Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

6.3 滞留时间（Dwell Time）与群延迟的物理等价性证明

在 6.2 节中，我们基于散射矩阵 $S(E)$ 在能量壳层上的相位行为，定义了 Eisenbud-Wigner-Smith (EWS) 时间延迟算符 $\mathsf{Q}$。这一算符从“外部“观测者的角度，描述了粒子相对于自由运动被散射体“拖延“的时间。

然而，如果时间是物理实在的内禀属性，这种“外部“描述必须与粒子在相互作用区域内部的“内部“行为一致。即，粒子在黑箱内部实际停留的时间（Dwell Time），必须在数值上严格等于 EWS 算符预测的延迟。本节将给出这一等价性的严格证明。这一证明至关重要，因为它建立了全息原理的动力学基础：边界上的相位信息（群延迟）忠实地编码了体（Bulk）内的物理过程（滞留时间）。

6.3.1 滞留时间的微观定义

考虑一个被势场 $V(\mathbf{r})$ 占据的有限空间区域 $\Omega$（相互作用区）。对于一个能量为 $E$ 的稳态散射波函数 ${\psi }_E(\mathbf{r})$，粒子在 $\Omega$ 内出现的概率密度为 $|{\psi }_E(\mathbf{r}){|}^2$。

定义 6.3.1 (滞留时间 / Dwell Time)

对于给定的入射通量 $J_{in}$（通常归一化为单位通量），粒子在区域 $\Omega$ 内的平均滞留时间 ${\tau }_D$ 定义为粒子在 $\Omega$ 内的总概率积：

$${\tau }_D(E)=\frac{1}{J_{in}}{\int }_{\Omega }|{\psi }_E(\mathbf{r}){|}^2{\mathrm{d}}^3\mathbf{r}$$

在物理上，这代表了散射过程中粒子“云“在相互作用区域内所积累的总电荷（或概率质量）与注入速率之比。这是一个纯粹的体（Bulk）物理量。

6.3.2 史密斯（Smith）终极等价性定理

我们的目标是证明这个体积分量 ${\tau }_D$ 与定义在边界上的散射算符 $\mathsf{Q}$ 的期望值相等。

定理 6.3.2 (滞留时间-群延迟等价性)

对于任意具有有限力程的散射势，EWS 时间延迟算符 $\mathsf{Q}$ 的期望值严格等于滞留时间减去自由粒子在同等距离下的渡越时间：

$$⟨\chi |\mathsf{Q}(E)|\chi ⟩={\tau }_D(E)-{\tau }_{free}(E)$$

其中 $|\chi ⟩$ 是入射通道态。如果相互作用区域边界取在渐近区，且适当重整化自由时间，则可简述为：边界上的相位导数等于体内的概率密度积分。

证明：

我们利用薛定谔方程及其关于能量的导数导出这一关系。

1. 薛定谔方程及其能量导数：

   稳态方程为：

   $$(H-E)|{\psi }_E⟩=0$$

   对能量 $E$ 求导，得：

   $$(H-E)\frac{\partial }{\partial E}|{\psi }_E⟩-|{\psi }_E⟩=0⟹(H-E)|{\partial }_E{\psi }_E⟩=|{\psi }_E⟩$$

2. 构造守恒流恒等式：

   左乘 $⟨{\psi }_E|$，并利用厄米性 $⟨{\psi }_E|(H-E)=0$，我们得到恒等式。为了提取边界项，我们在有限区域 $\Omega$（半径为 $R$ 的球）内积分：

   $${\int }_{\Omega }{\psi }_E^{\ast }(\mathbf{r}){\psi }_E(\mathbf{r}){\mathrm{d}}^3\mathbf{r}={\int }_{\Omega }{\psi }_E^{\ast }(H-E){\partial }_E{\psi }_E{\mathrm{d}}^3\mathbf{r}$$

   由于 $(H-E){\psi }_E=0$，我们可以写成对称形式（利用格林定理）：

   $${\int }_{\Omega }|{\psi }_E{|}^2\mathrm{d}V={\int }_{\Omega }\left[{\psi }_E^{\ast }(H{\partial }_E{\psi }_E)-({\partial }_E{\psi }_E)(H{\psi }_E{)}^{\ast }\right]\mathrm{d}V$$

   利用哈密顿量的动能项 $-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2$，体积分转化为边界表面 $\partial \Omega$ 上的面积分：

   $${\tau }_D(R)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\oint }_{\partial \Omega }\left[{\psi }_E^{\ast }\nabla ({\partial }_E{\psi }_E)-({\partial }_E{\psi }_E)\nabla {\psi }_E^{\ast }\right]\cdot \mathbf{n}\mathrm{d}S$$

