7.1 Kreĭn 谱移函数 $\xi(E)$：微扰对能级密度的重排机制 - Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

第七章：谱-散射对偶与热力学

7.1 Kreĭn 谱移函数 $ξ (E)$ ：微扰对能级密度的重排机制

在第六章中，我们建立了基于散射矩阵及其能量导数的时间延迟理论（EWS 算符 $Q$ ）。我们发现，微观粒子在相互作用区域的滞留时间与态密度（DOS）的变化密切相关。这一发现暗示了动力学（散射）与热力学（谱）之间存在深刻的对偶性。

本章将正式建立这种对偶性。我们将引入数学物理中极其强有力的工具——Kreĭn 谱移函数（Spectral Shift Function, SSF）。 $ξ (E)$ 不仅是连接微观散射相移与宏观热力学配分函数的桥梁，更是理解“物质如何占据能量空间“的关键。在离散本体论的视角下，它描述了当宇宙中加入一个扰动（相互作用）时，信息（量子态）如何在能级上发生重排。

7.1.1 无穷维系统的微扰难题

考虑一个自由哈密顿量 $H_{0}$ 和一个受扰动的哈密顿量 $H = H_{0} + V$ 。在有限维系统中，我们可以直接计算特征值的移动。设 $H_{0}$ 的特征值为 ${E_{n}^{(0)}}$ ， $H$ 的特征值为 ${E_{n}}$ 。系统的总能级位移为 $\sum (E_{n} - E_{n}^{(0)})$ 。

然而，在连续统物理（如散射问题或量子场论）中，希尔伯特空间是无穷维的，且谱包含连续部分。此时直接对特征值求和通常是发散的。例如，虽然微扰 $V$ 是局域的（迹类算子），但它可能导致无限多个散射态发生微小的相移，使得总能量变化无法简单定义。

为了解决这一问题，I. M. Lifshitz (1952) 和 M. G. Kreĭn (1953) 提出了一种正则化的计数方法：我们不追踪单个能级，而是追踪态密度的整体迁移。

7.1.2 谱移函数的公理化定义

我们首先给出一个使得迹公式良定的充分条件。

定义 7.1.1 (相对迹类微扰)

设 $H_{0}$ 和 $H$ 是希尔伯特空间 $H$ 上的两个自伴算符。若它们的预解式差（Resolvent Difference）是迹类算子（Trace Class），即对于某个 $z \in C ∖ R$ ：

$D (z) \equiv (H - z)^{- 1} - (H_{0} - z)^{- 1} \in L_{1} (H)$

则称 $H$ 是 $H_{0}$ 的相对迹类微扰。这通常要求势 $V$ 在空间上足够快地衰减（例如 $(1 + ∣ x ∣)^{α} V \in L^{1}$ ）。

定理 7.1.2 (Lifshitz-Kreĭn 迹公式)

对于相对迹类微扰对 $(H, H_{0})$ ，存在唯一的实值可积函数 $ξ (λ) \in L^{1} (R)$ ，使得对于任意一类足够好的函数 $f$ （如 Schwartz 函数或具有适当衰减的光滑函数），以下恒等式成立：

$Tr [f (H) - f (H_{0})] = \int_{- \infty}^{+ \infty} ξ (λ) f^{'} (λ) d λ$

函数 $ξ (λ)$ 被称为Kreĭn 谱移函数。

物理诠释：

这个公式是量子统计力学的基石。左边是宏观量的差（例如，若 $f (H) = e^{- β H}$ ，则左边是配分函数的差 $Δ Z$ ）。右边将这个迹转化为一个积分，其中的权重函数 $ξ (λ)$ 包含了所有关于微扰对谱结构影响的信息。

注意右边出现的是 $f^{'} (λ)$ 而非 $f (λ)$ 。这暗示 $ξ (λ)$ 本身具有“累积分布“的性质，类似于阶梯函数。

7.1.3 谱移函数的几何意义：能级计数器

为了直观理解 $ξ (E)$ ，我们考察一个被置于大盒子（体积 $L^{3}$ ）中的系统。此时谱是离散的。

设 $N_{0} (E)$ 是 $H_{0}$ 在能量 $E$ 以下的本征态数目（累积态密度）， $N (E)$ 是 $H$ 的对应数目。

形式上，我们可以写出：

$Tr [f (H) - f (H_{0})] \approx n \sum f (E_{n}) - m \sum f (E_{m}^{(0)}) = \int f (λ) d (N (λ) - N_{0} (λ))$

