第九章：宇宙学与热力学时间

在第八章中，我们确立了“时间即物质“的微观机制：时间流逝的速率由局域态密度（物质）决定。然而，这一结论主要适用于稳态系统（如原子或黑洞附近的静止观测者）。当我们把目光投向整个宇宙时，必须面对一个更宏大的现象：宇宙在膨胀，且存在因果视界（Cosmic Horizon）。

本章将把统一时间理论推广到宇宙学尺度。我们将证明，宇宙的膨胀并非时空的机械拉伸，而是信息耗散的热力学后果。在 QCA 本体论中，由于视界的存在，全宇宙的有效演化不再由厄米哈密顿量描述，而是由非厄米哈密顿量（Non-Hermitian Hamiltonian） 驱动。哈勃常数 $H$ 正是这一非厄米算符的虚部，代表了信息从可观测宇宙流向视界外的速率。

9.1 哈密顿量的非厄米性：宇宙视界导致的信息耗散与哈勃膨胀

在标准宇宙学（$\Lambda$CDM 模型）中，哈勃膨胀被描述为度规标度因子 $a(t)$ 的动力学演化。但在信息物理的视角下，膨胀意味着系统（可观测宇宙）与环境（视界外）之间的边界在不断变化。本节将建立宇宙膨胀的开放量子系统模型，并推导哈勃参数与信息耗散率的等价关系。

9.1.1 视界作为信息汇（Information Sink）

考虑一个位于德西特（de Sitter）空间或类德西特膨胀宇宙中的观察者 $\mathcal{O}$。由于光速有限和空间膨胀，存在一个宇宙视界（Cosmological Horizon），半径为 $R_H=c/H$。

对于 $\mathcal{O}$ 而言，视界是一个单向膜：

1. 信息流出：视界内的粒子或辐射可以通过红移逐渐接近视界，最终其波长超过视界半径，实际上“离开“了可观测的希尔伯特空间。

2. 不可逆性：一旦信息越过视界，对于局域观测者而言即永久丢失（在全息意义上转化为视界熵）。

因此，可观测宇宙不是一个封闭的量子系统，而是一个耗散系统。描述其动力学的有效哈密顿量 $H_{\text{eff}}$ 必须包含反厄米部分以反映概率（或信息）的流失。

定义 9.1.1 (宇宙有效哈密顿量)

设 ${\mathcal{H}}_{\text{obs}}$ 为可观测宇宙的希尔伯特空间。系统的演化由非厄米算符生成：

$$H_{\text{eff}}=H_0-i\Gamma$$

其中：

• $H_0=H_0^{†}$ 是厄米部分，描述局域的幺正演化（如粒子相互作用）。

• $\Gamma ={\Gamma }^{†}\ge 0$ 是耗散算符（Dissipator），描述信息穿过视界的速率。

9.1.2 虚能级与哈勃参数

非厄米哈密顿量的特征值是复数：$E=E_r-i\gamma$。

对应的态矢量 $|\psi (t)⟩\sim e^{-iEt}=e^{-i{E}_{r}t}{e}^{-\gamma t}$。

模方 $|\psi (t){|}^2\sim e^{-2\gamma t}$ 随时间衰减。

在宇宙学语境下，这种“衰减“并不意味着物质真的消失了，而是意味着物质相对于膨胀的背景被稀释了。

对于一个共动体积 $V$，其物理体积随时间增长 $V(t)\propto a(t{)}^3$。粒子数密度 $n(t)\propto a(t{)}^{-3}$。

若定义波函数归一化在共动体积内，则物理体积内的概率密度 $\rho \sim |\psi {|}^2$ 满足：

$$\frac{d\rho }{dt}=-3H\rho$$

对比非厄米演化的概率衰减率 $2\gamma$，我们得到一个关键的对应关系。

定理 9.1.2 (哈勃-耗散等价原理)

