第五编：统一时间恒等式与相对论

第八章：相位-延迟-密度 三位一体

在第二卷的前半部分（第四编），我们分别从微观动力学的角度建立了散射时间延迟理论（第六章），并从统计热力学的角度建立了谱移函数理论（第七章）。这两个看似独立的物理图像——一个关注粒子在散射区的滞留时间，另一个关注相互作用引起的能级重排——在 Birman-Kreĭn 迹公式中初次相遇。

本章将这一相遇升华为物理学中的一个基本原理：统一时间恒等式（Unified Time Identity）。我们将证明，时间流逝的速率（相位导数）、物质的存在形式（态密度）以及信息的处理容量（群延迟）在数学上是完全等价的。这一“三位一体“的关系不仅统一了微观物理，更将成为我们在后续章节推导广义相对论引力效应的公理化起点。

8.1 统一时间恒等式推导：$\kappa (E)={\phi }^{\prime }/\pi ={\rho }_{\text{rel}}=\text{Tr}\mathsf{Q}/2\pi$

物理学长期以来习惯将时间 $t$ 视为一个外在于物质的背景参数，而将质量或能量视为填充在时空中的实体。然而，QCA 的离散本体论暗示了这两者之间存在更深层的对偶性。本节将严格推导并确立统一时间恒等式，证明“时间“的计量与“物质“的密度在谱几何层面上是同一物理量的不同表象。

8.1.1 三个物理量的回顾

首先，让我们清晰地定义参与统一的三个核心物理量，它们分别代表了物理实在的三个不同侧面：

1. 几何侧：散射半相位导数 ${\phi }^{\prime }(E)$

   在散射理论中，散射矩阵 $S(E)$ 的行列式是一个幺模复数。定义总散射相位 $\Phi (E)$ 为：

   $$\det S(E)=e^{i\Phi (E)}$$

   定义半相位（Half-phase） $\phi (E)=\frac{1}{2}\Phi (E)$。其关于能量的导数 ${\phi }^{\prime }(E)=\frac{d\phi }{dE}$ 描述了波函数在能量空间中的几何旋转速度。

2. 热力学侧：相对态密度 ${\rho }_{\text{rel}}(E)$

   态密度（DOS）是统计力学的核心。引入相互作用 $V$ 后，局域态密度的变化定义为：

   $${\rho }_{\text{rel}}(E)\equiv \rho (E)-{\rho }_0(E)=\frac{d}{dE}\text{Tr}\left[\Theta (E-H_0)-\Theta (E-H)\right]$$

   它量化了能量壳层 $E$ 附近新增的微观自由度数目（或信息容量）。

3. 动力学侧：Wigner-Smith 时间延迟迹 $\text{Tr}\mathsf{Q}(E)$

   EWS 算符 $\mathsf{Q}=-i\hslash S^{†}\frac{dS}{dE}$ 描述了波包在散射区的滞留时间。其迹 ${\tau }_{tot}=\text{Tr}\mathsf{Q}$ 代表了所有散射通道的总时间延迟，即系统作为一个整体对外部探针的“时间阻抗“。

8.1.2 恒等式的严格推导

我们将利用第七章建立的 Birman-Kreĭn 理论来完成这一证明。

定理 8.1.1 (统一时间恒等式)

对于满足相对迹类条件的散射系统，在绝对连续谱区域内，以下三个物理量严格相等（在自然单位制 $\hslash =1$ 下）：

$$\kappa (E)\equiv \frac{1}{\pi }\frac{d\phi (E)}{dE}={\rho }_{\text{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\text{Tr}\mathsf{Q}(E)$$

我们将 $\kappa (E)$ 定义为统一时间刻度密度（Unified Time Scale Density）。

证明：

步骤 1：连接 $\text{Tr}\mathsf{Q}$ 与 ${\phi }^{\prime }$

根据 Wigner-Smith 算符的定义及其迹的性质（6.4 节）：

$$\text{Tr}\mathsf{Q}(E)=\text{Tr}\left[-i{S}^{†}(E)\frac{dS(E)}{dE}\right]$$

利用雅可比公式 $\text{Tr}(A^{-1}dA)=d(\ln \det A)$，且 $S^{†}=S^{-1}$：

$$\text{Tr}\mathsf{Q}(E)=-i\frac{d}{dE}\ln (\det S(E))$$

代入总相位定义 $\det S=e^{i\Phi (E)}=e^{2i\phi (E)}$：

$$\text{Tr}\mathsf{Q}(E)=-i\frac{d}{dE}(2i\phi (E))=2\frac{d\phi }{dE}=2{\phi }^{\prime }(E)$$

因此：

$$\frac{1}{2\pi }\text{Tr}\mathsf{Q}(E)=\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }(E)$$

