Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

6.2 Eisenbud-Wigner-Smith (EWS) 算符 $\mathsf{Q}$ 的完整构造

在 6.1 节中，通过泡利定理的否定性证明，我们不得不放弃寻找一个与哈密顿量全局共轭的通用时间算符。这迫使我们将视线从静态的希尔伯特空间结构转向动态的物理过程。对于一个开放的物理系统，最基本的动力学过程莫过于散射（Scattering）。

本节将严格定义散射时间延迟算符，即 Eisenbud-Wigner-Smith (EWS) 算符 $\mathsf{Q}$。我们将证明，尽管不存在全局时间坐标，但对于任何散射过程，都可以内禀地构造一个自伴算符，其本征值精确对应于粒子在相互作用区域内的滞留时间（Dwell Time）相对于自由运动的延迟。这是本书“时间涌现“纲领的第一个数学支柱。

6.2.1 散射矩阵 $S(E)$ 的解析性质

考虑一个多通道量子散射系统。设希尔伯特空间可分解为 $\mathcal{H}={\mathcal{H}}_{int}\oplus {\mathcal{H}}_{ext}$，其中相互作用区域 ${\mathcal{H}}_{int}$ 有限，外部区域 ${\mathcal{H}}_{ext}$ 由若干散射通道（Channels）组成。

在能量表象下，系统的渐近态由入射态 $|{\psi }_{in}⟩$ 和出射态 $|{\psi }_{out}⟩$ 描述。两者通过散射算符（Scattering Operator）$\hat{S}$ 联系：

$$|{\psi }_{out}⟩=\hat{S}|{\psi }_{in}⟩$$

在能量壳层 $E$ 上，$\hat{S}$ 表现为一个 $N\times N$ 的幺正矩阵 $S(E)$（$N$ 为通道数），满足：

$$S(E{)}^{†}S(E)=S(E)S(E{)}^{†}=\mathbb{I}$$

这意味着散射过程是概率守恒的。然而，幺正性仅保证了粒子数的守恒，并未包含时间信息。时间信息隐藏在 $S$ 矩阵随能量 $E$ 变化的相位梯度中。

6.2.2 EWS 算符的定义与自伴性证明

为了提取隐藏的时间信息，Eisenbud (1948), Wigner (1955) 和 Smith (1960) 引入了一个厄米算符 $\mathsf{Q}$。

定义 6.2.1 (EWS 时间延迟算符)

对于能量为 $E$ 的散射系统，Eisenbud-Wigner-Smith 算符 $\mathsf{Q}(E)$ 定义为：

$$\mathsf{Q}(E)\equiv -i\hslash S(E{)}^{†}\frac{dS(E)}{dE}$$

该算符作用于通道空间 ${\mathbb{C}}^N$。

定理 6.2.2 (EWS 算符的自伴性)

若 $S(E)$ 是幺正的，则 $\mathsf{Q}(E)$ 必然是自伴（厄米）算符，即 ${\mathsf{Q}}^{†}=\mathsf{Q}$。

证明：

从 $S(E)$ 的幺正性出发：

$$S(E{)}^{†}S(E)=\mathbb{I}$$

对能量 $E$ 求导：

$$\frac{d{S}^{†}}{dE}S+S^{†}\frac{dS}{dE}=0$$

这给出了导数算符的恒等式：

$$S^{†}\frac{dS}{dE}=-\frac{d{S}^{†}}{dE}S$$

现在考察 $\mathsf{Q}$ 的伴随算符 ${\mathsf{Q}}^{†}$：

$$\begin{array}{rl}{\mathsf{Q}}^{†}& ={\left(-i\hslash S^{†}\frac{dS}{dE}\right)}^{†}\\ & =i\hslash {\left(\frac{dS}{dE}\right)}^{†}(S^{†}{)}^{†}\\ & =i\hslash \frac{d{S}^{†}}{dE}S\end{array}$$

利用上述导数恒等式代换：

$${\mathsf{Q}}^{†}=i\hslash \left(-S^{†}\frac{dS}{dE}\right)=-i\hslash S^{†}\frac{dS}{dE}=\mathsf{Q}$$

