第二卷：时间的涌现 —— 散射、热力学与动力学

第四编：时间的微观算符定义

第六章：散射时间延迟理论

6.1 量子力学的时间难题：泡利定理与自伴时间算符的不存在性

在前一卷中，我们建立了一个不包含连续时间参数 $t$ 的离散 QCA 本体论。然而，在宏观连续极限下的量子力学（QM）和量子场论（QFT）中，时间扮演了一个独特且令人困惑的角色。本节将从标准量子力学的形式体系出发，严格审视“时间“的数学地位，并通过泡利定理（Pauli’s Theorem）证明：在希尔伯特空间中，不存在一个与哈密顿量共轭的、普适的自伴时间算符。这一否定性结论迫使我们将目光转向散射过程，寻找时间的操作性定义。

6.1.1 时间作为参数的异常性

在经典力学中，位置 $q$ 和动量 $p$ 是相空间中的动力学变量，而时间 $t$ 既是演化参数，也可以通过辛形式（Symplectic Form）被视为与能量 $E$ 共轭的变量。但在标准量子力学中，这种对称性被打破了：

1. 位置与动量：由自伴算符 $\hat{x}$ 和 $\hat{p}$ 描述，满足正则对易关系 $[\hat{x},\hat{p}]=i\hslash \mathbb{I}$。它们拥有正交归一的本征态，并遵循不确定性原理 $\Delta x\Delta p\ge \hslash /2$。

2. 时间与能量：能量由哈密顿算符 $\hat{H}$ 描述，但时间 $t$ 仅仅是一个外部参数（c-number），标记了薛定谔方程 $i\hslash {\partial }_t|\psi (t)⟩=\hat{H}|\psi (t)⟩$ 的演化步进。

虽然海森堡提出了能量-时间不确定性关系 $\Delta E\Delta t\ge \hslash /2$，但这里的 $\Delta t$ 并非算符的标准差，而是指系统特征演化时间（例如生存期）。物理学家曾试图引入一个“时间算符“ $\hat{T}$，使其满足 $[\hat{H},\hat{T}]=-i\hslash \mathbb{I}$，从而将时间和能量恢复为完全对称的共轭量。泡利在 1933 年证明，这一尝试对于任何物理上合理的系统都是注定失败的。

6.1.2 泡利定理（Pauli’s Theorem）的严格陈述与证明

定理 6.1.1 (泡利定理, 1933)

设 $\hat{H}$ 为希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上的自伴哈密顿算符。若存在一个自伴算符 $\hat{T}$（时间算符）使得二者满足正则对易关系：

$$[\hat{H},\hat{T}]=i\hslash \mathbb{I}$$

（在稠密定义域上成立），则 $\hat{H}$ 的谱 $\sigma (\hat{H})$ 必然覆盖整个实轴 $\mathbb{R}=(-\infty ,+\infty )$。换言之，$\hat{H}$ 不能有下界（基态），这与物理系统的稳定性相矛盾。

证明：

我们采用算子群的生成元方法进行证明。

1. 构建平移算符：

   由于 $\hat{T}$ 是自伴的，根据斯通定理（Stone’s Theorem），它生成一个幺正算符群：

   $${\hat{U}}_{\epsilon }=\exp \left(-\frac{i}{\hslash }\epsilon \hat{T}\right),\epsilon \in \mathbb{R}$$

2. 考察交换关系：

   考虑 $\hat{H}$ 与 ${\hat{U}}_{\epsilon }$ 的交换关系。利用 Baker-Campbell-Hausdorff (BCH) 公式或对易子的级数展开：

   $$[\hat{H},\exp (\hat{A})]=[\hat{H},\hat{A}]\exp (\hat{A})$$

   （若 $[\hat{H},\hat{A}]$ 与 $\hat{A}$ 对易）。

   在此处，令 $\hat{A}=-\frac{i}{\hslash }\epsilon \hat{T}$。由假设 $[\hat{H},\hat{T}]=i\hslash \mathbb{I}$，可得：

   $$\left[\hat{H},-\frac{i}{\hslash }\epsilon \hat{T}\right]=-\frac{i}{\hslash }\epsilon (i\hslash \mathbb{I})=\epsilon \mathbb{I}$$