步骤 2：连接 ${\phi }^{\prime }$ 与 ${\rho }_{\text{rel}}$

利用 Birman-Kreĭn 迹公式（7.2 节）：

$$\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$$

这意味着总相位 $\Phi (E)$ 与 Kreĭn 谱移函数 $\xi (E)$ 的关系为（取连续分支）：

$$\Phi (E)=-2\pi \xi (E)⟹2\phi (E)=-2\pi \xi (E)⟹\phi (E)=-\pi \xi (E)$$

对能量求导：

$${\phi }^{\prime }(E)=-\pi {\xi }^{\prime }(E)$$

回顾谱移函数与态密度的关系（7.1 节）：

$$\xi (E)=-(N(E)-N_0(E))⟹{\xi }^{\prime }(E)=-(\rho (E)-{\rho }_0(E))=-{\rho }_{\text{rel}}(E)$$

将此代入上式：

$${\phi }^{\prime }(E)=-\pi (-{\rho }_{\text{rel}}(E))=\pi {\rho }_{\text{rel}}(E)$$

即：

$$\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }(E)={\rho }_{\text{rel}}(E)$$

步骤 3：综合

联立步骤 1 和步骤 2 的结果，即得三位一体恒等式。

$\square$

8.1.3 物理诠释：$\kappa (E)$ 的本体论地位

统一时间恒等式揭示了 $\kappa (E)$ 是一个比时间、能量或熵更基本的物理量。它构成了 QCA 宇宙的母尺（Master Scale）。

1. 时间即统计 ($\text{Time}\sim \text{DOS}$)：

   公式 $\frac{1}{2\pi }{\tau }_{tot}={\rho }_{\text{rel}}$ 告诉我们，时间流逝的本质是系统对微观状态的遍历。如果一个区域内没有量子态（$\rho =0$，如禁带），波包将瞬间穿过（隧穿），不经历时间延迟（或经历极短的群延迟）。反之，如果态密度极高（如黑洞内部），波包将被无数个态“绊住“，导致时间极度延缓。

2. 几何即相位 ($\text{Geometry}\sim \text{Phase}$)：

   公式 $\kappa ={\phi }^{\prime }/\pi$ 表明，这一统计属性完全编码在边界的几何相位中。我们不需要深入系统内部去数状态，只需要在边界测量相位的“卷绕速率“。

3. 普朗克信息密度：

   $\kappa (E)$ 的量纲是 $[\text{Energy}{]}^{-1}=[\text{Time}]$（在 $\hslash =1$ 下）。它实际上度量了单位能量间隔内的信息容量。在普朗克尺度下，这对应于每普朗克能量包含的比特数。

8.1.4 案例验证：一维势箱

为了使这一抽象恒等式具体化，我们考察一个长度为 $L$ 的一维势箱（无限深方势阱）。

• 热力学侧（态密度）：

  本征能量 $E_n=\frac{n^2{\pi }^2}{2m{L}^2}$。动量 $k_n=\frac{n\pi }{L}$。

  态密度 $\rho (k)=\frac{dn}{dk}=\frac{L}{\pi }$。

  能量态密度 $\rho (E)=\rho (k)\frac{dk}{dE}=\frac{L}{\pi }\frac{1}{v}=\frac{L}{\pi v}$，其中 $v$ 是群速度。

• 动力学侧（时间延迟）：

  经典粒子穿过盒子往返一次的时间是 $T=\frac{2L}{v}$。

  在散射图像中，波函数在边界反射，经历相移。由于这是束缚系统，我们可以考虑一个大盒子 $L_{big}$ 中的小散射体 $L$。

  或者直接引用滞留时间概念：${\tau }_D=\frac{1}{J}\int |\psi {|}^{2}dx=\frac{1}{v/L_{norm}}\cdot 1=\frac{L_{norm}}{v}$。

  对于散射态 $S(k)=e^{-2ikL}$（透射系数相位，对应自由传播），相移 $\delta (k)=-kL$。

  ${\phi }^{\prime }=\frac{d\delta }{dE}=\frac{d(-kL)}{dE}=-L\frac{dk}{dE}=-\frac{L}{v}$。

  这里出现了符号差异，因为自由传播通常作为背景被减去。若考虑由势 $V$ 引起的额外延迟（例如共振），$\Delta \rho$ 和 ${\tau }_{delay}$ 将同时为正。

  考虑一个共振散射（Breit-Wigner 共振）：

  $$S(E)=\frac{E-E_0-i\Gamma /2}{E-E_0+i\Gamma /2}$$

  相位导数（延迟）：$\tau (E)=\frac{\Gamma }{(E-E_0{)}^2+{\Gamma }^2/4}$。

  态密度（洛伦兹谱）：$\Delta \rho (E)=\frac{1}{2\pi }\frac{\Gamma }{(E-E_0{)}^2+{\Gamma }^2/4}$。

  显然满足 $\tau (E)=2\pi \Delta \rho (E)$。

8.1.5 结论

统一时间恒等式 $\kappa (E)$ 是连接第一卷（离散本体论）与第三卷（引力熵起源）的关键纽带。

• 向上，它解释了为何引力场（度规 $g_{\mu \nu }$）会影响时间——因为引力场改变了真空的态密度 $\rho (E)$。

• 向下，它解释了时间的微观起源——时间不是流逝的河水，而是量子态在希尔伯特空间中被计数的过程。

在下一节中，我们将基于 $\kappa (E)$ 探讨**“时间即物质”**的深层推论，并解释为何在广义相对论中，能量动量张量（物质）直接弯曲了时空几何（时间）。