第十二章：熵变分原理 (IGVP) 与场方程

在第十一章中，我们完成了几何与信息热力学的基础准备：定义了作为探测探针的小因果菱形，引入了广义熵泛函 $S_{\text{gen}}$，并建立了纠缠第一定律与瑞查德乌利方程作为物质与几何的响应函数。

本章将正式提出熵变分原理（Information Geometric Variational Principle, IGVP）。我们将证明，爱因斯坦场方程并非先验的物理公理，而是最大纠缠平衡公理在时空几何上的必然数学推论。时空之所以弯曲，是因为它必须维持真空纠缠熵在局域几何微扰下的极值状态。

12.1 最大纠缠平衡公理：真空纠缠熵的一阶变分驻值条件

传统上，引力动力学由爱因斯坦-希尔伯特作用量 $I_{EH}=\int R\sqrt{-g}$ 的变分导出。然而，这一作用量的物理起源一直晦涩不明。在离散本体论与全息框架下，我们用一个更具信息论基础的原理取而代之：时空的平衡态由广义熵的最大化定义。

12.1.1 最大纠缠平衡公理 (MEEA)

考虑闵可夫斯基真空或任意最大对称背景时空中的一个小因果菱形 $\Sigma$。我们假设真空态 $|\Omega ⟩$ 代表了该区域内量子信息分布的某种“最优化“状态。

公理 12.1.1 (最大纠缠平衡公理)

在固定的因果几何体积约束下，真空态的广义熵 $S_{\text{gen}}$ 处于局域极大值（或驻值）。

即，对于时空几何 $g_{ab}$ 和量子场 $\varphi$ 的任意保持因果菱形体积 $V$ 不变的一阶局域微扰 $(\delta g,\delta \varphi )$，广义熵的一阶变分为零：

$$\delta S_{\text{gen}}{|}_V=\delta \left(\frac{A}{4G\hslash }+S_{\text{mat}}\right)=0$$

且二阶变分 ${\delta }^2{S}_{\text{gen}}<0$（稳定性条件，将在 14.2 节讨论 QNEC）。

物理诠释：

这一公理将时空几何类比为热力学系统中的状态方程。

• 物质熵 $S_{\text{mat}}$ 的变化代表了“热量“或信息流的注入。

• 几何熵 $A/4G$ 的变化代表了系统为了维持平衡而必须做出的几何调整（如视界面积的改变）。

• 方程 $\delta S_{\text{gen}}=0$ 表明，几何的形变总是精确地补偿物质熵的涨落，以保持总信息量的平衡。

12.1.2 变分条件的展开：几何侧与物质侧

为了从公理 12.1.1 导出场方程，我们需要分别计算广义熵两部分的变分。

1. 物质熵的变分：纠缠第一定律

根据 11.3 节的纠缠第一定律，对于真空态的微扰，物质纠缠熵的变化等于模哈密顿量 $K$ 的期望值变化：

$$\delta S_{\text{mat}}=\delta ⟨K⟩$$

利用 Bisognano-Wichmann 定理，对于小因果菱形，模哈密顿量由能量动量张量 $T_{\mu \nu }$ 沿共形基尔灵矢量 ${\zeta }^{\mu }$ 的积分给出。对于中心位于原点、寿命为 $\tau$ 的小菱形，在 $t=0$ 时刻的柯西面 ${\Sigma }_0$（半径 $R\approx \tau /2$ 的球）上：

$$\delta S_{\text{mat}}=\frac{2\pi }{\hslash }{\int }_{{\Sigma }_0}\delta ⟨T_{\mu \nu }⟩{\zeta }^{\mu }d{\Sigma }^{\nu }$$

在黎曼法向坐标系中，${\zeta }^{\mu }\approx \frac{1}{R}(R^2-r^2){\delta }_0^{\mu }$（近似为抛物线型的加权函数）。积分近似为：

$$\delta S_{\text{mat}}\approx \frac{2\pi }{\hslash }\frac{{\Omega }_{d-2}{R}^d}{d^2-1}\delta T_{00}(0)$$