在以共动观测者为基准的开放量子系统描述中，宇宙的哈勃膨胀率 $H(t)$ 等价于有效哈密顿量的虚部（耗散率）：

$$\Gamma \cong \frac{3}{2}\hslash H(t)\mathbb{I}$$

（系数取决于维数和具体的态定义，对于 $d$ 维空间为 $d/2$）。

这意味着，宇宙膨胀本质上是可观测信息量的指数衰减过程（相对于最大潜在容量）。

证明思路：

考虑 QCA 宇宙的总希尔伯特空间维数 $D(t)$。在膨胀宇宙中，新的自由度（格点）不断从视界处涌入（或视界扩大扫过更多格点）。

对于固定的观测者，其可访问的自由度数 $N_{obs}$ 受视界限制。

根据全息原理，视界上的自由度流失/交换导致了内部态的混合。

利用 Lindblad 主方程描述密度矩阵 $\rho$ 的演化：

$$\frac{d\rho }{dt}=-i[H_0,\rho ]-\{\Gamma ,\rho \}+\mathcal{J}(\rho )$$

其中 $\{\Gamma ,\rho \}$ 描述了概率幅的衰减（稀释），对应于膨胀导致的红移和密度下降；$\mathcal{J}(\rho )$ 描述了视界辐射的回流（霍金辐射/吉本斯-霍金辐射）。

在宏观极限下，衰减项主导，$\Gamma \sim H$。$\square$

9.1.3 红移作为非厄米相位演化

利用 $H_{\text{eff}}=E-i\Gamma$，我们可以重新推导宇宙学红移。

在 8.3 节中，引力红移源于 $H$ 的实部重标度。而宇宙学红移源于虚部。

一个光子在 $t_e$ 时刻发射，频率为 ${\omega }_e$。在非厄米演化下，其相位因子为：

$$U(t,t_e)=\exp \left(-i{\int }_{t_e}^t(H_0-i\Gamma )d{t}^{\prime }\right)$$

这里的“虚相位“ $e^{-\int \Gamma d{t}^{\prime }}$ 表现为波幅的衰减。然而，在共形时间（Conformal Time）或适当的坐标变换下，波幅的衰减与频率的降低是共轭的（绝热不变量 $N_{\gamma }\sim E/\omega$ 守恒）。

更直观地理解：耗散导致了相位的“拖曳“。由于信息不断流失到视界外，留下的波函数被“拉长“了。

波长 $\lambda \propto a(t)$，频率 $\omega \propto 1/a(t)$。

这与耗散率 $\Gamma \sim \dot{a}/a$ 完全一致。

9.1.4 物理意义：时间箭头的宇宙学起源

这一模型为热力学时间箭头提供了一个宇宙学起源：

1. 非厄米性即不可逆性：由于 $H_{\text{eff}}$ 不是厄米的，时间反演对称性 $t\to -t$ 被破坏（$i\Gamma \to i\Gamma$ 符号不变，而 $-i{H}_0$ 变号，导致演化方程改变）。

2. 膨胀即熵增：信息的耗散（流向视界）增加了视界熵。对于内部观测者，这意味着纯态演化为混合态，局域熵增加。

3. 结论：宇宙之所以有时间方向（膨胀），是因为它是一个不断“遗忘“初态信息的开放系统。

推论 9.1.3 (暗能量的几何本质预告)

如果 $\Gamma$ 是常数（对应指数膨胀的德西特空间），则宇宙处于一个具有恒定耗散率的稳态。这意味着存在一个非零的、正的真空零点能密度。在 9.4 节中，我们将证明这正是宇宙学常数（暗能量） 的起源——它是维持视界信息流平衡所需的最小能耗。

通过引入非厄米哈密顿量，我们将宇宙学膨胀纳入了量子信息动力学的框架。膨胀不再是度规的随意伸缩，而是视界造成的信息筛选机制。在下一节，我们将进一步结合散射理论，将宇宙学红移解释为绝热散射过程中的相位漂移。