Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

7.3 Friedel 求和规则的推广：从费米液体到一般散射系统

在 7.2 节中，我们确立了 Birman-Kreĭn 迹公式 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$，将微观散射矩阵与宏观谱移函数联系起来。这一数学恒等式在凝聚态物理中有一个极具物理洞察力的应用实例，即 Friedel 求和规则（Friedel Sum Rule）。

该规则最初由 J. Friedel (1952) 提出，用于解释金属中杂质电荷的屏蔽效应。在本节中，我们将证明 Friedel 规则实际上是 Birman-Kreĭn 理论在费米面上的直接推论，并将其推广为一般散射系统中“信息屏蔽“的普适定律。这一推广揭示了散射相位不仅决定了时间延迟，还决定了系统在局部区域内“捕获“或“排斥“的量子态数目。

7.3.1 费米液体中的电荷屏蔽问题

考虑一个非相互作用的电子气（费米液体），其费米能级为 $E_F$。当我们在其中放入一个带电杂质（例如电荷为 $Z$ 的原子核）时，电子气会重新分布以屏蔽这个外势。

物理直觉告诉我们，为了保持长程电中性，电子气必须在杂质周围形成一个局域的电子云，其总感生电荷 $\Delta Q$ 必须精确抵消杂质电荷 $Z$（即 $\Delta N=Z$，其中 $\Delta N$ 是束缚在杂质周围的额外电子数）。

问题在于：这种屏蔽是如何通过散射波函数的重排来实现的？ 毕竟，除了可能的少数束缚态外，大部分电子处于连续谱的散射态。散射态是广延的，如何产生局域的电荷堆积？

7.3.2 从迹公式推导 Friedel 公式

利用第七章建立的谱移函数理论，这个问题的答案变得显而易见。

引入杂质势 $V$ 后，系统的哈密顿量从 $H_0$ 变为 $H=H_0+V$。这就引起了态密度 $\rho (E)$ 的变化 $\Delta \rho (E)$。

在零温下，所有能量低于 $E_F$ 的态都被占据。因此，杂质引起的总电子数变化 $\Delta N$ 是态密度变化在费米面以下的积分：

$$\Delta N={\int }_{-\infty }^{E_F}\Delta \rho (E)\mathrm{d}E$$

利用 7.1.4 节导出的关系 $\Delta \rho (E)=-{\xi }^{\prime }(E)$（注意：此处符号约定 $\xi$ 为计数差 $N_0-N$，若定义 $\xi$ 为相移 $\delta /\pi$，则 $\rho ={\xi }^{\prime }$。在标准 Friedel 推导中，通常使用相移 $\delta$。回顾 7.2 节结论 $\text{Tr}[\ln S]=-2\pi i\xi ⟹2i\delta =-2\pi i\xi ⟹\xi =-\delta /\pi$。因此 $\Delta \rho =-{\xi }^{\prime }=\frac{1}{\pi }{\delta }^{\prime }$。）：

$$\Delta \rho (E)=\frac{1}{\pi }\frac{d{\delta }_{tot}(E)}{dE}$$

其中 ${\delta }_{tot}(E)=\sum {\delta }_n(E)$ 是总散射相位。

代入积分：

$$\Delta N=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{E_F}\frac{d{\delta }_{tot}(E)}{dE}\mathrm{d}E=\frac{1}{\pi }\left[{\delta }_{tot}(E_F)-{\delta }_{tot}(-\infty )\right]$$

通常取 ${\delta }_{tot}(-\infty )=0$，则我们得到著名的 Friedel 求和规则：

$$\Delta N(E_F)=\frac{1}{\pi }{\delta }_{tot}(E_F)$$

对于具有自旋简并度 $g_s=2$ 和角动量分解 ${\delta }_l$ 的球对称系统，公式为：

$$Z=\Delta N=\frac{2}{\pi }\sum _l(2l+1){\delta }_l(E_F)$$

物理诠释：

这一公式表明，费米面上的散射相移 $\delta (E_F)$ 直接“计数“了被杂质捕获的电荷量。虽然散射电子是流动的，但相位的滞后（$\delta >0$）意味着波函数被“拉“向杂质中心，从而在局部增加了概率密度。这种相位的累积效应精确地等价于整数个粒子的堆积。

7.3.3 推广：一般散射系统的状态计数原理

Friedel 规则不仅仅适用于电子气，它是谱-散射对偶的普遍体现。在一般量子系统（包括我们的 QCA 宇宙模型）中，它可以表述为：

定理 7.3.1 (广义 Friedel 定理)

