )\cos (\theta )$$

其中 $\epsilon$ 为格距，$\tau$ 为时间步长，$\theta =m\tau$ 为质量参数。

在三维简单立方格子上，类似的无质量外尔（Weyl）费米子色散关系通常具有形式：

$$E(\mathbf{k}{)}^2\propto {\sin }^2(k_{x}a)+{\sin }^2(k_{y}a)+{\sin }^2(k_{z}a)$$

或者在更简单的标量模型中：

$$E^2=\frac{4}{a^2}\sum _{i=1}^3{\sin }^2\left(\frac{k_{i}a}{2}\right)$$

各向异性分析：

当 $|\mathbf{k}|a\ll 1$ 时，展开至四阶：

$$E^2\approx |\mathbf{k}{|}^2-\frac{a^2}{12}\sum _{i=1}^3{k}_i^4+O(a^4)$$

第一项 $|\mathbf{k}{|}^2$ 是旋转不变量，对应标准的相对论色散 $E=p$。然而，第二项 $\sum k_i^4$ 显式破坏了旋转对称性。

• 沿轴向 $(k,0,0)$：$E^2\approx k^2-\frac{a^2}{12}{k}^4$。

• 沿对角线 $(k,k,k)/\sqrt{3}$：$E^2\approx k^2-\frac{a^2}{36}{k}^4$。

这意味着，在极高能尺度（接近截断频率 $1/a$）下，光速是方向依赖的。这构成了离散本体论对狭义相对论的直接挑战。

4.4.2 重整化群视角：洛伦兹对称性作为意外对称性

为了解决上述矛盾，我们必须考察这些破坏对称性的项在尺度变换（Scale Transformation）下的行为。

定义 4.4.1 (重整化群流)

引入标度因子 $s>1$，对动量进行重标度 $k^{\prime }=sk$，并相应地重整化场算符 ${\varphi }^{\prime }=s^{-\Delta }\varphi$（其中 $\Delta$ 为缩放维数）。考察有效作用量 $S_{eff}$ 中各算符耦合常数 ${\lambda }_i$ 随 $s$ 的变化流向：

$$\frac{d{\lambda }_i}{d\ln s}={\beta }_i(\{\lambda \})$$

定理 4.4.2 (洛伦兹破坏项的无关性 / Irrelevance of Lorentz Violation)

在 $d=3+1$ 维时空中，标准动能项 $\int d^{4}x(\partial \varphi {)}^2$ 是边缘的（Marginal），其系数在 RG 流下保持不变（或对数跑动）。

然而，由格点引入的对称性破坏项（如 ${\sum }_i{\partial }_i^4$）对应的算符维度为 $4+2=6$（在能量量纲下）或更高。在自由场不动点附近，这些高维算符的耦合常数 ${\lambda }_{LIV}$ 随能标降低而衰减：

$${\lambda }_{LIV}(E)\sim {\lambda }_0{\left(\frac{E}{{\Lambda }_{UV}}\right)}^n,n\ge 2$$

其中 ${\Lambda }_{UV}\sim 1/a$ 为普朗克能标截断。

物理诠释：

当观测能量 $E\ll {\Lambda }_{UV}$ 时，所有破坏洛伦兹对称性的项都被极度压低。洛伦兹对称性并非微观定律的固有属性，而是红外不动点（Infrared Fixed Point） 附近的涌现属性。就像流体在宏观上表现出各向同性的纳维-斯托克斯方程，尽管其微观分子晶格（如果存在）并不是各向同性的。我们称这种对称性为意外对称性。

4.4.3 不动点分析：从色散关系看光速的各向同性化

让我们更严格地分析 RG 流的终态。考虑一个通用的二次型哈密顿量密度，包含所有与格点对称性兼容的项：

$$H(\mathbf{k})=c_{ij}{k}_i{k}_j+d_{ijkl}{k}_i{k}_j{k}_k{k}_l{a}^2+\dots$$

其中 $c_{ij}$ 和 $d_{ijkl}$ 是由微观 QCA 规则决定的张量。

1. 二阶项的对角化：

   在重整化过程中，通过场的波函数重整化（Rescaling of coordinates），我们总可以将二阶项 $c_{ij}$ 对角化并归一化为 ${\delta }_{ij}$。这一步确立了低能下的各向同性光速 $c_{eff}$。如果微观 QCA 在不同方向上的跳跃振幅差异过大，RG 流可能导向非相对论不动点；但对于满足立方对称性的 QCA（如 4.2 节模型），$c_{ij}$ 天然正比于 ${\delta }_{ij}$。