   由于 $\epsilon \mathbb{I}$ 与任何算符对易，上述 BCH 级数截断在第一项。因此：

   $$[\hat{H},{\hat{U}}_{\epsilon }]=\epsilon {\hat{U}}_{\epsilon }⟹\hat{H}{\hat{U}}_{\epsilon }-{\hat{U}}_{\epsilon }\hat{H}=\epsilon {\hat{U}}_{\epsilon }⟹\hat{H}{\hat{U}}_{\epsilon }={\hat{U}}_{\epsilon }(\hat{H}+\epsilon \mathbb{I})$$

3. 谱的平移：

   设 $|{\psi }_E⟩$ 是 $\hat{H}$ 的一个本征态（或广义本征态），本征值为 $E$：

   $$\hat{H}|{\psi }_E⟩=E|{\psi }_E⟩$$

   将 $\hat{H}$ 作用于态 ${\hat{U}}_{\epsilon }|{\psi }_E⟩$：

   $$\hat{H}({\hat{U}}_{\epsilon }|{\psi }_E⟩)={\hat{U}}_{\epsilon }(\hat{H}+\epsilon \mathbb{I})|{\psi }_E⟩={\hat{U}}_{\epsilon }(E+\epsilon )|{\psi }_E⟩=(E+\epsilon )({\hat{U}}_{\epsilon }|{\psi }_E⟩)$$

   这表明，只要 $E$ 是谱中的一点，$(E+\epsilon )$ 也必然在谱中。由于 $\epsilon$ 可以取任意实数，这意味着 $\hat{H}$ 的谱必须是平移不变的，即 $\sigma (\hat{H})=\mathbb{R}$。

$\square$

6.1.3 物理含义：基态存在性与时间的非算符属性

泡利定理揭示了量子力学结构中的一个深刻冲突：

• 稳定性要求：任何稳定的物理系统必须拥有一个能量下界（基态能量 $E_0>-\infty$）。否则，系统将无限地向更低能级跃迁并释放能量，导致“第一类永动机“式的灾难。

• 算符要求：若时间是像位置一样的基本算符，其共轭动量（能量）必须像线动量一样取值于整个实轴 $(-\infty ,+\infty )$。

由于不仅原子、分子稳定存在，我们的 QCA 宇宙模型也基于有限信息（隐含了有限能量密度），因此物理哈密顿量的谱必然是有下界的。

推论 6.1.2：在任何有下界的哈密顿系统中，不存在普适的、自伴的“时间算符“。“时间“不能作为希尔伯特空间中的一个可观测量（Observable）来定义。

这也解释了为何在量子引力尝试中（如惠勒-德维特方程 $\hat{H}\Psi =0$），时间变量会完全消失（“时间冻结“问题）。因为一旦我们将时间提升为算符并与哈密顿量对易，系统动力学结构就崩溃了。

6.1.4 解决路径：从参数时间到散射时间

既然没有先验的“绝对时间算符“，我们如何定义微观过程的持续时间？例如，一个粒子穿过势垒需要“多长时间“？

答案在于操作主义（Operationalism）。我们不是去寻找一个抽象的 $t$，而是去测量一个物理事件相对于另一个物理事件的延迟。在微观物理中，最基本的过程是散射。

• 输入：粒子在 $t\to -\infty$ 从无穷远入射（自由态 ${\psi }_{in}$）。

• 相互作用：粒子进入散射区（黑箱），发生复杂的量子干涉。

• 输出：粒子在 $t\to +\infty$ 离开（自由态 ${\psi }_{out}$）。

虽然我们无法在相互作用区内部定义一个钟，但我们可以比较 ${\psi }_{out}$ 相对于无相互作用参考波包的相位移动。这个相位移动对能量的导数，正如我们将在下一节看到的，精确地定义了一个具有时间量纲的物理量——Wigner-Smith 时间延迟。

定义 6.1.3 (时间的涌现视角)

在本书的框架下，时间 $t$ 不是基本的背景流形坐标，而是散射过程的统计属性。

$$\text{时间}\equiv \text{相位对能量的变化率}$$

这一观点不仅回避了泡利定理的限制（因为散射算符 $S$ 是幺正的，且定义在能量壳层上，不需要引入全局时间算符），而且直接通向了全息原理和引力的熵起源。接下来的章节将构建这一微观时间的算符定义。