对于任意短程散射系统，系统在能量 $E$ 以下相对于自由背景所“持有“的额外量子态数目 $\Delta N(E)$，严格等于该能量处的总散射相位除以 $\pi$（加上束缚态贡献，若包含在 $\xi$ 定义中）：

$$\Delta N(E)\equiv \text{Tr}\left[\Theta (E-H)-\Theta (E-H_0)\right]=\frac{1}{2\pi i}\text{Tr}\left[\ln S(E)\right]=\frac{1}{\pi }\Phi (E)$$

其中 $\Phi (E)$ 是散射矩阵行列式的辐角。

在 QCA 宇宙中的意义：

在离散本体论中，空间是有限信息的容器。当我们引入一个局部缺陷或扰动（模拟粒子）时，该扰动会改变全宇宙的信息容量分布。广义 Friedel 定理告诉我们：

• 相移即信息：通过测量探针粒子（如光子或引力波）经过该区域的相移 $\Phi (E)$，我们可以精确计算该区域相对于真空“多“出了多少个量子比特（自由度）。

• 全息屏蔽：正如电子云屏蔽杂质电荷，真空中的量子涨落也会重排以“屏蔽“任何局域的信息源，使其在远处的表现形式（相移）与内部包含的信息量（$\Delta N$）达到精确的平衡。

7.3.4 物理图像：时间延迟导致的电荷堆积

结合第六章的 Wigner-Smith 时间延迟，我们可以给 Friedel 规则一个更直观的动力学解释。

回顾迹公式（6.4 节）：

$$\text{Tr}[\mathsf{Q}(E)]=2\pi \hslash \Delta \rho (E)$$

将 $\Delta N(E_F)={\int }^{E_F}\Delta \rho (E)dE$ 重写：

$$\Delta N(E_F)=\frac{1}{2\pi \hslash }{\int }_{-\infty }^{E_F}\text{Tr}[\mathsf{Q}(E)]\mathrm{d}E=\frac{1}{2\pi \hslash }{\int }_{-\infty }^{E_F}{\tau }_{tot}(E)\mathrm{d}E$$

如果我们在费米面附近近似认为时间延迟 ${\tau }_{tot}$ 是常数（宽共振近似），这并不直观。但在准经典极限下，我们可以理解为：

粒子流被散射体阻滞了时间 $\tau$。由于粒子源源不断地流入（流强 $J$），这种阻滞导致了在散射区内粒子的“塞车“或堆积。

堆积的粒子数 $\Delta N$ 正比于流强与延迟时间的乘积。Friedel 规则实际上是这一动力学过程在费米统计下的积分结果。

结论 7.3.2 (时间-物质等价性)

在一般散射系统中，局域物质（$\Delta N$）的存在，等价于经过该区域的所有历史能量模式的累积时间延迟。

$$\text{物质总量}\propto \int \text{时间延迟}$$

这再次印证了本书的核心论点：物质并非某种填充在时空中的实体，而是时空（散射过程）本身的滞后结构。

7.3.5 应用：卡西米尔能量与真空极化

作为 Friedel 规则的一个高阶应用，考虑真空能的变化（卡西米尔效应）。

真空能差定义为 $\Delta E_{vac}=\sum (E_n-E_n^{(0)})$. 利用迹公式，这可以转化为：

$$\Delta E_{vac}=\int E\Delta \rho (E)\mathrm{d}E=-\frac{1}{\pi }\int E\frac{d\delta }{dE}\mathrm{d}E$$

分部积分得：

$$\Delta E_{vac}=-\frac{1}{\pi }[E\delta (E){]}_{-\infty }^{\infty }+\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (E)\mathrm{d}E$$

这一公式将卡西米尔能量完全表达为散射相移的积分。对于 QCA 宇宙，这意味着真空能量密度（暗能量）可以直接由微观格点的散射相移谱计算得出，而无需引入人为的动量截断（因为相移在晶格动量上限处自然归零）。

通过将 Friedel 规则推广，我们不仅解决了“费米子如何占据空间“的问题，更为理解真空的量子结构提供了强大的谱几何工具。下一节，我们将讨论散射相位的拓扑性质——Levinson 定理，它将揭示零能散射相移如何“记忆“了束缚态的数目，从而完成谱-散射对偶的拓扑闭环。