Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

7.2 Birman-Kreĭn 迹公式：散射矩阵行列式与谱移函数的指数映射关系

在 7.1 节中，我们引入了 Kreĭn 谱移函数 $\xi (E)$，作为衡量相互作用对能级密度整体重排的热力学量。在第六章中，我们定义了 Wigner-Smith 时间延迟矩阵 $\mathsf{Q}(E)$，作为衡量散射过程动力学滞留的时间量。这两个物理量——一个描述“态的计数“，一个描述“时间的流逝“——似乎分别属于统计力学和动力学的不同领域。

本节将通过著名的 Birman-Kreĭn 迹公式（Birman-Kreĭn Trace Formula），揭示这两者之间令人震惊的数学等价性。我们将证明，散射矩阵 $S(E)$ 的行列式正是谱移函数 $\xi (E)$ 的指数映射。这一关系式 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$ 是理论物理中将拓扑信息（谱移）转化为几何相位（散射相移）的终极桥梁，它确立了“散射即热力学“的全息对偶。

7.2.1 散射矩阵与谱移函数的连接

首先回顾我们的两个核心对象：

1. 散射矩阵 $S(E)$：一个 $N\times N$ 的幺正矩阵，定义在能量壳层上，描述了渐近态 $|{\psi }_{in}⟩$ 到 $|{\psi }_{out}⟩$ 的演化。其特征值 $e^{2i{\delta }_n(E)}$ 包含了散射相移信息。

2. 谱移函数 $\xi (E)$：一个实值函数，定义为 $H$ 与 $H_0$ 之间的谱密度差的积分 $\xi (E)\sim -\Delta N(E)$。

直观上，如果我们在一个大箱子中引入散射势，边界条件的改变会导致能级移动。每一个能级 $E_n$ 的微小移动 $\delta E_n$ 都对应一个相移 ${\delta }_n\approx -\pi \frac{\delta E_n}{\Delta E}$（其中 $\Delta E$ 是能级间距）。当箱子趋于无穷大时，这种离散的移动累积成了连续的谱移。

7.2.2 Birman-Kreĭn 定理的严格陈述

定理 7.2.1 (Birman-Kreĭn 定理)

设 $(H,H_0)$ 为一对满足相对迹类条件的自伴算符，$\xi (E)$ 为其 Kreĭn 谱移函数。设 $S(E)$ 为对应的在能量 $E$ 处的散射矩阵（On-shell Scattering Matrix）。则对于几乎所有的 $E\in {\sigma }_{ac}(H_0)$（绝对连续谱），以下恒等式成立：

$$\det S(E)=\exp \left[-2\pi i\xi (E)\right]$$

或者取对数形式（选取适当的单值分支）：

$$\frac{1}{2\pi i}\text{Tr}\left[\ln S(E)\right]=-\xi (E)$$

证明思路（基于不变性原理）：

1. 波算符与散射算符：

   散射算符定义为 $\hat{S}={\Omega }_{+}^{†}{\Omega }_{-}$，其中波算符 ${\Omega }_{\pm }={\text{s-lim}}_{t\to \pm \infty }{e}^{iHt}{e}^{-i{H}_{0}t}$。$\hat{S}$ 与自由哈密顿量 $H_0$ 对易，因此可以在 $H_0$ 的谱表象中对角化为 $S(E)$。

2. 迹公式的 resolvent 形式：

   考察函数 $f(x)=(x-z{)}^{-1}$（其中 $\text{Im}z\ne 0$）。根据 Kreĭn 迹公式（定理 7.1.2）：

   $$\text{Tr}\left[(H-z{)}^{-1}-(H_0-z{)}^{-1}\right]=-\int \frac{\xi (\lambda )}{(\lambda -z{)}^2}\mathrm{d}\lambda$$

3. 散射相位的联系：

   另一方面，散射矩阵的行列式与预解式（Resolvent）的边界值有关。通过对上述迹公式取 $z\to E+i{0}^{+}$ 的极限，并利用 Plemelj 公式，可以将预解式的虚部与散射振幅联系起来。对于迹类微扰，可以直接推导出：

   $$\xi (E)=\frac{1}{\pi }\text{Im}\ln \det (H-E-i{0}^{+})\dots$$

   在严格的散射理论推导中（如 Yafaev 或 Birman 的工作），我们利用 $\ln S(E)$ 的迹等于总相移 $\sum 2{\delta }_n(E)$。通过比较能级移动产生的态密度变化 $\Delta \rho (E)$ 与相移 $\delta (E)$ 的关系 $\pi \Delta \rho (E)={\delta }^{\prime }(E)$，积分即可得到 $\pi \xi (E)=-\delta (E)$（相差一个整数常数，通常归一化为 0）。

