Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

9.2 红移即相位漂移：宇宙学红移的绝热散射解释

在 9.1 节中，我们将宇宙膨胀描述为非厄米哈密顿量导致的信息耗散过程。这一图景解释了波函数幅度的衰减（稀释）。然而，宇宙学观测中最显著的特征并非光子数密度的下降，而是光子频率的红移（Redshift）。

在标准广义相对论中，红移被几何化地解释为波长随空间尺度的拉伸（$\lambda \propto a(t)$）。但在 QCA 的离散本体论中，没有弹性的背景空间，只有不断演化的量子态。本节将利用绝热散射理论（Adiabatic Scattering Theory），证明红移本质上是光子在缓慢变化的宇宙背景中传播时，其动力学相位（Dynamic Phase） 相对于几何相位（Geometric Phase） 的累积漂移。这一视角将哈勃定律 $z\approx Hd/c$ 统一为散射相移的演化方程。

9.2.1 宇宙作为含时散射介质

考虑一个光子（波包）在膨胀宇宙中传播。对于光子而言，宇宙不是空的，而是一个充满了量子比特（格点）的介质。随着宇宙演化（$U^t$ 更新），这个介质的有效参数（如格点密度或相互作用强度）在缓慢变化。

定义 9.2.1 (绝热膨胀条件)

设宇宙演化的特征时间尺度为哈勃时间 $t_H=1/H$，而光子的振荡周期为 $T_{\gamma }=1/\omega$。

由于 $H\approx 10^{-18}{\text{s}}^{-1}$ 而可见光频率 $\omega \approx 10^{15}\text{Hz}$，绝热参数 $ϵ$ 极小：

$$ϵ=\frac{T_{\gamma }}{t_H}=\frac{H}{\omega }\ll 1$$

这意味着光子的传播是一个绝热过程。光子始终处于瞬时哈密顿量 $H(t)$ 的本征态上，不会发生能级跃迁（即不会自发产生粒子对，除非在暴涨等极端高曲率时期）。

9.2.2 瞬时频率与相位漂移方程

在散射图像中，我们将光子视为在长度为 $L(t)\propto a(t)$ 的一维共动腔（或全宇宙）中往返的驻波（或等效的布洛赫波）。

设瞬时散射相移为 $\Phi (E,t)$。根据 Birman-Kreĭn 公式，总相位 $\Phi$ 计数了能量 $E$ 以下的态数目 $N(E,t)$：

$$\Phi (E,t)=\pi N(E,t)$$

对于光子（无质量玻色子），在 $d$ 维空间中，累积态数目 $N(E)$ 与体积 $V(t)$ 和能量 $E$ 的关系为：

$$N(E,t)\propto V(t)E^d\propto a(t{)}^d{E}^d$$

在绝热演化过程中，量子系统的绝热不变量（Adiabatic Invariant） 是其量子数 $N$（即光子所在的能级序数保持不变）。

$$\frac{d}{dt}N(E(t),t)=0$$

这意味着总相位 $\Phi (E(t),t)$ 是一个守恒量：

$$\frac{d\Phi }{dt}=\frac{\partial \Phi }{\partial E}\frac{dE}{dt}+\frac{\partial \Phi }{\partial t}=0$$

定理 9.2.2 (红移漂移方程)

光子能量（频率）的变化率由散射相位的偏导数比值决定：

$$\frac{\dot{E}}{E}=-\frac{\partial \Phi /\partial t}{E\cdot \partial \Phi /\partial E}$$

利用统一时间恒等式 $\partial \Phi /\partial E=\pi \kappa (E)$（时间密度）和 $N\propto a^d{E}^d$ 导致的 $\partial \Phi /\partial t=d\cdot H\Phi$ 和 $E\partial \Phi /\partial E=d\cdot \Phi$，代入可得：

$$\frac{\dot{E}}{E}=-\frac{d\cdot H\Phi }{d\cdot \Phi }=-H(t)=-\frac{\dot{a}}{a}$$

积分即得 $E(t)\propto 1/a(t)$。

物理诠释：

红移并非光子“疲劳“或能量耗散，而是相位守恒的必然结果。

• 分母 $\partial \Phi /\partial E\sim \text{时间}$：代表光子波包的时间宽度。

• 分子 $\partial \Phi /\partial t\sim \text{漂移}$：代表背景介质（宇宙）随时间改变相位的速率。

红移是光子为了维持其“相位身份“（量子数 $N$），必须调整自身频率以适应不断变化的边界条件（$a(t)$）。

9.2.3 散射视角的哈勃定律：多普勒效应的连续极限

为了更直观地理解，我们可以将宇宙膨胀分解为一系列微小的散射事件。

考虑光子在 $t$ 时刻经过一个局域散射体（例如视界或共动格点）。由于散射体相对于光子源以速度 $v=H\Delta x$ 退行，光子经历一次微小的多普勒频移。

在连续极限下，这种离散的散射变成了连续的相移积累。

设光子在 $dt$ 时间内传播距离 $dx=cdt$。背景度规的变化导致散射矩阵 $S$ 发生微小变分 $\delta S$。

Wigner-Smith 时间延迟 $\tau$ 告诉我们光子“感受“到的有效路径长度。

$$\Delta t_{delay}=\hslash \frac{\partial \delta }{\partial E}$$

而哈勃流导致相位的显式变化率 $\partial \delta /\partial t$。

红移 $z$ 定义为接收频率与发射频率之比的倒数减一。

$$1+z=\frac{{\omega }_{emit}}{{\omega }_{obs}}=\exp \left({\int }_{t_e}^{t_o}H(t)dt\right)$$

这可以重写为散射相位的漂移积分：

$$\ln (1+z)=\int \frac{\dot{a}}{a}dt=\int \frac{{\partial }_t\Phi }{{\partial }_E\Phi }\frac{dE}{E}\dots$$

这表明，宇宙学红移是无数次微小多普勒散射的积分效应。宇宙本身就是一个巨大的、缓慢膨胀的散射腔。

9.2.4 绝热性破缺与粒子产生

上述推导依赖于绝热条件 $ϵ\ll 1$。如果这一条件被破坏（例如在暴涨结束时的重加热阶段，或黑洞视界附近的霍金辐射），相位 $\Phi$ 将不再守恒。

此时，$\frac{d}{dt}N\ne 0$，意味着粒子数不再守恒。

这对应于 Bogoliubov 变换中的 $\beta$ 系数非零：

$${\hat{a}}_{out}=\alpha {\hat{a}}_{in}+\beta {\hat{a}}_{in}^{†}$$

在 QCA 框架中，这表现为幺正演化 $U(t)$ 在不同时刻的基底之间产生了非对角混合。

这解释了为何在当前的温和膨胀期（绝热期）我们看到的是红移（频率变，粒子数不变），而在早期宇宙（非绝热期）我们看到的是物质产生（频率变，粒子数也变）。

结论 9.2.3

通过将红移解释为绝热散射过程中的相位漂移，我们统一了微观波动力学与宏观宇宙学观测。

1. 哈勃定律是相空间体积（量子数）守恒在膨胀背景下的体现。

2. 光子是一个保持其相位印记的绝热探针，忠实地记录了宇宙尺度的变化。

这一机制无需引入弯曲时空的“拉伸“概念，完全基于希尔伯特空间中态的演化，符合我们“去几何化“的离散本体论目标。

在下一节，我们将探讨这种微观态的演化如何导致宏观的热力学时间箭头，即熵增方向的锁定。