Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

7.4 Levinson 定理：散射相位拓扑数与束缚态数目的关系

在 7.3 节中，我们利用 Friedel 求和规则建立了散射相位与局域电荷（或态密度积聚）之间的定量联系。Friedel 规则主要关注能量壳层附近的物理效应。然而，如果我们考察散射相位在整个连续谱（$E\in [0,\infty )$）上的全局行为，将会发现一个更为深刻的拓扑约束。

本节将推导并证明 Levinson 定理（Levinson’s Theorem）。该定理揭示了散射矩阵的低能极限（$E\to 0$）不仅包含关于长波散射的信息，更“记忆“了系统在负能区（$E<0$）所拥有的离散束缚态（Bound States） 的确切数目。这一关系 $\delta (0)-\delta (\infty )=\pi N_b$ 是量子力学中指标定理（Index Theorem） 的最早原型之一，它不仅确立了离散谱与连续谱的守恒关系，更为 QCA 宇宙中信息的完整性提供了拓扑保证。

7.4.1 散射相位的整体拓扑

考虑一个短程势 $V(r)$ 下的单通道散射问题。根据 7.2 节的 Birman-Kreĭn 公式，散射矩阵行列式与谱移函数满足：

$$\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$$

定义总散射相位 $\Phi (E)$ 为 $\det S(E)$ 的连续辐角（即 $\Phi (E)=\arg \det S(E)$，选取使得 $\Phi (\infty )=0$ 的分支）。对于单通道情形，$S(E)=e^{2i\delta (E)}$，则 $\Phi (E)=2\delta (E)$。

当能量 $E$ 从 $+\infty$（极高能，粒子像自由粒子一样穿过势场）扫描到 $0$（极低能，波长趋于无穷大）时，散射相位 $\Phi (E)$ 会发生变化。Levinson 定理指出，这个总相位的变化量不是任意的，而是被量子化为 $\pi$（或 $2\pi$）的整数倍。

定理 7.4.1 (Levinson 定理)

对于满足一定衰减条件的球对称势，各分波（角动量 $l$）的散射相移 ${\delta }_l(E)$ 满足如下全局关系：

$${\delta }_l(0)-{\delta }_l(\infty )=\pi (N_l+\frac{1}{2}{\nu }_l)$$

其中：

1. $N_l$ 是该分波通道中束缚态（Bound States）的数目。

2. ${\delta }_l(\infty )$ 通常归一化为 $0$。

3. ${\nu }_l$ 是一个与零能共振（Zero-energy Resonance）相关的修正项。通常情况下 ${\nu }_l=0$；若正好在 $E=0$ 处存在一个“半束缚态“（Half-bound state），则 ${\nu }_l=1$（对于 s 波）。

在没有零能共振的一般情形下，定理简化为：零能相移等于束缚态数目乘以 $\pi$。

7.4.2 基于谱移函数的严格证明

利用我们在 7.1 和 7.2 节建立的谱移函数理论，Levinson 定理的证明变得异常透明和深刻。它不再是一个关于贝塞尔函数渐近行为的技术性结果，而是谱流（Spectral Flow）守恒的直接推论。

证明步骤：

1. 谱移函数的定义域延拓：

   Kreĭn 谱移函数 $\xi (E)$ 定义在全实轴 $E\in (-\infty ,\infty )$ 上。

   • 在连续谱区域 $E>0$，$\xi (E)=-\frac{1}{\pi }\delta (E)$（根据 Birman-Kreĭn 公式 $\det S=e^{2i\delta }=e^{-2\pi i\xi }$，取分支 $\xi =-\delta /\pi$）。

   • 在束缚态区域 $E<0$，由于 $H$ 只有离散本征值而 $H_0$ 无谱，谱移函数 $\xi (E)$ 是一个阶梯函数。根据 7.1.3 节的能级计数定义 $\xi (E)=-(N(E)-N_0(E))$，对于 $E<0$，$\xi (E)$ 等于能量小于 $E$ 的束缚态数目 $N_b(E)$。

2. 高能极限（紫外行为）：

   对于相对迹类微扰（即势 $V$ 足够弱或具有高能截断），当 $E\to +\infty$ 时，系统趋于自由，$\xi (\infty )\to 0$。这对应于 $\delta (\infty )=0$。