3. 渐近展开与散射矩阵：

   在边界 $R\to \infty$ 处，波函数可写为入射波与出射波的叠加（一维简化形式，多维类似）：

   $${\psi }_E(r)\sim A\left(e^{-ikr}+S(E)e^{ikr}\right)$$

   其中 $k=\sqrt{2mE}/\hslash$。

   对 $E$ 求导（注意 ${\partial }_E=\frac{dk}{dE}{\partial }_k=\frac{1}{\hslash v}{\partial }_k$）：

   $${\partial }_E{\psi }_E\sim A\left(\frac{ir}{\hslash v}(-e^{-ikr}+S{e}^{ikr})+\frac{dS}{dE}{e}^{ikr}\right)$$

   将 ${\psi }_E$ 和 ${\partial }_E{\psi }_E$ 代入面积分公式。经过繁琐但直接的代数运算，交叉项（干涉项）在积分中快速振荡而平均为零，主要贡献来自模方项。

   • 自由项贡献：$\sim 2R/v$，对应自由粒子穿过半径 $R$ 区域的时间 ${\tau }_{free}$。

   • 散射项贡献：来自 $S$ 对 $E$ 的导数项 $\frac{dS}{dE}$。

   最终结果为：

   $${\int }_{\Omega }|{\psi }_E{|}^2-\frac{2R}{v}=\mathrm{Re}\left[-i\hslash S^{†}\frac{dS}{dE}\right]$$

   右边正是 EWS 算符 $\mathsf{Q}$ 的期望值。

$\square$

6.3.3 物理意义：时间即物质（Time is Matter）

这一定理不仅是一个数学恒等式，它是时间涌现论的物理基石。

1. 全息对应：方程左边是体（Bulk）内的积分 $\int |\psi {|}^2$，代表粒子在区域内的存在概率或物质密度。方程右边是边界（Boundary）上的算符 $\mathsf{Q}\sim {\partial }_E\phi$，代表时间延迟。这表明，“时间“只是“物质密度“在边界上的全息投影。

2. 引力红移的微观解释：在广义相对论中，强引力场导致时间流逝变慢（延迟增加）。在散射视角下，强引力场意味着该区域具有极高的有效态密度（$\rho (E)$ 极大），粒子在此区域的滞留时间 ${\tau }_D$ 显著增加。引力红移不再是神秘的时空弯曲效应，而是高密度介质中的群速度滞后。

3. 因果性的保障：由于 ${\tau }_D=\int |\psi {|}^2\ge 0$，这保证了 $⟨\mathsf{Q}⟩+{\tau }_{free}\ge 0$。即粒子不可能在进入散射区之前就离开（因果律）。虽然相位导数 ${\phi }^{\prime }$ 局部可能为负（Wigner 进动），但加上几何项后的总滞留时间必须为正。

6.3.4 推广：多通道与纠缠时间

对于多通道系统，$\mathsf{Q}$ 是一个矩阵。其非对角元 $⟨n|\mathsf{Q}|m⟩$ 描述了通道 $n$ 和 $m$ 之间的纠缠时间延迟。

定义 6.3.3 (纠缠时间度量)

若系统处于纠缠态 $|\Psi ⟩=\sum c_n|n⟩$，则其经历的平均时间延迟不仅取决于各通道的本征延迟 ${\tau }_n$，还取决于通道间的干涉项：

$$\bar{\tau }=\sum _n|c_n{|}^2{\tau }_n+\sum _{n\ne m}{c}_n^{\ast }{c}_m{\mathsf{Q}}_{nm}$$

这一公式暗示，量子纠缠会改变时间的流逝速率。这是后续章节讨论“纠缠熵与引力“的关键伏笔。

6.3.5 总结

本节证明了滞留时间（体积分）与群延迟（边界导数）的物理等价性。这确立了 $\mathsf{Q}$ 算符作为微观时间标准的操作性地位。

结合泡利定理（6.1节）和 EWS 构造（6.2节），我们现在拥有了一个无需依赖背景参数 $t$ 的、完全基于散射态密度的内禀时间定义。

这一发现直接导向了本书第二卷的核心公式——统一时间恒等式。在下一章，我们将把这一散射时间与热力学（谱移函数）联系起来，证明时间、物质与信息熵在底层是同一物理实在的三种面相。