2. 高阶项的流向：

   四阶项 $d_{ijkl}$ 的量纲为 $[L{]}^2$（相对于二阶项）。在 RG 变换 $x\to sx$ 下，导数 $\partial \to s^{-1}\partial$。因此四阶导数项 ${\partial }^4$ 相比于 ${\partial }^2$ 衰减了 $s^{-2}$ 倍。

   这意味着 RG 流将系统驱动向高斯不动点（Gaussian Fixed Point），在该不动点处，色散关系严格回复为 $E^2=c_{eff}^2{k}^2+m^2$。

结论 4.4.3

对于一类广泛的 QCA（满足离散平移和立方旋转对称性），其长波极限下的有效场论必然拥有洛伦兹不变性。这是重整化群流的动力学吸引子（Attractor）。

4.4.4 普朗克尺度的残留：洛伦兹破坏（LIV）的实验界限

虽然 RG 流解释了为何我们在低能下看不到洛伦兹破坏，但有限信息公理（$a\ne 0$）意味着这种对称性从来不是完美的。在极高能天体物理过程中，残留的晶格效应可能被观测到。

预测 4.4.4 (修正的色散关系 / Modified Dispersion Relation, MDR)

离散本体论预测光子（或中微子）的色散关系应包含普朗克尺度的修正：

$$E^2\approx p^2\pm \xi \frac{p^4}{M_P^2}$$

其中 $M_P\approx 1.2\times 10^{19}$ GeV，$\xi$ 为依赖于具体 QCA 结构的无量纲系数（通常 $O(1)$）。

实验验证方案：

1. 真空切伦科夫辐射：如果 $p^4$ 项系数为正，高能粒子速度可能超过低能光速，导致真空中的粒子发生切伦科夫辐射而快速衰减。观测到极高能宇宙线（UHECR）暗示这种效应极弱或系数为负。

2. 光子到达时间延迟：对于来自遥远伽马射线暴（GRB）的光子，高能光子与低能光子应具有微小的速度差 $\Delta v\sim (E/M_P{)}^n$。LIGO 和费米望远镜的数据已对线性项（$n=1$）给出了极强的限制，这迫使 QCA 模型必须具有特定的对称性以消除 $n=1$ 项（正如我们在 4.4.1 中展示的，晶格通常导致 $n=2$ 修正，这目前仍处于实验允许范围内）。

4.4.5 第一卷总结

至此，我们完成了《物理学的几何与信息基础》第一卷的构建。

• 本体论：我们从有限信息公理出发，确立了希尔伯特空间维数的有限性，否定了连续统的实在性（第 1 章）。

• 几何：我们证明了黎曼几何（距离）与辛几何（规范场）均源于量子态空间的统计结构（第 2 章）。

• 动力学：我们引入了量子元胞自动机（QCA） 作为微观动力学引擎，证明了因果结构的光锥是严格局域性的体现（第 3 章）。

• 涌现：在最后这一章，我们跨越了离散与连续的鸿沟，证明了路径积分、狄拉克方程、规范场以及洛伦兹对称性，皆是 QCA 在长波极限下的有效描述（第 4 章）。

这四章构成了一个闭环：我们不需要假设连续时空和相对论场论是基本的，相反，它们是我们在这个离散、有限、量子化的宇宙中作为“低分辨率观察者“所看到的必然幻象。

在接下来的第二卷：时间的涌现中，我们将挑战物理学中最后、最顽固的参数——时间。我们将证明，连时间参数 $t$ 本身，也只是量子纠缠与散射过程的统计涌现。