这里 $T_{00}(0)$ 是菱形中心的能量密度。

2. 几何熵的变分：面积亏损

几何熵的变化源于菱形边界 $\partial \Sigma$ 的面积变化。根据 11.1 节的面积亏损定理，在弯曲时空中，测地球的面积相对于平直空间有二阶修正（一阶微扰下，度规变化导致面积变化）：

$$\delta A=A_{\text{curved}}-A_{\text{flat}}=-\frac{{\Omega }_{d-2}{R}^d}{d^2-1}\delta G_{00}(0)$$

其中 $\delta G_{00}$ 是爱因斯坦张量在中心的微扰值。注意符号：正能量密度（$G_{00}>0$）导致引力聚焦，使面积减小，故为负号。

因此，几何熵的变分为：

$$\delta S_{\text{grav}}=\frac{\delta A}{4G\hslash }=-\frac{1}{4G\hslash }\frac{{\Omega }_{d-2}{R}^d}{d^2-1}\delta G_{00}(0)$$

12.1.3 爱因斯坦方程的推导

现在，我们将两部分的变分代入平衡方程 $\delta S_{\text{gen}}=0$：

$$\delta S_{\text{grav}}+\delta S_{\text{mat}}=0$$

$$-\frac{1}{4G\hslash }\left(\frac{{\Omega }_{d-2}{R}^d}{d^2-1}\right)\delta G_{00}+\frac{2\pi }{\hslash }\left(\frac{{\Omega }_{d-2}{R}^d}{d^2-1}\right)\delta T_{00}=0$$

消去公共的几何因子（体积元与维度常数）和 $\hslash$（注意 $\hslash$ 在两边同时出现并抵消，说明最终的引力方程是经典的）：

$$-\frac{1}{4G}\delta G_{00}+2\pi \delta T_{00}=0$$

整理得：

$$\delta G_{00}=8\pi G\delta T_{00}$$

由于该因果菱形可以构建在时空的任意一点，且可以选取任意类时方向作为时间轴 $u^{\mu }$（通过洛伦兹变换），根据张量的协变性，标量方程 $\delta G_{00}=8\pi G\delta T_{00}$ 必须对所有分量成立。

定理 12.1.2 (爱因斯坦场方程的熵起源)

若时空满足最大纠缠平衡公理（MEEA），即局域真空的广义熵在几何微扰下保持驻值，则时空度规 $g_{\mu \nu }$ 的动力学必须遵循爱因斯坦场方程：

$$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }$$

（注：宇宙常数 $\Lambda$ 作为积分常数出现，将在 12.3 节讨论）。

物理推论：

1. 引力非基本力：引力方程不是微观粒子的运动方程，而是类似流体力学方程的状态方程。它描述了时空几何如何通过弯曲来“消化“物质引入的熵流。

2. 普朗克常数的消去：尽管推导过程中利用了量子纠缠（$S\sim {\hslash }^{-1}$）和 Unruh 温度（$T\sim \hslash$），最终方程中 $\hslash$ 相互抵消。这解释了为何广义相对论作为一个经典理论，其根源却是深度的量子效应。

3. G 的含义：牛顿常数 $G$ 在此不再是耦合常数，而是时空熵密度与能量密度之间的换算因子（$1/4G$ 是每普朗克面积的比特数）。

12.1.4 局限性与推广

上述推导依赖于一阶微扰近似（线性化引力）。对于强引力场或高阶曲率修正，我们需要考虑广义熵的高阶变分。

如果在作用量中引入高阶曲率项（如 $R^2$ 或 Gauss-Bonnet 项），Wald 熵公式表明几何熵 $S_{\text{grav}}$ 将不再仅仅是面积 $A/4G$，而是依赖于拉格朗日量对黎曼张量的导数。

即便如此，IGVP 依然成立：只要我们正确定义了广义熵（Wald 熵 + 物质熵），其极值条件依然导出相应的高阶引力场方程。这将在 12.4 节详细讨论。

总结

本节完成了从信息论公理到物理学动力学方程的关键一跃。我们证明了：爱因斯坦方程是时空热力学的平衡条件。时空弯曲不是物质的重压，而是熵的平衡需求。

在下一节 12.2 中，我们将进一步完善这一推导，从标量熵平衡推广到张量动力学的完整协变形式，并讨论能量动量张量守恒的几何含义。