分部积分得：

$\int f (λ) d (Δ N) = f (λ) Δ N (λ)_{- \infty}^{\infty} - \int Δ N (λ) f^{'} (λ) d λ$

对比 Kreĭn 公式，我们得到一个极其直观的对应关系：

$ξ (E) = - [N (E) - N_{0} (E)]$

（注：符号约定可能随文献不同，Kreĭn 的原始定义通常取正号，但这取决于 $f^{'}$ 前的符号。在物理文献中，通常定义 $ξ (E)$ 为正值表示有吸引势导致能级下移。这里我们采用标准数学约定： $ξ (λ)$ 几乎处处等于 $H_{0}$ 的谱投影维度减去 $H$ 的谱投影维度，但在散射相移关联中，通常有 $ξ (E) = \frac{1}{π} δ (E)$ 。我们将在 7.2 节固定符号以匹配 Birman-Kreĭn 公式。）

修正定义 7.1.3 (物理谱移)

在本书中，我们定义物理谱移函数 $ξ (E)$ 为：由于相互作用 $V$ 的引入，有多少个量子态从能量 $E$ 之上越过了 $E$ 移动到了 $E$ 之下。

$ξ (E) > 0$ ：表示吸引势，能级下移（spectral flow 向左），在 $E$ 处“堆积“了额外的态。
$ξ (E) < 0$ ：表示排斥势，能级上移。

7.1.4 谱移与态密度的关系

利用 $ξ (E) \sim - Δ N (E)$ ，我们可以立即得到它与局域态密度变化 $Δ ρ (E)$ 的关系。

由于态密度 $ρ (E) = \frac{d N}{d E}$ ，则：

$Δ ρ (E) = ρ (E) - ρ_{0} (E) = \frac{d}{d E} (N (E) - N_{0} (E)) = - \frac{d ξ}{d E}$

这正是我们在 6.4 节中预告的关系（注意符号差异，若定义 $ξ$ 为相移 $δ / π$ ，则 $ρ \sim ξ^{'}$ ；若定义 $ξ$ 为计数差，则 $ρ \sim - ξ^{'}$ 。Kreĭn 定理的标准形式支持 $ξ^{'}$ 与迹的关系）。

严格推导：

在迹公式中取 $f_{ϵ} (λ)$ 为一个在 $E$ 处这种的光滑近似阶梯函数（ $δ$ 函数的积分）。

$Tr [δ (H - E) - δ (H_{0} - E)] = Δ ρ (E)$

而根据公式：

$\int ξ (λ) δ^{'} (λ - E) d λ = - ξ^{'} (E)$

因此：

$Δ ρ (E) = - ξ^{'} (E)$

结论 7.1.4 (物质即谱移的梯度)

这一公式揭示了物质存在的本体论意义：粒子的存在表现为真空能谱的局部变形。

当我们说空间某处“有一个粒子“或“有一个散射体“时，在谱几何的语言中，意味着该处的谱移函数 $ξ (E)$ 具有非零的斜率。

束缚态：对应于 $ξ (E)$ 的整数跳变（Integer Jumps）。在 $E < 0$ 的区域， $ξ (E)$ 是一系列阶梯，每个阶梯的高度对应束缚态的重数。
散射态：对应于 $ξ (E)$ 的平滑变化。在 $E > 0$ 的区域， $ξ (E)$ 连续变化，描述了连续谱密度的重排。

7.1.5 谱移函数的性质与边界行为

作为全书“离散-连续“统一的一部分， $ξ (E)$ 具有完美的数学性质：

紧支集或快速衰减：若微扰 $V$ 是有限秩或局域的， $ξ (E)$ 在高能处快速趋于零。这意味着高能物理不受低能微扰的影响（退耦定理）。
可加性：对于相互独立的子系统，总谱移等于各部分谱移之和。这使得 $ξ$ 成为一个广义的广延量（Extensive Quantity）。
拓扑稳健性： $\int_{- \infty}^{\infty} ξ^{'} (E) d E = ξ (\infty) - ξ (- \infty)$ 。这个积分通常等于总的束缚态数目变化或特定的拓扑荷（如 Levinson 定理所示）。

通过引入 Kreĭn 谱移函数，我们将第六章中基于时间的动力学描述（ $Q$ 矩阵），成功转化为基于能量的静态描述。下一节，我们将通过著名的 Birman-Kreĭn 迹公式，将这两者（散射相移与谱移函数）在数学上严格等同起来，从而完成“时间-能量-信息“的三角统一。