$\square$

这一性质至关重要：因为 $\mathsf{Q}$ 是自伴的，它拥有实数谱，这使得我们可以将其本征值解释为物理可观测的时间量。

6.2.3 物理诠释：波包延迟与本征时间

为了理解 $\mathsf{Q}$ 的物理意义，我们考察一个窄波包在散射过程中的群延迟。

设入射波包为 $|{\psi }_{in}(t)⟩=\int dEg(E)e^{-iEt/\hslash }|\chi ⟩$，其中 $|\chi ⟩$ 是通道空间中的固定矢量。出射波包为 $|{\psi }_{out}(t)⟩=\hat{S}|{\psi }_{in}(t)⟩$。

利用稳相法（Stationary Phase Approximation），波包中心的到达时间由相位的能量导数决定。对于散射态 $S(E)=e^{2i\delta (E)}$（一维情形），群延迟为：

$$\Delta t=2\hslash \frac{d\delta }{dE}$$

在一维情形下，$\mathsf{Q}=-i\hslash e^{-2i\delta }(2i{\delta }^{\prime }{e}^{2i\delta })=2\hslash {\delta }^{\prime }$。这正是群延迟。

推广到多通道情形：

算符 $\mathsf{Q}(E)$ 的期望值 $⟨\chi |\mathsf{Q}|\chi ⟩$ 给出了入射态为 $|\chi ⟩$ 时的平均时间延迟。

由于 $\mathsf{Q}$ 是厄米矩阵，它可以对角化。设其本征方程为：

$$\mathsf{Q}(E)|q_n⟩={\tau }_n(E)|q_n⟩,n=1,\dots ,N$$

本征值 ${\tau }_n(E)$ 称为本征时间延迟（Eigen-time Delays）。它们对应于散射矩阵的本征通道（Eigenchannels）在相互作用区经历的时间滞留。这表明，对于一个复杂的量子系统，时间不是单一的，而是一个谱（Spectrum）。

6.2.4 与全息原理的连接：迹公式

EWS 算符不仅定义了微观时间，还通过迹公式与态密度（Density of States, DOS）建立了深刻联系。这直接通向本书后续关于“统一时间恒等式“的讨论。

定义 6.2.3 (Wigner 时间延迟求和规则)

系统的总时间延迟是 $\mathsf{Q}$ 矩阵的迹：

$${\tau }_{tot}(E)=\text{Tr}[\mathsf{Q}(E)]=\sum _{n=1}^N{\tau }_n(E)$$

利用 $\text{Tr}(\ln A)=\ln (\det A)$ 的导数形式 $\text{Tr}(A^{-1}{A}^{\prime })=(\ln \det A{)}^{\prime }$，我们有：

$$\text{Tr}[\mathsf{Q}]=-i\hslash \text{Tr}[S^{†}{S}^{\prime }]=-i\hslash \frac{d}{dE}\ln \det S(E)$$

根据 Birman-Kreĭn 理论（将在第七章详述），$\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$，其中 $\xi (E)$ 是谱移函数。因此：

$$\text{Tr}[\mathsf{Q}(E)]=-i\hslash \frac{d}{dE}(-2\pi i\xi (E))=2\pi \hslash \frac{d\xi }{dE}=2\pi \hslash \Delta \rho (E)$$

其中 $\Delta \rho (E)$ 是相互作用引起的局域态密度的变化。

物理推论：

这一公式 $\text{Tr}[\mathsf{Q}]=2\pi \hslash \Delta \rho$ 是本书**“时间即物质”**核心理念的数学表达。

• 左侧是时间量（延迟的迹）。

• 右侧是物质量（能级密度的增加）。

这表明，粒子在一个区域“花费时间“，等价于该区域“拥有态密度“来接纳该粒子。在引力理论中，这将解释为何强引力场（高态密度）会导致时间膨胀（大延迟）。

6.2.5 总结

本节通过严格构造 EWS 算符 $\mathsf{Q}$，解决了泡利定理带来的时间定义危机。

1. 存在性：虽然没有全局时间算符，但存在局域的、依赖于过程的散射时间算符 $\mathsf{Q}$。

2. 可观测性：$\mathsf{Q}$ 是自伴的，其本征值对应物理上可测量的延迟。

3. 全息性：$\mathsf{Q}$ 的迹直接对应于系统的态密度，建立了时空几何与量子统计的桥梁。

在下一节，我们将深入探讨 $\mathsf{Q}$ 算符的物理内涵，特别是滞留时间（Dwell Time） 与群延迟的物理等价性证明，进一步夯实微观时间的本体论地位。