3. 低能极限（红外行为）：

   考察 $E\to 0$ 处的连续性。如果 $H$ 没有恰好位于 $E=0$ 的特征值（无零能共振），则谱移函数 $\xi (E)$ 在 $E=0$ 处是连续的。

   • 从左侧 $E\to 0^{-}$ 看：$\xi (0^{-})$ 等于所有负能束缚态的总数 $N_b$。

   • 从右侧 $E\to 0^{+}$ 看：$\xi (0^{+})=-\frac{1}{\pi }\delta (0)$。

4. 连续性连接：

   由 $\xi (E)$ 的连续性（在 $E=0$ 无奇异性假设下），$\xi (0^{-})=\xi (0^{+})$。

   $$N_b=-\frac{1}{\pi }\delta (0)⟹\delta (0)=-\pi N_b$$

   （注：符号差异取决于 $\delta$ 的定义方向。若定义吸引势产生正相移，则 $\delta (0)=\pi N_b$。标准 Levinson 定理通常写作 $\delta (0)=\pi N_b$，这意味着随着能量从 $\infty$ 降到 $0$，相移增加了 $\pi N_b$。这与 $\xi$ 的正负号约定一致：$\xi$ 正值代表能级下移，产生束缚态。）

$\square$

7.4.3 物理图像：态的守恒与“挤出“效应

Levinson 定理的物理图像是希尔伯特空间维数的守恒（或更确切地说，完备性关系的重排）。

想象我们将一个以大盒子（离散化连续谱）为背景的系统引入吸引势 $V$：

1. 能级下移：吸引势将所有散射态的能级向下拉。

2. 跨越阈值：如果势足够强，原本位于连续谱底端（$E\approx 0^{+}$）的态会被拉入负能区（$E<0$），变成束缚态。

3. 相位的卷绕：每当一个态从连续谱“掉落“进束缚态谱，连续谱底部的波函数就少了一个节点（或多了一个节点，取决于边界条件），导致散射相移 $\delta (0)$ 改变 $\pi$。

4. 总账平衡：

   $$N_{\text{bound}}+N_{\text{scattering}}=N_{\text{free}}$$

   Levinson 定理告诉我们，连续谱中“丢失“的谱密度（体现为非零的起始相移 $\delta (0)$），精确地等于产生出来的束缚态数目。这表明信息没有消失，只是改变了存储形式（从散射态变成了束缚态）。

7.4.4 拓扑不变量与指标定理

在数学上，Levinson 定理是Atiyah-Singer 指标定理在非紧流形（散射系统）上的一个特例。

• 拓扑对象：散射矩阵 $S(E)$ 是一个从能量射线 $[0,\infty ]$ 到幺正群 $U(1)$（或 $U(N)$）的映射。由于 $S(\infty )=I$，这可以看作圆 $S^1$ 到 $U(N)$ 的映射。

• 卷绕数（Winding Number）：该映射的同伦类由整数卷绕数 $\frac{1}{2\pi i}\oint \text{Tr}(S^{-1}dS)$ 刻画。

• 解析对象：哈密顿量 $H$ 的束缚态数目（负谱投影的维数）。

Levinson 定理建立了这种联系：

$$\text{Index}(H)\equiv \dim \ker H-\dim \text{coker}H\sim \frac{1}{2\pi }\Delta \arg \det S$$

在 QCA 宇宙中，这意味着粒子的存在（束缚态）是时空边缘（散射态）的一个拓扑扭结（Topological Twist）。我们不需要“进入“粒子内部去数它由什么组成，只需要在无穷远处测量散射相位的总卷绕数，就能确知内部有多少个束缚态。这正是全息原理的拓扑体现。

7.4.5 离散 QCA 中的 Levinson 对应

在本书建立的离散 QCA 本体论中，Levinson 定理具有更加直观的组合学形式。

对于有限格点系统，总自由度数 $D$ 是固定的（有限信息公理）。

$$\text{Tr}(\mathbb{I})=D$$

引入相互作用 $U$ 后，特征值 $e^{-i{\omega }_n}$ 在单位圆上移动。

• 散射态：密布在连续谱带（如 $\omega \in [-\pi /2,\pi /2]$）中的本征值。

• 束缚态：被“挤出“连续谱带，成为孤立本征值的态（Gap States）。

QCA 版的 Levinson 定理是一个数额守恒定律：

$$\Delta N_{\text{continuum}}=-N_{\text{bound}}$$

连续谱态密度的总积分变化量（由总相移 $\Phi$ 给出），严格抵消了产生出来的束缚态数目。这保证了在宇宙演化过程中，尽管物质形态千变万化（粒子生成、湮灭、束缚），但底层的总量子信息量（希尔伯特空间维数）保持严格守恒。

总结

Levinson 定理完成了第七章关于“谱-散射对偶“的论述。

1. Kreĭn 谱移函数（7.1）定义了能级重排。

2. Birman-Kreĭn 公式（7.2）将谱移映射为散射相移。

3. Friedel 规则（7.3）将相移联系到局域电荷。

4. Levinson 定理（7.4）将相移的全局拓扑联系到束缚态数目。

这一章证明了：热力学（态密度）、动力学（散射时间）和拓扑学（束缚态指标）在离散量子宇宙中是三位一体的。这为下一编“统一时间恒等式与相对论“奠定了坚实的数学基础，我们将看到，正是这种微观的态密度重排，在宏观上涌现为弯曲时空中的引力效应。