   由此得：

   $$\det S(E)=e^{i\sum 2{\delta }_n(E)}=e^{-2\pi i\xi (E)}$$

$\square$

7.2.3 物理诠释：相移即谱移

Birman-Kreĭn 公式 $\det S=e^{-2\pi i\xi }$ 是全书最重要的“字典条目“之一。它将微观的动力学观测（左侧）翻译为宏观的热力学状态（右侧）。

1. 总相位的几何意义：

   定义总散射相位 $\Phi (E)=\arg \det S(E)$。则公式告诉我们：

   $$\Phi (E)=-2\pi \xi (E)(\text{mod }2\pi )$$

   这意味着，总散射相位 $\Phi (E)$ 本质上就是谱移函数 $\xi (E)$ 的角度表示。我们在实验室测量的相移，实际上是在测量真空能谱的扭曲程度。

2. 时间延迟的再推导：

   回顾第六章定义的 Wigner-Smith 时间延迟 $\tau =\text{Tr}[\mathsf{Q}]$。

   利用 $\mathsf{Q}=-i\hslash S^{†}{S}^{\prime }$ 和 $\det S=e^{-2\pi i\xi }$：

   $$\text{Tr}[\mathsf{Q}]=-i\hslash \frac{d}{dE}\ln \det S=-i\hslash \frac{d}{dE}(-2\pi i\xi )=-2\pi \hslash {\xi }^{\prime }(E)$$

   这再次确认了 6.4 节的结论 $\text{Tr}[\mathsf{Q}]=2\pi \hslash \Delta \rho (E)$（注意 $\Delta \rho =-{\xi }^{\prime }$）。Birman-Kreĭn 公式提供了这一关系的非微扰、全局形式。

7.2.4 指数映射：动力学是热力学的“虚时间“演化

公式 $\det S=e^{-2\pi i\xi }$ 具有深刻的李群结构暗示。

• $\xi (E)$ 是一个实数（或厄米算符的迹），它代表生成元（Generator），属于李代数 $\mathfrak{u}(1)$（对于阿贝尔相位）或 $\mathfrak{u}(N)$ 的迹部分。

• $S(E)$ 是一个幺正矩阵，属于李群 $U(N)$。

这表明，动力学（散射 $S$）是热力学（谱移 $\xi$）的指数映射。

如果在 QCA 的离散本体论中，我们将 $\xi$ 视为更基础的“信息计数器“（整数个比特的偏移），那么 $S$ 只是这个计数器在复平面上的投影。

这一观点对于理解量子引力至关重要：引力场方程（动力学）可能是底层的纠缠熵（谱移）变化导致的几何相位效应。

7.2.5 拓扑稳健性：整数谱流

$\xi (E)$ 的一个显著特征是它在束缚态能量处呈现整数跳变。

对于 $E<0$（束缚态区），$S(E)$ 没有定义（或解析延拓为实数），但 $\xi (E)$ 仍然良定，且取值为整数（束缚态数目的相反数）。

当能量穿过阈值 $E=0$ 进入连续谱时，$\xi (E)$ 开始连续变化，但其整体的拓扑性质（如 Levinson 定理所述的 $\xi (0)-\xi (\infty )$）仍然由束缚态数目控制。

这将在 7.4 节 Levinson 定理中详细讨论，但 Birman-Kreĭn 公式已经预示了这一点：连续的散射相位 $\Phi (E)$ 包含了关于离散束缚态的拓扑信息。这正是“离散-连续“统一在热力学层面的体现。

总结

Birman-Kreĭn 公式 $\det S=e^{-2\pi i\xi }$ 是连接散射时间（动力学）与态密度（热力学）的枢纽。它证明了：

1. 微观的时间延迟源于宏观的能级重排。

2. 散射相位是谱移函数的全息投影。

这一公式将在下一节“Friedel 求和规则“中得到具体的凝聚态应用，解释杂质如何屏蔽电荷。